Pemodelan Persamaan Gerakan Lemparan Vertikal

Studi Kasus

Persamaan yang ditulis dengan inisial RAU merupakan suatu persamaan mengenai gerakan melempar vertikal keatas, contoh aplikasi yang ada di dunia nyata adalah lemparan genteng keatas dari tukang bangunan. Persamaan matematika dari kegiatan melempar genteng ke atas rumah ini saya buat dengan metode numerik runge kutta, dengan memperhitungkan gravitasi dan gaya drag yang dihasilkan dari geometri genteng.

Berikut ini video pelemparan genteng yang saya maksidkan . Klik disini => [1]

Dengan asumsi lemparan vertikal ke atas, tidak membentuk sudut terhadap sumbu vertikal, maka berikut ini adalah pemodelan matematis dari kasus ini:

Model Matematika

Impuls yang diberikan Tukang Bangunan

Perlambatan Kecepatan oleh Gravitasi dan Gaya Drag Udara

Kondisi genteng telah menyentuh tanah kembali

Algoritma

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode runge kutta, dalam kasus ini saya ingin mencoba mencari waktu untuk mencapai kondisi tertinggi genteng yang dilemparkan keatas tersebut. Cara-cara yang akan saya lakukan adalah sebagai berikut:

1. Menyusun input yang akan digunakan yaitu terdiri dari impuls yang diberikan, nilai gravitasi, koefisien drag,masa genteng.

2. Membuat pendefinisian dari nilai persamaan sesuai dengan persamaan matematis yang sudah dibuat, pendefinisian berupa suatu persamaan diferensial

3. Untuk mendapatkan nilai waktu maka runge kutta harus dibuat suatu sistem iterasi yaitu dengan menggunakan while, sehingga terjadi iterasi sampai kecepatan 0 dan diperoleh waktunya.

4.

Coding

 import numpy as np
 m = eval(input("massa genteng(kg): "))
 g = eval(input("percepatan gravitasi(m/s^2): "))
 I = eval(input("impuls yang diberikan(kg*m/s): "))
 cd = eval(input("koefisien drag udara : "))
 t = eval(input("waktu untuk menganalisis posisi(s) : "))
 i = t

 def dv(t,v):
     func =-g-((cd*v**3/2)/m)
     return(func)

 #mendifinisikan initial condition, asumsikan V saat sebelum diberi impuls oleh tukang bangunan = 0 sehingga impuls menjadi:
 o = I/m
 v = o
 #menentukan increament waktu
 h = 0.01 

 step_size = np.arange(0,i,h)

 #membuat looping
 for t in step_size:
     k1 = dv(t,v)
     k2 = dv((t+0.5*h),(v+0.5*h*k1))
     k3 = dv((t+0.5*h),(v+0.5*h*k2))
     k4 = dv((t+h),(v+h*k3))
   
     v= v + 1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)*h

 #pendefinisian if dan else berikut ini berdasarkan pada konservasi energi kinetik dan potensial bahwa jumlah energi kinetik dan potensialnya selalu konstan  
 if v >= -o:
     print("maka kecepatannya adalah",v)
 else:
     print("maka kecepatannya adalah", 0, "karena genteng telah menyentuh tanah kembali")

Hasil Phyton