Metnum03-Mizan Eryandhika Guntorozi
Pendahuluan
بِسْمِ اللهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيْمِ
السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ
Perkenalkan, nama saya Mizan Eryandhika Guntorozi atau yang biasa dipanggil Mizan, saya merupakan mahasiswa S1 Paralel Teknik Mesin Universitas Indonesia. Berikut adalah biodata diri saya dan juga catatan-catatan saya mengenai Perkuliahan Jarak Jauh(PJJ) mata kuliah Metode Numerik sampai dengan Ujian Akhir Semester(UAS). Catatan tersebut meliputi tugas yang diberikan pada setiap pertemuan juga progress pembelajaran saya setiap diadakan pertemuan. Saya berharap page ini dapat memberikan manfaat bagi siapapun yang membaca. Terimakasih.
Pertemuan 1: 9 November 2020
Pada pertemuan kali ini, Pak Dai meminta mahasiswa untuk bisa aktif berdiskusi selama pembelajaran, juga pada pertemuan kali ini mahasiswa ditekankan untuk tetap terus belajar dan bisa mengaplikasikan teknologi untuk membantu pembelajaran, pada mata kuliah metode numerik ini aplikasi yang diharapkan untuk bisa dikuasai mahasiswa adalah aplikasi Open Modelica.
Materi sebelum UTS
Pada saat sebelum UTS, perkuliahan metoda numerik yang diajar oleh Pak Engkos dengan referensi buku Numerical Method For Engineers oleh Steven Chapra meliputi beberapa bahasan seperti berikut:
1. Truncation error
Truncation error merupakan error yang terjadi karena pemotongan dari suatu deret tak hingga menjadi deret berhingga. Pendekatan yang sering dipakai pada penyelesaian numerik adalah deret taylor. Untuk menyederhanakan permasalahan biasanya perhatian hanya ditujukan pada beberapa suku dari deret taylor tersebut, sedangkan suku lainnya diabaikan. Pengabaian suku inilah yang menyebabkan truncation error. Deret taylor sendiri merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial. Jika fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut. Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yang terletak pada jarak Dx dari titik xi.
Truncation error terjadi ketika suatu rumus komputasi disederhanakan dengan cara membuang suku yang berderajat tinggi. Sebagai contoh nilai cosinus (cos(x)) dapat didekati dengan deret Taylor, sebagai berikut:
cos(x) = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! + x8/8! – x10/10! + …
misalkan x=1.5, maka nilai eksak cos(1.5) = 0.070737, namun jika cos(1.5) dihitung menurut deret Taylor hingga suku ke-4 saja, maka:
cos(1.5) = 1 – (1.5)2/2! + (1.5)4/4! – (1.5)6/6! = 0.070187
dengan demikian ada kesalahan sebesar 0.000550 dari nilai sebenarnya akibat adanya “truncation” atau pemotongan.
2. Roots of Equation - Bracketing Method dan Open Method
Bracketing Method: Metode ini adalah suatu metode dalam metode numerik yang berfungsi untuk mencari akar-akar dari suatu persamaan dengan cara menebak dua nilai,kemudian kita mengurung dengan menggunakan kedua nilai tersebut hingga kita dapat menemukan akar-akar dari persamaan tersebut.
a) Metode Bisection
Akar-akar persamaan pada metode bisection memiliki persyaratan sebagai berikut:
f(xl).f(xu) < 0,
yang artinya:
Akan ada paling sedikit satu akar persamaan diantara xl dan xu. xl adalah x di bawah, xu adalah x di atas.
Metode bisection digunakan dalam mencari akar persamaan yang dilakukan dengan cara membagi dua setiap interval yang ada. Posisi akar persamaan dapat ditentukan dengan cara melihat perubahan tanda pada gelombang yang terjadi. Contohnya seperti grafik di bawah:
Terlihat saat perubahan tanda (arah panah berubah) maka akan ada paling sedikit satu akar persamaan. Pada contoh di atas f(x) = sinx, terlihat ada sekitar empat akar persamaan yaitu saat x = 0, x = π, x = 2 π, x = 3 π.
b) Metode False position
Jika f(xl) dan f(xu) dihubungkan dengan garis lurus, perpotongan garis dengan sumbu x menunjukkan adanya akar pendekatan (estimate of root). Seperti gambar di bawah ini:
Pada metode ini nilai xr juga dapat digunakan prinsip persamaan di bawah ini:
Setelah nilai xr didapat, kemudian xr menggantikan nilai tebakan awal xl atau xu, dengan cara ini nilai xl dan xu akan selalu mengurung nilai akar. Cara ini dilakukan terus sampai menemukan akar dengan error yang diinginkan.
Open Method: Metode ini adalah metode yang didasarkan pada formula yang hanya membutuhkan nilai awal tunggal x atau dua nilai. Berbeda dengan Metode Bracketing yang perhitungannya menggunakan perkiraan yang lebih dekat dari nilai sebenarnya dari akar dan yang dikatakan konvergen.
a) Metode Iterasi Sederhana (Simple Fixed-Point Iteration Method)
Metode terbuka menggunakan rumus untuk memprediksi akar. Formula seperti itu dapat dikembangkan untuk Simple Fixed-Point Iteration Method (atau, seperti yang juga disebut, satu titik iterasi atau substitusi berturut-turut) dengan mengatur kembali fungsi f(x) = 0 sehingga x ada di sisi kiri persamaan. Seperti contoh sebagai berikut ini:
b) Metode Newton-Rapshon
Metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier,dengan prinsip utama sebagai berikut:
-Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis singgung(gradien) pada suatu titik awal
-Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung (gradien) kurva dengan sumbu x
c) Metode Secant
Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f’(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang equivalent dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)). Dengan contoh seperti di bawah ini:
3. Gauss Elimination
Metode Eliminasi gauss dapat dimanfaatkan untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan merepresentasikan (mengubah) menjadi bentuk matriks, matriks tersebut lalu diubah kebentuk Eselon Baris melalui Operasi Baris Elementer. Kemudian sistem diselesaikan dengan substitusi balik.
4. Curve Fitting
Metode pencocokan kurva dapat dilakukan dengan melakukan regresi linear.
5. Numerical Differentiation
Numerical Differentiation adalah proses menemukan nilai numerik dari turunan fungsi tertentu pada titik tertentu. Seperti contoh di bawah ini:
- dengan catatan h<1 .
Kemudian, Pak Dai memicu diskusi untuk membahas pengaplikasian metode numerik yang sudah lalu pada saat sebelum UTS untuk mahasiswa menceritakan apa saja yang bisa diambil dari materi-materi yang sudah dipelajari sebelumnya, pada kehidupan sehari-hari terutama. Kemudian, Pak Dai mengharapkan untuk setiap mahasiswa dapat menjelaskannya di youtube channel masing-masing mengenai hal tersebut, dan juga tambahan untuk mempelajari aplikasi Open Modelica tadi untuk kemudian dijelaskan di masing-masing video youtube mahasiswa. Berikut adalah tautan hasil tugas saya berupa link video youtube mengenai hal tersebut:
Tugas 1: https://youtu.be/n5r8cb-cfQc
Pertemuan 2: 16 November 2020
Pada pertemuan kali ini, Pak Dai memberikan materi mengenai bahasa Open Modelica yang bisa kita praktikkan sendiri-sendiri. Materi yang diberikan yaitu membuat suatu persamaan yang bisa dipecahkan dengan menggunakan bahasa Open Modelica.
Pak Dai memberikan para mahasiswa 2 bentuk latihan yaitu yang pertama memecahkan atau menentukan suatu nilai variabel x atau y didalam satu persamaan dengan menggunakan bahasa Open Modelica itu sendiri.
Bentuk latihan pertama yang diberikan kurang lebih seperti ini:
