Metnum03-Iza Azmar Aminudin
بِسْمِ اللّهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيْمِ
Assalamu'alaikum Wr. Wb,
Salam Sejahtera untuk kita semua,
Contents
- 1 Biodata Diri
- 2 Pendahuluan | Filosofi dalam Belajar Metode Numerik
- 3 Pertemuan 1: Review Materi Pra-UTS dan Pengantar Software Open-Modelica | 9 November 2020
- 4 Pertemuan 2: Review Tugas Modelica dan Simulasi Penyelesaian Metode Numerik | 16 November 2020
- 5 Pertemuan 3: Menyelesaikan Spring-mass System| 23 November 2020
- 6 Pertemuan 4: Membahas Penyelesaian Trusses dan Quis 1| 30 November 2020
- 7 Pertemuan 5: Menyelesaikan Persamaan Truss dengan Open Modelica untuk 2 dimensi dan 3 dimensi| 7 Desember 2020
- 8 Pertemuan 6: Muhasabah diri | 14 Desember 2020
- 9 Pertemuan 7: aplikasi metode numerik dalam kasus optimisasi | 21 Desember 2020
- 10 Sinopsis Tugas Besar: Mengoptimalkan Sistem Trusses untuk Mencapai Best Efficiency Point (BEP)
- 11 Pengerjaan Tugas Besar: Optimasi Sistem Trusses untuk Mencapai Best Efficiency Point (BEP)
Biodata Diri
Perkenalkan saya:
Nama : Iza Azamr Aminudin
NPM : 1806233316
Kelas : Metnum-03
Melalui laman web ini, insya Allah saya akan berbagi kepada teman-teman sekalian terkait pembelajaran mata kuliah Metode Numerik yang saya pelajari bersama pa DAI dan teman-teman di kelas Metnum 03. Semoga yang saya tulis dalam laman ini dapat memberi hikmah bagi saya dan teman-teman pembaca, aamiiin.
Pendahuluan | Filosofi dalam Belajar Metode Numerik
Salah satu kewajiban hakiki untuk manusia adalah untuk belajar memetik hikmah dari semua pembelajaran yang akan terus ada selama hidup ini. Selain itu, Nabi Muhammad SAW sebagai idola saya pernah berkata bahwa sebaik-baiknya manusia adalah manusia yang paling bermanfaat bagi manusia (H.R Ahmad). Kedua hal ini insya Allah terus memotivasi saya untuk terus belajar dan memanfaatkan ilmu yang saya pelajari baik bagi kehidupan saya sendiri hingga untuk kepentingan orang banyak lainnya. Melalui mata kuliah metode numerik ini saya berharap untuk mendapatkan ilmu baik yang berupa materi pembelajaran seperti yang diajarkan oleh Pa DAI, dari buku, maupun melalui pengajaran yang dilakukan oleh asisten dosen dan teman-teman saya. Selain itu, saya berharap dengan menekuni pembelajaran metode numerik ini dapat menambah pengetahuan dan "ketidaktahuan" tentang hal-hal yang belum saya pelajari maupun mengerti sehingga terus menambah motivasi saya dalam belajar dan juga menjaga saya dari sikap riya dan takabur yang dapat membuat saya menjadi orang yang berpikiran tertutup dan menututp keran ilmu pengetahuan,
Semangat teman-teman semua dalam menimba ilmu dalam mata kuliah ini.
Dari ‘Abdullah bin ‘Amr dan Anas bin Malik radhiyallahu ‘anhuma, Rasulullah shallallahu ‘alaihi wa sallam bersabda,
قيِّدُوا العِلمَ بالكِتابِ
“Jagalah ilmu dengan menulis.” (Shahih Al-Jami’, no.4434. Syaikh Al-Albani mengatakan bahwa hadits ini sahih).
Pertemuan 1: Review Materi Pra-UTS dan Pengantar Software Open-Modelica | 9 November 2020
Review Materi Sebelum UTS
Pembelajaran mata kuliah Metode Numerik-03 sebelumnya diampu oleh Bapak Dr. Ir. Engkos A. Kosasih, M.T. Selama pembelajaran sebelum UTS, kami mempelajari beberapa konsep yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan dengan metode numerik. Diantara materi-materi tersebut diantanya adalah sebagai berikut.
1. Deret Maclaurin dan Deret Taylor
Teorema Ketunggalan Andaikan f memenuhi uraian berikut,
f(x) = c0 + c1(x - a) + c2(x - a)^2 + c3(x - a)^3 . . .
untuk semua x dalam selang di sekitar a, maka cn = Jadi suatu fungsi tidak dapat digambarkan oleh dua deret pangkat dari (x - a).
2. Gauss Elimination
Tutorial Open-Modelica
https://www.youtube.com/watch?v=l7I8YlQBdug
Pertemuan 2: Review Tugas Modelica dan Simulasi Penyelesaian Metode Numerik | 16 November 2020
Pada kesempatan kali ini, kami mempelajari cara membuat program sederhana didalam modelica untuk menjumlahkan angka 10 kepada sebuah variable dan mencari rata-rata nilai dengan menggunakan software modelica.
1. Membuat program sederhana didalam modelica untuk menjumlahkan angka 10 kepada sebuah variable software modelica.
2. Mencari rata-rata nilai dengan menggunakan software modelica.
3. Tugas 02
Melakukan Eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan linear tiga variabel. Tugas kali ini yaitu Pr2 metnum ... Buat class dengan type function untuk menyelesaikan persamaa2n aljabar simultan (metoda gauss elim, gauss seidel ataupun metoda lain) ... Dan sebuah class untuk menjalankan fungsi tersebut. Waktu 1 minggu dan dikumpulkan di wikipage air.eng.
Berikut adalah persamaan yang akan saya uji
Kemudian saya membuat class sebagai berikut.
Dan membuat function sebagai berikut
Setelah function dan class dibuat, barulah saya melakukan simulasi untuk mendapatkan hasilnya. Berikut adalah hasil yang saya dapatkan.
Pertemuan 3: Menyelesaikan Spring-mass System| 23 November 2020
Menyelesaikan persamaan Spring-mass System dengan menggunakan software modelica
Nilai Delta x dapat dicari dari matriks tersebut dengan eliminasi Gauss menggunakan software modelica.
Sehingga didapatlah hasil sebagai berikut.
Tugas 3 Dalam tugas 3 kami diberikan suatu permasalahan metode numerik dalam suatu truses
Memisalkan trus dalam node-node
Berikut adalah persamaan
Matrix solusi dari trusses untuk diselesaikan dengan openmodelica
hasil grafik dan perhitungan dari modelica
Pertemuan 4: Membahas Penyelesaian Trusses dan Quis 1| 30 November 2020
Soal Quis 1
Langkah-langkah dalam menyelesaikan soal
Menyelesaikan Soal no. 4
Proses mencari persamaan matriks untuk menentukan nilai konstanta kekakuan global
Setelah mendapatkan persamaan dari matriks untuk mencari kekakuan global dari masing-masing titik, langkah selanjutnya adalah dengan menggunakan perangkat lunak Open Modelica untuk mencari kekakuan global dari masing-masing titik tersebut
Berikut adalah Tampilan Coding di Software Modelica Beserta rincian Codingnya
.png)
Coding
Tampilan Modelica
.png)
Selanjtnya dilakukan pengecekan Coding dan dilakukanlah simulasi
.png)
Berikut adalah hasil yang didapatkan dari simulasi menggunakan Open Modelica untuk mencari Kekakuan Lokal
Setelah itu, langkah selanjutnya adalah mencari displacement (U) dan reaction (R). Untuk mencari displacement, perlu diperhatikan boundary dan external load yang ada dan dimasukan kedalam matriks. Karena titik 1 dan 3 merupakan pinned, maka tidak ada displacement pada titik 1 dan 3(U1x=U1Y=U3X=U3Y=0). External load berada pada titik 2 dan 4 (pada arah x sebesar -4000Cos(15) sedangkan pada arah y sebesar 4000Cos(15)). Pada Open Modelica, menggunakan persamaan A*U=F dan R=(KG*U)-R untuk mencari displacement dan reaction setiap titik:
Berikut adalah coding yang digunakan untuk mencari displacement dan reaction. Dalam simulasinya, harus menggunakan NaiveGauss agar simulasi dapat dilakukan
Tampilan Modelica Untuk Coding Model U dan R serta function NaiveGauss
Berikut adalah hasil yang didapatkan
.png)
Pertemuan 5: Menyelesaikan Persamaan Truss dengan Open Modelica untuk 2 dimensi dan 3 dimensi| 7 Desember 2020
Terdapat beberapa cara yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan suatu persoalan Truss dengan menggunakan Open Modelica. Pada pertemuan ini kami membahas tentang soal quiz yang telah diberikan pada pertemuan pekan 4. Jadi fungsi mempelajari soal ini adalah agar kita dapat lebih memahami pengaplikasian dari software openmodelica pada contoh kasus yang real. Pertemuan ini menjelaskan bagaimana alur pengerjaan soal quiz yang diberikan agar dapat membuat semua persamaan yang dapat digunakan pada kasus yang lebih umum.
Pada pertemuan ini, Pak Dai menunjuk ahmad muhammad fahmi untuk menjelaskan kepada teman-teman di kelas tentang fungsi-fungsi yang saya gunakan untuk mengerjakan soal quiz. Beberapa hal yang saya jelaskan antara lain:
1. Cara melakukan looping menggunakan fungsi for.
2. Cara membuat data dalam bentuk array.
3. Cara menggunakan fungsi if.
4. Apa itu floating number dan bagaimana cara menghilangkannya.
5. Apa itu protected variable.
6. Fungsi dari modelica class dengan specialization class dan function.
Tugas 5
Pertemuan 6: Muhasabah diri | 14 Desember 2020
Pada pertemua ini, kami diminta untuk menilai pemahaman diri kami sendiri untuk mata kuliah metode numerik. Kami diminta untuk mempresentasikan seberapa dalam pemahaman kami terkait materi metode numerik. Kami diminta untuk menjelaskan mengenai konsep fisika dari soal trusses yang selama ini kami garap. Lalu setelah itu, kami menjelaskan bagaimana cara untuk mensimulasikan soal trusses tersebut dalam perangkat openmodelica. Dalam soal kami mencari beberapa parameter seperti displacement lokal maupun global, konstanta stiffness lokal maupun global, serta reaction force yang dialami oleh tumpuan truss.
Dari kelas hari ini, saya mendapatkan beberapa bahan evaluasi yang perlu untuk saya perbaiki kedepannya. Pertama, jika dibandingkan dengan rekan-rekan sayan seperti ahmad muhammad fahmi, saya masih harus lebih banyak belajar lagi mengenai penggunaan openmodelica untuk mensimulasikan soal trusses ini. Kedepannya saya akan banyak berlatih dan mengeksplor lagi penggunaan openmodelica.
Pertemuan 7: aplikasi metode numerik dalam kasus optimisasi | 21 Desember 2020
Pada pertemuan kali ini kami mempelajari simulasi optimalisasi One-Dimensional Unconstrained menggunakan software openmodelica bersama dengan pa Dai dan ibu Candra. Kami mempelajari bagaimana cara mengaplikasikan perangkat openmodelica untuk mengoptimalkan suatu sistem trusses. Pada pertemuan ini kami mempelajari metode golden ratio untuk melakukan simulasi dalam suatu sistem.
Sinopsis Tugas Besar: Mengoptimalkan Sistem Trusses untuk Mencapai Best Efficiency Point (BEP)
Tugas Besar
Pada tugas besar kali ini, kami diberi tugas untuk mengaplikasikan ilmu metode numerik untuk mengoptimasi suatu sistem trusses dengam menggunakan perangkat lunak openmodelica. Berikut adalah geometri rangka beserta parameter-parameternya.
Tugas kami adalah mencari Best Efficiency point untuk sistem trusses ini mengacu pada harga dan juga kemampuan fisik dari trusses itu sendiri. Dalam tugas besar kali ini, kami mengerjakan pembuatan coding tersebut secara bersama-sama dari 2 kelas metode numerik 02 dan 03 dengan dipimpin oleh Ahmad Muhammad fahmi, Josiah Enrico, dan juga Christoper.
Flow Chart
Berikut adalah flow chart pengerjaan tugas besar dan pembuatan codinng untuk tugas besar
Pengerjaan Tugas Besar: Optimasi Sistem Trusses untuk Mencapai Best Efficiency Point (BEP)
Berikut adalah langkah-langkah yang telah dilakukan dalam mengerjakan tugas besar sesuai dengan flowchart yang telah dibuat sebelumnya.
1. Memahami karakteristik fisik trusses
Kasus kali ini, kami diberikan suatu bentuk trusses dengan 16 komponen penyusunnya (truss) dan terdapat 24 point dalam trusses tersebut. Trusses tersebut tersebut disusun secara hotizontal dan vertikal sehingga sudut yang dihasilkan dalam trusses hanya berbentuk 0 dan 90 derajat menurut pada sumbu x negatif. Kami diminta untuk membuat optimasi dari trusses ini berdasarkan pada harga serta kemampuan fisiknya. Governing Equation yang digunakan dalam sistem ini adalah dari formulasi finite element untuk defleksi sebagai berikut.
F=(AE/L)∆L
Dengan F adalah gaya yang dialami oleh trusses, A adalah luas penampang trusses, E adalah elastisitas bahan, L adalah panjang trusses dan ∆L adalah pertambahan panjang.
Selain itu, untuk mengevaluasi perhitungan , kami menggunakan hukum hooke untuk mengetahui hubungan antara stiffness trusses dengan gaya-gaya yang terjadi dalam trusses. Persamaan dasarnya adalah sebagai berikut.
k=AE/L
Dengan k adalah konstanta kekakuan.
Nantinya, trusses ini akan diselesaikan dengan metode numerik dengan bentuk matriks yang memiliki persamaan dasar untuk dislacement sebagai berikut sebagai berikut.
{U}=[T]{u}
dengan U adalah displacement dari perspektif global, dan u adalah displacement untuk perspektif lokal serta T adalah matriks transformasi.
Sementara hubungan antara nilai force yang dialam trusses antara lokal dan global dihubungkan dengan persamaan berikut.
{F}=[T]{f}
dengan F adalah force yang terjadi pada node dari perspektif global, dan f adalah force yang dialami node untuk perspektif lokal serta T adalah matriks transformasi.
Persamaan tersebut dielaborasikan menjadi persamaan sebagai berikut
{F}=[T][K][T]⁻¹{U}
2. Mendefinisikan Asumsi dalam Perhitungan
Asumsi yang digunakan untuk melakukan perhitungan ini antara lain:
- Beban akan terdistribusi hanya pada node (karena bersifat trusses).
- Safety factor minimal bernilai 2.
- Batas displacement 0,001 m sebelum buckling (pada truss paling atas).
- Ketinggian trusses pada tiap lantai sama yaitu 0,6 m.
- tidak ada bending karena bersifat truss
- Beban terdistribusi pada node
Metodologi
A. Untuk jenis material yang sama:
1. Mencari harga untuk 6 ukuran batang dengan material yang sama yaitu ASTM A36. 2. Mengitung nilai safety factor pada 6 ukuran batang dengan coding awal. 3. Membuat rasio antara safety factor dengan harga total. 4. Membuat persamaan antara rasio (safe/harga) dengan area dengan metode curve fitting. 5. Melakukan optimasi menggunakan metode golden section.
B. Untuk area penampang yang sama:
1. Mencari harga untuk 3 jenis material dengan area penampang yang sama yaitu 171 mm^2. 2. Mengitung nilai safety factor pada 3 jenis batang dengan coding awal. 3. Membuat rasio antara safety factor dengan harga total. 4. Membuat persamaan antara rasio (safe/harga) dengan jenis material dengan metode curve fitting. 5. Melakukan optimasi menggunakan metode golden section.
3. Mendefinisikan bagian-bagian dalam trusses
Constraint
- Node 1,2,3,4 (lantai dasar) fixed
- Beban F1 dan F2 terdistribusi ke node sekitaranya, sehingga:
1. Node 13 & 16 = 1000N
2. Node 14 & 15 = 500N
4. Menentukan variasi material dan variasi luas penampang untuk menghitung optimasi
Berikut adalah beberapa variasi yang dilakukan dalam melakukan optimasi.
Material tetap, variasi luas permukaan
Luas penampang tetap, variasi material
5. Membuat Codingan untuk Mencari nilai displacement, reaction force, dan melakukan optimasi
Berikut adalah coding hasil diskusi dua kelas yang dipimpin oleh Josiah, Fahmi, dan Christo
- Untuk perhitungan displacement, reaction force, stress, dan safety factor:
model Trusses_3D_Tugas_Besar_Safety
//define initial variable
parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points
parameter Integer Trusses=size(C,1); //Number of Trusses
parameter Real Yield=215e6; //Yield Strength (Pa)
parameter Real Area=0.000224; //Area L Profile (Dimension=0.03, Thickness=0,004) (m2)
parameter Real Elas=193e9; //Elasticity SS 304 (Pa)
//define connection
parameter Integer C[:,2]=[1,5;
2,6;
3,7;
4,8;
5,6; //1st floor
6,7; //1st floor
7,8; //1st floor
5,8; //1st floor
5,9;
6,10;
7,11;
8,12;
9,10; //2nd floor
10,11;//2nd floor
11,12;//2nd floor
9,12; //2nd floor
9,13;
10,14;
11,15;
12,16;
13,14;//3rd floor
14,15;//3rd floor
15,16;//3rd floor
13,16];//3rd floor
//define coordinates (please put orderly)
parameter Real P[:,6]=[0.3,-0.375,0,1,1,1; //1
-0.3,-0.375,0,1,1,1; //2
-0.3,0.375,0,1,1,1; //3
0.3,0.375,0,1,1,1; //4
0.3,-0.375,0.6,0,0,0; //5
-0.3,-0.375,0.6,0,0,0; //6
-0.3,0.375,0.6,0,0,0; //7
0.3,0.375,0.6,0,0,0; //8
0.3,-0.375,1.2,0,0,0; //9
-0.3,-0.375,1.2,0,0,0; //10
-0.3,0.375,1.2,0,0,0; //11
0.3,0.375,1.2,0,0,0; //12
0.3,-0.375,1.8,0,0,0; //13
-0.3,-0.375,1.8,0,0,0; //14
-0.3,0.375,1.8,0,0,0; //15
0.3,0.375,1.8,0,0,0]; //16
//define external force (please put orderly)
parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,-500,
0,0,-1000,
0,0,-1000,
0,0,-500};
//solution
Real displacement[N], reaction[N];
Real check[3];
Real stress1[Trusses];
Real safety[Trusses];
Real dis[3];
Real Str[3];
protected
parameter Integer N=3*Points;
Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3];
Real err=10e-10, ers=10e-4;
algorithm
//Creating Global Matrix
G:=id;
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
q1[j]:=P[C[i,1],j];
q2[j]:=P[C[i,2],j];
end for;
//Solving Matrix
L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
cz:=(q2[3]-q1[3])/L;
X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
cy*cx,cy^2,cy*cz;
cz*cx,cz*cy,cz^2];
//Transforming to global matrix
g:=zeros(N,N);
for m,n in 1:3 loop
g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
end for;
G_star:=G+g;
G:=G_star;
end for;
//Implementing boundary
for x in 1:Points loop
if P[x,4] <> 0 then
for a in 1:Points*3 loop
G[(x*3)-2,a]:=0;
G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
end for;
end if;
if P[x,5] <> 0 then
for a in 1:Points*3 loop
G[(x*3)-1,a]:=0;
G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
end for;
end if;
if P[x,6] <> 0 then
for a in 1:Points*3 loop
G[x*3,a]:=0;
G[x*3,x*3]:=1;
end for;
end if;
end for;
//Solving displacement
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);
//Solving reaction
reaction:=(G_star*displacement)-F;
//Eliminating float error
for i in 1:N loop
reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
end for;
//Checking Force
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))});
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))});
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)});
for i in 1:3 loop
check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
end for;
//Calculating stress in each truss
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
q1[j]:=P[C[i,1],j];
q2[j]:=P[C[i,2],j];
dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
end for;
//Solving Matrix
L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
cz:=(q2[3]-q1[3])/L;
X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
cy*cx,cy^2,cy*cz;
cz*cx,cz*cy,cz^2];
Str:=(X*dis);
stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
end for;
//Safety factor
for i in 1:Trusses loop
if stress1[i]>0 then
safety[i]:=Yield/stress1[i];
else
safety[i]:=0;
end if;
end for;
end Trusses_3D_Tugas_Besar_Safety;
- Untuk membuat kurva curve fitting:
function Curve_Fitting input Real X[:]; input Real Y[size(X,1)]; input Integer order=2; output Real Coe[order+1]; protected Real Z[size(X,1),order+1]; Real ZTr[order+1,size(X,1)]; Real A[order+1,order+1]; Real B[order+1]; algorithm for i in 1:size(X,1) loop for j in 1:(order+1) loop Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j); end for; end for; ZTr:=transpose(Z); A:=ZTr*Z; B:=ZTr*Y; Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B); end Curve_Fitting;
- Untuk golden section:
model Opt_Gold
parameter Real xd[:];
parameter Real yd[size(xd,1)];
parameter Real xlo=87e-6;
parameter Real xhi=504e-6;
parameter Integer N=10; // maximum iteration
parameter Real es=0.0001; // maximum error
Real f1[N], f2[N], x1[N], x2[N], ea[N], y[3];
Real xopt, fx;
protected
Real d, xl, xu, xint, R=(5^(1/2)-1)/2;
algorithm
xl := xlo;
xu := xhi;
y := Curve_Fitting(xd,yd);
for i in 1:N loop
d:= R*(xu-xl);
x1[i]:=xl+d;
x2[i]:=xu-d;
f1[i]:=y[1]*x1[i]^2+y[2]*x1[i]+y[3];
f2[i]:=y[1]*x2[i]^2+y[2]*x2[i]+y[3];
xint:=xu-xl;
if f1[i]>f2[i] then
xl:=x2[i];
xopt:=x1[i];
fx:=f1[i];
else
xu:=x1[i];
xopt:=x2[i];
fx:=f2[i];
end if;
ea[i]:=(1-R)*abs((xint)/xopt);
if ea[i]<es then
break;
end if;
end for;
end Opt_Gold;
6. Hasil Perhitungan
Setelah me
