1 BIODATA DIRI
2 Pertemuan 1 (9 November 2020)
3 Pertemuan 2 (16 November 2020)
4 Pertemuan 3 (23 November 2020)
- 4.1 Tugas Trusses
5 Pertemuan 4 (30 November 2020)
- 5.1 Quiz
6 Pertemuan 5 (7 Desember 2020)
7 Pertemuan 6 (14 Desember 2020)
8 Pertemuan 7 (21 Desember 2020)
9 Tugas Besar: Aplikasi Metoda Numerik dalam Optimasi Statika Struktur Rangka Sederhana space truss (3D)
10 Pertemuan 8 (4 Januari 2020)
11 UAS

BIODATA DIRI

Nama : Bolonni Nugraha

Tempat/Tanggal lahir: Bekasi, 21 Desember 1999

NPM : 1806181741

Fakultas/ Jurusan : Teknik/ Teknik Mesin

Kelas: Metoda Numerik 03

Pertemuan 1 (9 November 2020)

Pada pertemuan kali kembali dilaksanakan secara PJJ. Pak Dai kembali mengingatkan pentingnya perhitungan secara numerik untuk membantu kita memecahkan masalah.

Berikut merupakan dasar penilaian dan objektif dari Pak Dai yang merupakan apa yang diharapkan dari setiap individu mahasiswa pada akhir semester nantinya

1. Memahami konsep, dari konsep melahirkan prinsip/pembentukan rumusan

2. Untuk menunjukan kepahaman, menerapkan konsep untuk memecahkan masalah

3. Perumusan keteknikan

4. Mendapatkan nilai tambah di dalam usaha mengenal diri sendiri

Untuk minggu pertama, Pak Dai memberikan tugas untuk menulis apa yang telah kami pelajari selama setelah semester yang lalu pada mata kuliah Metode Numerik.

Mengapa kita membutuhkan perhitungan secara numerik? Menurut Pak Engkos, selaku dosen Metode Numerik sebelum UTS, dikarenakan banyaknya perhitungan yang tidak bisa dilakukan secara eksak, khususnya perhitungan di bidang Engineering. Pendekatan Numerik menggunakan perhitungan berulang untuk mendekati nilai eksak. Berikut adalah garis besar ilmu yang saya dapatkan sebelum UTS.

1. Mencari error pada Pembulatan dan Deret Taylor

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Deret ini merubah suatu F(x) menjadi polinomial

Errornya sendiri bukan terhadap true value, karena beberapa fungsi pada suatu titik tidak menemukan suatu nilai yang pasti, melainkan eror perbandingan value baru dengan value lama yang diabsolutkan.

2. Penyelesaian sistem persamaan Melakukan pencarian akar-akar persamaan secara numerik. Secara garis besar dilakukan secara Brackething Method (Closed Method, menggunakan batas bawah dan batas atas), seperti pada Graphical Methods, Bisection Methods dan False-Position Methods, dan Open Method (menggunakan 1 titik), seperti pada Fixed-Point Iteration, Newton-Rapshon, dan Secant Method.

3. Regresi Linier Regresi adalah pemodelan asosiasi antara satu variabel dependen dengan satu/lebih variabel independen. Pada kasus kali ini yang dibahas adalah pola sebaran data yang cenderung linier. Kegunaannya adalah memprediksi sebaran data selanjutnya berdasarkan data-data yang telah dimiliki sebelumnya

4. Numerical Differentiation

Pertemuan 2 (16 November 2020)

Pada pertemuan kali ini, sambil mahasiswa diminta untuk memberikan progress pembelajaran menggunakan modelica, Pak Dai meminta mahasiswa untuk mensimulasikan coding sederhana mencari nilai rata-rata dari beberapa sample. Berikut lampiran percobaan simulasi saya

Yang berikutnya, Pak Dai juga meminta mahasiswa untuk membuat coding penyelesaian persamaan aljabar linier dengan metode yang sudah dipelajar. Disini saya menggunakan metode Gauss Elimination

Sehingga diperoleh

x=3

y=-1

z=-2

Pertemuan 3 (23 November 2020)

Pada pertemuan kali ini, Pak Dai menggambarkan hubungan pembelajaran kita pada kelas metode numerik dengan aplikasinya pada penyelesaian permasalahan teknik. Berikut adalah tahapan-tahapannya:

masalah teknik
analisis masalah
model matematis
model numerik
komputer
solusi

Untuk kita lebih memahami tahapan-tahapan ini, diberikan contoh kasus pada spring mass sebagai berikut:

Dari persamaan diatas kita ubah jadi bentuk matriks dan diselesaikan dengan eliminasi gauss

Didapatkanlah nilai variabel dari x sebagai berikut

Tugas Trusses

Di akhir kelas, Pak Dai memberikan contoh kasus lain sebagai tugas selanjutnya. Contoh kasus permasalahan tekniknya adalah soal statik struktur. Kami diminta untuk mencari nilai displacement dan gaya reaksinya.

Tahapan penyelesaian:

1. Untuk memudahkan, pertama-tama kita konsiderasikan batang menjadi elemen dan titik temu sebagai node(simpul)

2. Mencari nilai konstanta kekakuan elemen. Karena pada elemen (1),(3),(4),dan(6) memiliki panjang, luas penampang, dan modulus elastisitas yang sama, sehingga memiliki nilai yang sama sebagai berikut:

Sementara pada (2) dan (5) sebagai berikut:

3. Membuat matriks kekakuan tiap elemen

4. Menyambungkan elemen-elemen dan membentuk matriks global kekakuan

Kita sederhanakan:

5. Menerapkan kondisi batas dan beban

6. Mencari solusi persamaan (displacement) dengan bantuan software OpenModelica

Sudah sesuai dengan buku

7. Mencari nilai gaya reaksi

8. Mencari internal force dan normal stress

Pertemuan 4 (30 November 2020)

Quiz

Buatlah flowchart penyelesaian masalah teknik berikut!

Flowchart kedua soal kurang lebih sama sebagai berikut:

Beberapa dokumentasi perhitungan:

No.4

Pendefinisian elemen & node (simpul)

Pencarian konstanta kekakuan

Konsep dasar

Pencarian deplacement/defleksi (u)

Pencarian gaya reaksi (R)

Perhitungan:

No.8

Pertemuan 5 (7 Desember 2020)

Pada pertemuan kali ini, Pak Dai memberikan tugas kepada kami sebagai berikut:

Mempelajari codingan 3d fahmi
Mengaplikasikan pada soal example 3.3
Memberikan masukan atas codingan Fahmi

Jawab:

No.4	No.8
1. Class	1. Class

Pada pengerjaan di atas, masih terdapat kekurangan dimana kita masih kurang memaksimalkan komputerisasi. Perhitungan panjang batang dan besar nilai theta masih secara manual. Kita seharusnya dapat menggunakan koordinat untuk mendapatkan nilai-nilai tersebut seperti coding struktur 3D berikut ini untuk soal example 3.3 pada tautan berikut:

https://drive.google.com/drive/folders/1X05i3a90TrB4vbeqcaCUyqnfwgWlEqTC?usp=sharing

Pertemuan 6 (14 Desember 2020)

Pada pertemuan kali ini, Pak Dai mempersilahkan semua mahasiswa melakukan muhasabah untuk menilai sendiri pemahaman masing-masing untuk algoritma dan penerapannya (encoding modelica) untuk aplikasi metoda numerik dalam kasus statika struktur statis Truss 2D (bodang) dan 3D (Space).

Saya termasuk yang diberikan kesempatan untuk memaparkan hal tersebut di kelas. Saya mencoba untuk mengevaluasi pemahaman konsep dan pengalaman yang telah saya dapatkan selama pembelajaran mata kuliah Metode Numerik. Selain evaluasi yang sudah saya paparkan, saya juga ingin membagikan pengalaman kontribusi kecil saya di kelas ini. Saya diberikan kesempatan oleh Fahmi untuk mereview program yang sudah dibuat oleh Fahmi untuk topik Trusses, dan recordnya dibagikan kepada teman-teman. Disini saya juga berusaha untuk belajar memaparkan seinformatif mungkin agar dapat menjadi bekal saya apabila diminta untuk menjelaskan di kelas bersama Pak Dai.

Dokumentasi Record Kelas

Pada kelas ini, Pak Dai juga mengundang mahasiswa dari kelas reguler sehingga dilanjutkan dengan diskusi singkat mengenai materi yang telah diberikan selama ini. Pak Dai memberikan arahan mengenai tugas besar yang bertemakan aplikasi metoda numerik dalam optimasi statika struktur space truss (3d) untuk dikumpulkan di wiki 1 minggu sebelum UAS

Pertemuan 7 (21 Desember 2020)

Dokumentasi Pertemuan

Tugas Besar: Aplikasi Metoda Numerik dalam Optimasi Statika Struktur Rangka Sederhana space truss (3D)

Arahan dari Pak Dai adalah kelas bekerja sama untuk membuat suatu program bersama untuk mencari optimisasi desain untuk menekan biaya pada kasus yang diberikan. Optimisasi adalah suatu cara untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum dari suatu permasalahan. Dalam optimisasi tersebut harus ada fungsi objektif dan ada konstrain/batasan/interval. Diskusi kelas telah dilaksanakan sebanyak 2 kali

Diskusi 29 Desember 2020

Diskusi 3 Januari 2021

PENGERJAAN

Flowchart Pengerjaan

Profil truss siku:

Konstrain:

- Spesifikasi L (Panjang) dan geometri rangka truss

- Gaya beban terhadap struktur (1000 N dan 2000 N)

Tujuan

Mengoptimalkan desain rangka dan biaya dengan variasi dimensi dan elastisitas material.

Asumsi

- Variasi Stiffness terikat dengan variabel area. Memvariasikan Elastisitas tergolong sulit karena setiap material memiliki range yang tidak teratur dan dalam satu material yang sejenis (struktur biaya tetap) tidak terjadi perubahan nilai elastisitas yang berbanding lurus dengan perubahan biaya.

- Beban akan terdistribusi hanya pada point penghubung (karena bersifat truss)

Data Hasil

Pencarian Data Material

Untuk nilai elastisitas/material yang sama, langkahnya sebagai berikut:

Mencari data yield strength dan elasticity dari material yang dipilih
Mencari harga truss sesuai dengan material.
Menghitung nilai safety factor.
Membuat rasio (efficiency) dari safety factor dengan total cost.
Membuat persamaan (mencari Coe) antara rasio dengan area menggunakan curve-fitting.
Melakukan optimasi menggunakan metode golden section.

Untuk luas penampang yang sama, langkahnya sebagai berikut:

Mendefinisikan luas penampang yang sama untuk seluruh variasi material.
Mencari harga untuk 3 jenis variasi material.
Menghitung nilai safety factor pada 3 variasi truss.
Membuat rasio antara safety factor dengan total cost.
Membuat persamaan (mencari Coe) antara rasio dengan area menggunakan curve-fitting.
Melakukan optimasi menggunakan metode golden section.

Lewat perhitungan numerik curve-fitting function, kita memperoleh sebuah kelompok koefisien yang membentuk kurva untuk kolom cost per 6 m

Lewat perhitungan numerik curve-fitting function, kita memperoleh 3 kelompok koefisien yang membentuk kurva untuk kolom masing-masing cost per kg, density, dan pada yield.

Kode Modelica Pendukung

Trusses Modelling

Untuk perhitungan displacement, reaction force, stress, dan safety factor:

model Trusses_3D_Tugas_Besar_Safety

//define initial variable
parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points
parameter Integer Trusses=size(C,1); //Number of Trusses
parameter Real Yield=215e6; //Yield Strength (Pa)
parameter Real Area=0.000224;   //Area L Profile (Dimension=0.03, Thickness=0,004) (m2)
parameter Real Elas=193e9;     //Elasticity SS 304  (Pa)

//define connection
parameter Integer C[:,2]=[1,5; 
                          2,6;
                          3,7;
                          4,8;
                          5,6;  //1st floor
                          6,7;  //1st floor
                          7,8;  //1st floor
                          5,8;  //1st floor
                          5,9;
                         6,10;
                         7,11;
                         8,12;
                         9,10; //2nd floor
                         10,11;//2nd floor 
                         11,12;//2nd floor
                          9,12; //2nd floor
                          9,13;
                         10,14;
                         11,15;
                         12,16;
                         13,14;//3rd floor
                         14,15;//3rd floor
                         15,16;//3rd floor
                        13,16];//3rd floor
                                                              
//define coordinates (please put orderly)
parameter Real P[:,6]=[0.3,-0.375,0,1,1,1;     //1
                       -0.3,-0.375,0,1,1,1;    //2
                       -0.3,0.375,0,1,1,1;     //3
                       0.3,0.375,0,1,1,1;      //4
                           
                       0.3,-0.375,0.6,0,0,0;   //5
                       -0.3,-0.375,0.6,0,0,0;  //6
                       -0.3,0.375,0.6,0,0,0;   //7
                       0.3,0.375,0.6,0,0,0;    //8
                            
                       0.3,-0.375,1.2,0,0,0;   //9
                       -0.3,-0.375,1.2,0,0,0;  //10  
                       -0.3,0.375,1.2,0,0,0;   //11
                       0.3,0.375,1.2,0,0,0;    //12
                            
                       0.3,-0.375,1.8,0,0,0;   //13
                       -0.3,-0.375,1.8,0,0,0;  //14
                       -0.3,0.375,1.8,0,0,0;   //15
                       0.3,0.375,1.8,0,0,0];   //16
                          
//define external force (please put orderly)
parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,-500, 
                            0,0,-1000, 
                            0,0,-1000, 
                            0,0,-500}; 

//solution
Real displacement[N], reaction[N];
Real check[3];

Real stress1[Trusses];
Real safety[Trusses];
Real dis[3];
Real Str[3];
 
protected
parameter Integer N=3*Points;
Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3];
Real err=10e-10, ers=10e-4;

algorithm
//Creating Global Matrix
G:=id;
for i in 1:Trusses loop
 for j in 1:3 loop
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
 end for;
      
   //Solving Matrix
   L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
   cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
   cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
   cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
   X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                     cy*cx,cy^2,cy*cz;
                     cz*cx,cz*cy,cz^2];

   //Transforming to global matrix
   g:=zeros(N,N); 
   for m,n in 1:3 loop
     g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
     g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
     g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
     g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
   end for;  

 G_star:=G+g;
 G:=G_star;
end for;

//Implementing boundary
for x in 1:Points loop
 if P[x,4] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[(x*3)-2,a]:=0;
     G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
   end for;
 end if;
 if P[x,5] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[(x*3)-1,a]:=0;
     G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
   end for;
 end if;
 if P[x,6] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[x*3,a]:=0;
     G[x*3,x*3]:=1;
   end for;
 end if;
end for;

//Solving displacement
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);

//Solving reaction
reaction:=(G_star*displacement)-F;

//Eliminating float error
for i in 1:N loop
 reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
 displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
end for;

//Checking Force
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))});
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))});
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)});
  
for i in 1:3 loop
 check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
end for;

//Calculating stress in each truss
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
  dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
end for;
      
   //Solving Matrix
   L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
   cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
   cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
   cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
   X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                cy*cx,cy^2,cy*cz;
                cz*cx,cz*cy,cz^2];
   
   Str:=(X*dis);
   stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
end for;

//Safety factor
for i in 1:Trusses loop
 if stress1[i]>0 then
   safety[i]:=Yield/stress1[i];
 else
   safety[i]:=0;
 end if; 
end for;

end Trusses_3D_Tugas_Besar_Safety;

Untuk membuat kurva curve fitting:

function Curve_Fitting

input Real X[:];
input Real Y[size(X,1)];
input Integer order=2;
output Real Coe[order+1];

protected
Real Z[size(X,1),order+1];
Real ZTr[order+1,size(X,1)];
Real A[order+1,order+1];
Real B[order+1];

algorithm

for i in 1:size(X,1) loop
 for j in 1:(order+1) loop
 Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j);
 end for;
end for;
ZTr:=transpose(Z);

A:=ZTr*Z;
B:=ZTr*Y;
Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B);

end Curve_Fitting;

Untuk golden section:

model Opt_Gold

parameter Real xd[:];
parameter Real yd[size(xd,1)];
parameter Real xlo=87e-6;
parameter Real xhi=504e-6; 
parameter Integer N=10; // maximum iteration
parameter Real es=0.0001; // maximum error

Real f1[N], f2[N], x1[N], x2[N], ea[N], y[3];
Real xopt,  fx;
protected
Real d, xl, xu, xint, R=(5^(1/2)-1)/2;

algorithm
xl := xlo; 
xu := xhi;
y  := Curve_Fitting(xd,yd);
 
for i in 1:N loop
 d:= R*(xu-xl);
 x1[i]:=xl+d;
 x2[i]:=xu-d;
 f1[i]:=y[1]*x1[i]^2+y[2]*x1[i]+y[3];
 f2[i]:=y[1]*x2[i]^2+y[2]*x2[i]+y[3];
 xint:=xu-xl;
 
 if f1[i]>f2[i] then
   xl:=x2[i];
   xopt:=x1[i];
   fx:=f1[i];
   else
     xu:=x1[i];
     xopt:=x2[i];
     fx:=f2[i];
 end if;
 
 ea[i]:=(1-R)*abs((xint)/xopt);
 if ea[i]<es then
   break;
 end if;
end for;

end Opt_Gold;

Referensi

https://duniabahanbangunanbandung.blogspot.com/p/harga-besi-siku-stainless-steel.html

http://www.wermac.org/steel/dim_angle_eq.html

https://wijayamakmur.com/siku/

https://www.tokopedia.com/aalt-co/siku-aluminium-30x30x3-pjg-6000mm

Pertemuan 8 (4 Januari 2020)

Pada oertemuan kali ini, dilaksanakan verifikasi oleh Pak Dai atas muhasabah yang telah dilakukan oleh masing-masing mahasiswa.

1. Value (adab/attitude/moral value seperti tingkat kerajinan (kehadiran, menulis (tugas wiki), ketekunan, kesungguhan, dll)

2. Pemahaman pengetahuan/ knowledge (konsep-konsep dan prinsip-prinsip metoda numerik)

3. Keterampilan (skill dlm mengaplikasikan konsep dalam penyelesaian kasus (algoritma, pemrograman, dll)

UAS

The New Macon Water Tower

Perhatikan Water Tower dengan Reservoir berbentuk bola pada gambar diatas. Anda diminta untuk untuk membuat pemodelan numerik untuk mengoptimalkan struktur Water Tower tersebut.

Nomor 1

Buatlah urutan langkah-langkah (prosedur) pemodelan numerik untuk optimasi struktur tersebut!

No.1

Nomor 2

Jelaskan tujuan pemodelan numerik soal no 1 diatas, hukum/dalil (fisika) yang dipakai dan asumsi-asumsi yang akan digunakan dalam perhitungan!

No.2

Nomor 3

Untuk pemodelan numerik analisis strukturnya nya gunakan pendekatan 1D truss dgn membagi kolum (tiang) water tower kedalam 3 elemen (1D).

a). Susunlah persamaan aljabar kesetimbangan statik setiap elemen tsb. (matriks kesetimbangan lokal)

b) Matriks kesetimbangan global

No.3

Nomor 4,5 & 6

Susun urutan langkah-langkah (pseudocode) perhitungan matriks kesetimbangan global soal no 3 termasuk pengecekan kesalahan (verifikasi) perhitungannya!
Tulis dan jelaskan fungsi objektif dan constraint untuk optimasi struktur water tower tersebut!
Tuliskan asumsi nilai-nilai parameter dan variable untuk menghitung displacement, restraint dan stress utk model struktur water tower dgn 3 elemnt 1 D diatas!

No.4,5, & 6

Nomor 7

Gunakan program modelica anda untuk menghitung displacement, restraint dan stress utk model struktur water tower dgn 3 element 1 D berdasarkan asumsi no 6!

No.7

Saya menggunakan program yang dibuat oleh Fahmi sewaktu penyelesaian example 3.3 (Quiz) diatas sebelumnya. Namun, nilai-nilai yang dicari tidak berhasil didapat karena ditemukan error. Dokumentasinya adalah sebagai berikut.

No.7

Kemudian, saya berusaha untuk memperbaiki jawaban ini agar dapat menjadi bahan evaluasi saya berikutnya. Dengan nilai-nilai parameter input yang saya coba sesuaikan dengan ketersediaan bahan di lapangan dan diskusi saya dengan seorang ahli di bidang struktur (ayah saya), saya mencoba untuk mensimulasikannya dengan program yang dibuat oleh teman saya. Berikut adalah dokumentasinya.