Konsep Infinite (Oleh : Athoillah Azadi)
KONSEP INFINITE
Simbol tak hingga (Infinity) adalah sebuah konsep abstrak yang menggambarkan sesuatu yang tanpa batas dan relevan dalam sejumlah bidang, terutama matematika dan fisika. Tak hingga (Infinity) itu dalam daftar simbol matematika yang telah diorganisir menurut jenis simbolnya termasuk ke dalam daftar simbol bukan huruf yang lain dan merupakan kategori bilangan. Namun, ada beberapa yang berpendapat bahwa tak hingga bukan benar-benar bilangan. Tak berlaku seperti bilangan yang biasa kita gunakan. Bilangan yang kita gunakan seluruhnya memiliki akhir, tetapi tak hingga tidak memilikinya. Beberapa orang juga ada yang berpendapat bahwa tak hingga ialah tiap bilangan (kecuali 0) yang dibagi oleh 0 sehingga bernilai tak hingga.
Dalam wikipedia, bahwa tak hingga atau ananta yang sering ditulis ∞, ialah bilangan yang lebih besar dari pada tiap-tiap yang kemungkinan dapat dibayangkan. Oleh Aria Turn, tak hingga atau infinity yang dinotasikan ∞ (diambil dari kata latin “infinitas” yang artinya tak terbatas/ unbounded) adalah sebuah konsep BUKAN bilangan atau angka seperti yang disangka banyak orang. Dalam matematika ∞ adalah “sesuatu” yang lebih besar dari bilangan manapun tetapi sesuatu itu BUKAN bilangan, dengan kata lain tidak ada bilangan yang lebih besar dari ∞. Karena ∞ bukan sebuah bilangan maka ∞ tidak ganjil, tidak genap, dan tidak juga prima. Tak hingga juga dapat didefinisikan sebagai bilangan yang tak dapat terhitung besarnya atau tak terbatas dan bilangan itu bukan bilangan real, maka dari itu digunakanlah simbol tak hingga (∞) sebagai tanda nilai yang tak terhitung besarnya.
Penggunaan simbol tak terhingga
Simbol tak terhingga itu merupakan suatu “angka” yang dapat dioperasionalkan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, namun hasilnya tidak berubah selain daripada dirinya sendiri. “Angka” itu merupakan angka yang bukan angka, tetapi dianggap sebagai perwakilan sebuah angka namun tidak memiliki prinsip sebagai angka (baca: nilai). Sebagai prinsip, simbol tak-terhingga ini menjadi satu bentuk sebagai paradoks ditengah-tengah angka yang terhingga.
Penggunaan Simbol Infinity Tak Terhingga ∞ dalam Matematika
Dalam matematika, simbol infinity digunakan lebih sering untuk mewakili potensi infinity, daripada untuk mewakili kuantitas yang sebenarnya tak terbatas seperti nomor urut dan nomor kardinal (yang menggunakan notasi lainnya). Misalnya, dalam notasi matematika untuk penjumlahan dan batasan seperti dalam Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Deret Geometri atau Deret Ukur, Rumus Trigonometri Invers (arckosinus, arctangen, arckotangen, arcsekan, arckosekan), Teorema Dasar Kalkulus dan masih banyak lagi.
Tak Terhingga ∞ sebagai Manifestasi Tuhan
Setiap individu mempunyai bayangan mengenai Tuhan, Allah Swt. Ia dapat bersifat sementara, lama, kabur, jelas, berulang, atau bahkan bayangan yang langsung gaib ketika dilihat. Adanya alam semesta beserta seluruh isinya merupakan bukti adanya Tuhan yang menciptakannya. Keajaiban alam semesta menunjukkan kebesaran Allah. Tiada satupun yang ada di alam ini dapat hadir tanpa adanya Allah. Segala sesuatu di alam ini, yang merupakan perkembangan kehidupan alam semesta sejak pertama kali diciptakan hingga hari akhirnya merupakan manifestasi adanya Allah. Marilah kita menggambarkan hal di atas dengan bahasa matematika, dengan konsep barisan dan deret. Lihatlah persamaan-persamaan berikut: atau
1/2=1− 1/2
1/4=1/2−1/4
1/8=1/4−1/8
1/2 n =(1/2n−1)- (1/2n)
Jika kedua kolom pada sisi kiri kita tambahkan tentunya kan sama dengan penjumlahan kolom pada sisi kanan, sehingga diperoleh
½+ ¼+ 1/6+ … + ½^n = 1- ½
Andaikata kita membuat n menjadi sedemikian besar hingga kita pun tidak dapat menghitungnya maka 1/2n akan menjadi sangatlah kecil atau mendekati nol dibandingkan dengan kesatuan. Bahkan sebenarnya, setelah proses pembesaran nilai n berjalan cukup lama namun jumlah akhir seluruhnya dari deret bilangan itu akan hanya sedikit lebih besar dari nol dibandingkan dengan kesatuan. Hal ini telah dibuktikan pada kalkulus matematika dengan konsep limit tak terhingga yaitu:
lim n ∞ 1/(2^n) = 0
Oleh karena itu dapatlah dikatakan bahwa jika nilai n sebesar tak terhingga, maka deret bilangannya menjadi
½+ ¼+ 1/16+ … + ½^n = 1
Dengan penalaran serupa dapat pula ditunjukkan bahwa:
½ = ¼+ 1/8+ 1/16+ …
¼ = 1/8+ 1/16+ 1/32 + …
1/8 = 1/16+ 1/32 + 1/64 +…
1/16 = 1/32 + 1/64 + 1/128 + …
atau
1/(2^n) = 1/(2^(n+1))+ 1/(2^(n+2))+ 1/(2^(n+3))+…
Hasil dari penjumlahan di atas membuktikan bahwa kesatuan itu sama dengan jumlah bagian-bagian dari barisan bilangan ini :
½ , ¼, 1/6, …, 1/(2^n)
Jika n semakin besar tak terhingga maka setiap bagian dalam barisan bilangan ini akan sama dengan penjumlahan semua bagian yang mengikutinya dalam barisan bilangan tersebut. Pemikiran demikian membuktikan secara matematis bahwa suatu keseluruhan (Kesatuan) dapat dikembangkan menjadi sederet bilangan bagian dan deret bilangan itu dapat dijadikan deret bilangan yang tak terhinga ataupun terbatas menurut kehendak kita, karena persamaan
½ + ¼+ 1/6+ … + 1/(2^n) = 1 - 1/(2^n)
akan berlaku untuk semua n bilangan natural (asli). Tetapi jika n dibuat menjadi tak terhingga, maka jumlah dari bagian yang terbatas dari akhir deret bilangan, yaitu
1/(2^n) = 1/(2^(n+1))+ 1/(2^(n+2))+ 1/(2^(n+3))+…
tidak akan mempengaruhi nilai akhir secara keseluruhannya. Dengan kata lain, sebuah deret bilangan akhir itu tidak akan mengubah nilai keseluruhannya, karena nilainya mendekati nol dibandingkan dengan kesatuan.
Dengan teorema kalkulus limit dibuktikan bahwa
lim n ∞ 1/(2^n) = lim n ∞ (1/(2^(n+1))+ 1/(2^(n+2))+ 1/(2^(n+3))+…)
= lim n ∞ 1/(2^(n+1)) + lim n ∞ 1/(2^(n+2))+ lim n ∞ 1/(2^(n+3))+…
= lim n ∞ 1/2(2^n) + lim n ∞ 1/(2^2 (2^n))+ lim n ∞ 1/(2^3(2^n))+…
= ½ (lim n ∞ 1/(2^n)) + ¼ (lim n ∞ 1/(2^n)) + 1/8 (lim n ∞ 1/(2^n)) +…
= ½ (0) + ¼ (0) + 1/8 (0) + …
= 0
Artinya, masing-masing nol itu adalah nol hanya jika dibandingkan dengan kesatuan. Jika nilai itu berdiri sendiri maka ia adalah nilai ganda dari nol. Seperti halnya nilai 12 adalah nilai ganda dari 14 , yaitu 12 = 2(14), dan 14 adalah nilai ganda dari 18 , dan seterusnya. Jadi secara komparatif dapatlah dikatakan bahwa nol juga merupakan nilai.
Deret bilangan
½ + ¼+ 1/6+ … + 1/(2^n) + … = 1
sangatlah sederhana tetapi sangat berguna. Ia menunjukkan bahwa suatu keseluruhan dapat dikembangkan menjadi sejumlah bagian dan masing- masing bagian itu merupakan bagian dari kesatuan, tetapi kesatuan itu berada di luar semua bagian-Nya namun mencakup semua bagian-Nya. Kita tidak menyatakan bahwa Allah atau Kenyataan itu serupa dengan deret bilangan itu. Dia sudah jelas diperluas menjadi banyak deret bilangan. Cukuplah dikatakan bahwa Dia mampu, jika ingin, untuk memberikan keinginan-Nya yang tak terhingga kepada semua makhluk-Nya dan tetap merupakan suatu keutuhan yang tak akan pudar sebanyak apapun Allah menciptakan makhluk-Nya dan sampai kapanpun. Dengan deret bilangan di atas dapatlah ditafsirkan bahwa Allah hanya memerlukan untuk mengatakan dan dari makhluk-Nya untuk menyatakan “jadilah” dan sesuatu itupun terjadi, sebagaimana dalam ayat-ayat al Qur’an, diantaranya adalah:
“Sesungguhnya keadaan-Nya apabila Dia menghendaki sesuatu hanyalah berkata kepadanya: "Jadilah!" maka terjadilah ia.” (QS:36:82)
“Sesungguhnya perkataan Kami terhadap sesuatu apabila Kami menghendakinya, Kami hanya mengatakan kepadanya: "kun (jadilah)", maka jadilah ia.” (QS:16:40)
“Allah berfirman (dengan perantaraan Jibril): "Demikianlah Allah menciptakan apa yang dikehendaki-Nya. Apabila Allah berkehendak menetapkan sesuatu, maka Allah hanya cukup berkata kepadanya: "Jadilah", lalu jadilah dia.” (QS:3:47)
“Dia-lah yang menghidupkan dan mematikan, maka apabila Dia menetapkan sesuatu urusan, Dia hanya bekata kepadanya: "Jadilah", maka jadilah ia.” (QS:40:68)
