Muhammad Faja Taufiqurrahman

Biodata

Nama : Muhammad Faja Taufiqurrahman

NPM : 1906301223

Angkatan : 2019

Program Studi : Teknik Mesin, S1 Reguler

Tempat, Tanggal lahir : Jakarta, 09 Juni 2001

Domisili : Jakarta Selatan

Alamat Surel : muhammadfaja87@gmail.com / muhammad.faja@ui.ac.id

Metode Numerik

Metode numerik merupapakan teknik dalam penyelesaian permsalahan yang diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi hitungan (aritmatik) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Metode ini digunakan karena banyak permasalahan matematis tidak dapat diselesaikan menggunakan metode analitik.

Pada kelas Metode Numerik-02 semester gasal 2020/2021, perkuliahan pekan pertama sampai UTS diisi oleh Bapak Dr. Ir. Engkos A. Kosasih, M.T. telah membahas beberapa topik, antara lain:

• Pseudocode
• Sistem Persamaan
• Turunan Numerik
• Metode Newton Rhapson, Secant, dan Bisection
• Regresi Linear
• Interpolasi

Setelah UTS proses pembelajaran diisi oleh Bapak Dr. Ir. Ahmad Indra Siswantara

Pertemuan Perkuliahan

Pertemuan Pertama (Rabu, 11 November 2020)

Pada pertemuan pertama setelah UTS ini, Bapak Dr. Ir. Ahmad Indra Siswantara mengenalkan mengenai situs Wiki AIR. Dalam Wiki AIR tersebut, kami dijelaskan mengenai cara pembuatan akun dan membuat page sendiri. Dalam page tersebut lah nantinya akan digunakan sebagai review pembelajaran serta tempat pengumpulan tugas. Selain itu juga dijelaskan terkait esensi atau tujuan pembelajaran metode numerik, yaitu:

1. Memahami konsep-konsep dan prinsip-prinsip dasar dalam metode numerik seperti : Persamaan algoritma, aljabar, pencocokan kurva, persamaan diferensial parsial, dll.

2. Mengerti dan mampu menerapkan pemahaman atau aplikasi terhadap konsep metode numerik.

3. Mampu menerapkan metode numerik dalam hal terkait persoalan keteknikan.

4. Mendapat nilai tambah/adab sehingga kita menjadi orang yang lebih beradab.

Selain empat poin tersebut, kami juga mendapat pelajaran terkait awalan memakai OpenModelica. Dimana kami diperlihatkan praktek sederhana penggunaan OpenModelica ini. Hingga kami tahu bila komputer selain dapat membantu dalam menyelesaikan permasalahan namun juga memiliki batasan atau limit tertentu dan kita sebagai manusia lah yang dapat mengoperasikannya.

Tugas Minggu Pertama

• Mempelajari aplikasi OpenModelica melalui video Youtube serta menyertakan link hasil pembelajaran.

Saya mempelajari bagaimana mengoperasikan OpenModelica melalui video berikut :

• https://www.youtube.com/watch?v=SW5Eclf1tRs
• https://www.youtube.com/watch?v=K2Uz02lOjmo

Saya mencoba untuk membuat interpolasi menggunakan OpenModelica

Video hasil pembelajaran yang telah saya buat :

Pertemuan Kedua (Rabu, 18 November 2020)

Di awal pertemuan disampaikan oleh Pak Dai, jika kita sebagai manusia harus memiliki perubahan setiap harinya, hari ini harus lebih baik dari hari kemarin, jangan sampai hari ini lebih buruk dari hari kemarin. Sebelum memasuki materi, kami diminta mereview fungsi pembelajaran aljabar linear dan hubungannya dengan metode numerik. Kemudian, kami diminta menceritakan pengalaman mempelajari aplikasi Open Modelica. Aplikasi ini dibuat dengan tujuan bahasa pemodelan, bukan coding. Akan tetapi, ketika melakukan perhitungan, code yang ditulis harus dalam bahasa C++. Salah satu alasan pemilihan penggunaan aplikasi ini adalah karena Open Modelica dibuat free, sehingga bisa digunakan oleh siapa saja. Open Modelica mempunyai beberapa fitur, seperti membuat model, class, function, dan lain-lain. Aplikasi ini object oriented, kita bisa membuat beberapa class fungsi dan class eksekusi, kemudian menggabungkannya menjadi satu model.

Sebagai contoh pembelajaran, kami dipandu oleh Pak Dai untuk membuat sebuah function dan class yang akan dihubungkan. Function yang dibuat adalah "Fungsi Tambah X1" dengan X sebagai input, Y sebagai output, dan fungsi yang dibuat adalah Y=10+x. Dibuat dalam Open Modelica sebagai berikut:

Selanjutnya dibuat class "Panggil" yang berfungsi "memanggil" FungsitambahX1 tersebut. Pada class ini, kita dapat mengubah-ubah nilai input X1.

Dengan gabungan class dan function ini, kita dapat mencari nilai output Y dengan memasukkan nilai input X1. Sebagai contoh, dimasukkan nilai X1 sebesar 5 maka sesuai fungsi Y=10+X, akan didapatkan nilai Hasil tambah X1=10+X1=10+5=15.

Nilai X1 dapat diubah-ubah kemudian dilakukan re-simulate untuk mendapatkan nilai outputnya.

Tugas Minggu Kedua

Untuk tugas minggu ini kami diminta membuat sebuah fungsi berupa persamaan aljabar simultan dengan variabel array kemudian membuat class untuk memanggil fungsi tersebut. Persamaan aljabar simultan adalah sebuah persoalan matematika yang kompleks sehingga dengan menggunakan tools, penyelesaiannya dapat dibuat lebih sederhana. Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan aljabar simultan adalah metode Gauss, Gauss-Jordan, Crammer, dan Gauss-Seidel. Sedangkan variabel array adalah sebuah variabel yang di dalamnya terdapat banyak data. Sebagai contoh, jika kita memiliki data X1, X2, dan X3, dengan menggunakan variabel array cukup dituliskan X[3] saja. Pada tugas kali ini, saya mencoba menyelesaikan persoalan yang saya ambil dari persoalan sistem persamaan linear 4 variabel untuk menentukan nilai X1, X2, X3, dan X4 menggunakan variabel array.

Dengan menggunakan OpenModelica dan metode Gauss, didapatkan hasil X1, X2, X3, dan X4 yang sebagai berikut:

Video penyelesaian SPL4V menggunakan OpenModelica yang telah saya buat :

Pertemuan Ketiga (Rabu, 25 November 2020)

Pada pertemuan ketiga, Pak Dai menjelaskan mengenai tiga aplikasi metode numerik yang sering digunakan dalam menyelesaikan permasalahan teknik

• 1. Computation Fluid Dynamics (CFD)
• 2. Finite Element Analysis
• 3. Metode Stokastik.

Dalam menyelesaikan masalah teknik, langkah yang harus dilakukan adalah melakukan analisis, membuat model matematis, menggunakan metode numerik untuk penyelesain (menggunakan computer), dan didapatkan solusi dari permasalahan. Salah satu permasalahan teknik yang kami pelajari adalah Truss.

Pak Dai kemudian menugaskan untuk membuat fungsi mengenai gauss jordan, kemudian dijelaskan oleh christofer dengan fungsi sebagai berikut :

// Gauss-Jordan Algorithm
// Transforms input matrix A into reduced row echelon form matrix B
// Christopher S.E. November 2020
input Real [:,:] A;     // An augmented matrix of m*n
output Real [:,:] B;    // Output matrix in reduced row echelon form
// Local variables
protected
Integer h = 1;          // Initialize pivot row
Integer k = 1;          // Initialize pivot column
Integer m = size(A,1);  // Number of rows in matrix
Integer n = size(A,2);  // Number of columns in matrix
Integer c = 0;          // Index counter
Integer max_row;        // Row index of max number in pivot column
Real [:] pivot_column;  // Vector containing pivot column data
Real [:] pivot_row;     // Vector containing backwards pivot row data
Real [:,:] temp_array;  // Stores matrix data when switching rows
Real r;                 // Ratio value used for row operations
// Limit to handle floating point errors
Real float_error = 10e-10;
algorithm
// Transfer input matrix A into variable B
B := A;
while h <= m and k <= n loop
// Dealing with floating point errors
for i in 1:m loop
   for j in 1:n loop
     if abs(B[i,j]) <= float_error then
       B[i,j] := 0;
     end if;
   end for;
 end for;
 // Finding the pivot
   pivot_column := {B[i,h] for i in h:m};
   // Get position index of lowest row with greatest pivot number
   c:= h-1;
   for element in pivot_column loop
     c := c+1;
     if abs(element) == max(abs(pivot_column)) then
       max_row := c;
     end if;
   end for;
 // No pivot in this column, move on to next column
 if B[max_row, k] == 0 then
   k := k+1;
  else
   // Swap Rows h <-> max_row
   temp_array := B;
   temp_array[h] := B[max_row];
   temp_array[max_row] := B[h];
   B:= temp_array;
   // Divide pivot row by pivot number
   B[h] := B[h]/B[h,k];
   // For all rows below the pivot
   for i in (h+1):m loop
     // Store the ratio of the row to the pivot
     r := B[i,k] / B[h,k];
     // Set lower part of pivot column to zero
     B[i,k] := 0;
     // Operations on the remaining row elements
     for j in (k+1):n loop
         B[i,j] := B[i,j] - B[h,j] * r;
     end for;
    end for;
   // Move on to next pivot row and column
   h := h+1;
   k := k+1;
 end if;
end while;
// The matrix is now in row echelon form
// Set values of (h,k) to (m,n)
h := m;
k := n;
while h >= 1 and k >=1 loop
 // Dealing with floating point errors
 for i in 1:m loop
   for j in 1:n loop
     if abs(B[i,j]) <= float_error then
       B[i,j] := 0;
     end if;
   end for;
 end for;
 // Finding the pivot
   pivot_row := {B[h,i] for i in 1:k};
   // Get position index k of pivot
   c := 0;
   for element in pivot_row loop
     c := c+1;
     if element <> 0 then
       break;
     end if;
   end for;
   k := c;
 // No pivot in this row, move on to next row
 if B[h, k] == 0 then
   h := h-1;
 else
   // Perform row operations
   for i in 1:(h-1) loop
     r := B[i,k];
     B[i] := B[i] - B[h] * r;
   end for;
   // Move on to next pivot row and column
   h := h-1;
   k := k-1;
  end if;
end while;
// The matrix is now in reduced row echelon form
end GaussJordan;

Tugas Minggu Ketiga

Mencari Truss Analysis menggunakan OpenModelica

Grafik Reaction Forces

Grafik Displacement

Persamaan class Trusses_HW parameter Integer N=8; //Global matrice = 2*points connected parameter Real A=0.001; //Area m2 parameter Real E=200e9; //Pa Real G[N,N]; //global Real Ginitial[N,N]; //global Real Sol[N]; //global dispplacement Real X[N]={0,0,-1035.2762,-3863.7033,0,0,-1035.2762,-3863.7033}; Real R[N]; //global reaction force Real SolMat[N,1]; Real XMat[N,1]; //boundary condition Integer b1=1; Integer b2=3; //truss 1 parameter Real X1=0; //degree between truss Real k1=A*E/1; Real K1[4,4]; //stiffness matrice Integer p1a=1; Integer p1b=2; Real G1[N,N]; //truss 2 parameter Real X2=0; //degree between truss Real k2=A*E/1; Real K2[4,4]; //stiffness matrice Integer p2a=2; Integer p2b=3; Real G2[N,N]; //truss 3 parameter Real X3=90; //degree between truss Real k3=A*E/1.25; Real K3[4,4]; //stiffness matrice Integer p3a=2; Integer p3b=4; Real G3[N,N]; //truss 4 parameter Real X4=90+38.6598; //degree between truss Real k4=A*E/1.6; Real K4[4,4]; //stiffness matrice Integer p4a=1; Integer p4b=4; Real G4[N,N]; //truss 5 parameter Real X5=90-38.6598; //degree between truss Real k5=A*E/1.6; Real K5[4,4]; //stiffness matrice Integer p5a=3; Integer p5b=4; Real G5[N,N]; /* for each truss, please ensure pXa is lower then pXb (X represents truss element number) */ algorithm //creating global matrice K1:=Stiffness_Matrices(X1); G1:=k1*Local_Global(K1,N,p1a,p1b); K2:=Stiffness_Matrices(X2); G2:=k2*Local_Global(K2,N,p2a,p2b); K3:=Stiffness_Matrices(X3); G3:=k3*Local_Global(K3,N,p3a,p3b); K4:=Stiffness_Matrices(X4); G4:=k4*Local_Global(K4,N,p4a,p4b); K5:=Stiffness_Matrices(X5); G5:=k5*Local_Global(K5,N,p5a,p5b); G:=G1+G2+G3+G4+G5; Ginitial:=G; //implementing boundary condition for i in 1:N loop G[2*b1-1,i]:=0; G[2*b1,i]:=0; G[2*b2-1,i]:=0; G[2*b2,i]:=0; end for; G[2*b1-1,2*b1-1]:=1; G[2*b1,2*b1]:=1; G[2*b2-1,2*b2-1]:=1; G[2*b2,2*b2]:=1; //solving displacement Sol:=Gauss_Jordan(N,G,X); //solving reaction force SolMat:=matrix(Sol); XMat:=matrix(X); R:=Reaction_Trusses(N,Ginitial,SolMat,XMat); end Trusses_HW;

Fungsi Panggil

Matrice Transformation function Stiffness_Matrices input Real A; Real Y; output Real X[4,4]; Real float_error = 10e-10; final constant Real pi=2*Modelica.Math.asin(1.0); algorithm Y:=A/180*pi; X:=[(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y); Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2; -(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y); -Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2]; for i in 1:4 loop for j in 1:4 loop if abs(X[i,j]) <= float_error then X[i,j] := 0; end if; end for; end for; end Stiffness_Matrices;

Global Element Matrice function Local_Global input Real Y[4,4]; input Integer B; input Integer p1; input Integer p2; output Real G[B,B]; algorithm for i in 1:B loop for j in 1:B loop G[i,j]:=0; end for; end for; G[2*p1,2*p1]:=Y[2,2]; G[2*p1-1,2*p1-1]:=Y[1,1]; G[2*p1,2*p1-1]:=Y[2,1]; G[2*p1-1,2*p1]:=Y[1,2]; G[2*p2,2*p2]:=Y[4,4]; G[2*p2-1,2*p2-1]:=Y[3,3]; G[2*p2,2*p2-1]:=Y[4,3]; G[2*p2-1,2*p2]:=Y[3,4]; G[2*p2,2*p1]:=Y[4,2]; G[2*p2-1,2*p1-1]:=Y[3,1]; G[2*p2,2*p1-1]:=Y[4,1]; G[2*p2-1,2*p1]:=Y[3,2]; G[2*p1,2*p2]:=Y[2,4]; G[2*p1-1,2*p2-1]:=Y[1,3]; G[2*p1,2*p2-1]:=Y[2,3]; G[2*p1-1,2*p2]:=Y[1,4]; end Local_Global;

Reaction Matrices Equation function Reaction_Trusses input Integer N; input Real A[N,N]; input Real B[N,1]; input Real C[N,1]; Real X[N,1]; output Real Sol[N]; Real float_error = 10e-10; algorithm X:=A*B-C; for i in 1:N loop if abs(X[i,1]) <= float_error then X[i,1] := 0; end if; end for; for i in 1:N loop Sol[i]:=X[i,1]; end for; end Reaction_Trusses;

Gauss Jordan function Gauss_Jordan input Integer N; input Real A[N,N]; input Real B[N]; output Real X[N]; Real float_error = 10e-10; algorithm X:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B); for i in 1:N loop if abs(X[i]) <= float_error then X[i] := 0; end if; end for; end Gauss_Jordan;

Pertemuan Keempat (Rabu, 2 Desember 2020)

Kuis Flowchart & Diagram Class

Tugas Minggu Keempat

Soal No. 8

Soal tersebut menggunakan 3D Truss, ditugaskan untuk membuat flowchart, class diagram, dan codingan untuk menyelesaikan persoalan tersebut. Flowchart dan Class Diagram

Kemudian langkah berikutnya adalah membuat free body diagram untuk menentukan komponen-komponen data yang tersedia dalam soal. Dari data-data yang tersdedia, berikut adalah data yang diperlukan untuk mengerjakan soal ini, node, sudut, luas, modulus elastisitas, dan panjang dari tiap batang. Karena ini merupakan permasalahan 3D, maka sudut akan ada pada arah x, y, dan z. Rumus untuk mencari sudut dan panjang batang saya dapatkan dari buku. Untuk gaya eksternal sendiri dapat dilihat dari gambar. Kemudian data-data yang sudah didapat, dibuat ke dalam matriks untuk mempermudah penyelesaiannya menggunakan Open Modellica.

Setelah mendapatkan matriks yang diperlukan, selanjutnya menghitung nilai k = AE/L. Setelah mendapatkan nilai k pada setiap batang, selanjutnya membuat matriks K elemental (Ke) setiap batang dari nilai k tersebut pada OpenModelica.

Kemudian dari matriks 6x6 tersebut dibuat menjadi matriks 12x12 sesuai dengan jumlah batang (3) * jumlah node (4) (3 x 4 = 12).Yang disebut matriks kekakuan global (Kg).

Berikutnya, matriks kekakuan global setiap batang dijumlahkan untuk mendapat matriks kekakuan global total(KgTot)

Kemudian menghitung Boundary dari matriks kekakuan global total. Pada kasus ini, node 2,3, dan 4 merupakan pinned. Sehingga didapati U2X=U2Y=U2Z=U3X=U3Y=U3Z=U4X=U4Y=U4Z=0.

Kemudian mencari nilai Displacement (U) menggunakan eliminasi Gauss Jordan.

Kemudian dengan menerapkan materi yang sudah dipelajari pada pertemuan sebelumnya (sistem kelas panggil) Pada class akan diinput data-data yang telah dicari pada langkah pertama.

Setelah disimulasikan didapatkan nilai U (displacement) dan R (Reaction)

dan setelah di plotting didapatkan diagram U (discplacement) dan R (Reaction).

Video penjelasan:

Pertemuan Kelima (Rabu, 16 Desember 2020)

Aplikasi Metode Numerik dalam Kasus Optimasi

Pada awal pertemuan minggu ini, kami diberi wawasan jika ilmu tidak hanya didapat dari buku namun juga dari alam nyata. Oleh sebab itu, kita harus aware terhadap lingkungan sekitar. Ilmu yang sudah kita dapatkan di perkuliahan pun baiknya diaplikasikan dalam kehidupan. Topik metode numerik kali ini adalah mengenai optimasi. Sebelum perkuliahan dimulai, Bu Chandra memberikan kami sebuah video pembelajaran mengenai optimasi menggunakan metode Bracket dan di kelas kami berdiskusi jika ada kesulitan. Saya mencoba perhitungan optimasi berdasarkan video tutorial oleh Bu Candra.

Fungsi yang dipanggil:

Model Optimasi untuk memanggil fungsi:

Hasil Optimasi yang didapat:

Progress Tugas Besar Metode Numerik

Sebagai akhir pembelajaran Metode Numerik, dua kelas yang diajar oleh Pak Dai diberikan satu tugas besar. Tugas ini adalah aplikasi Openmodelica dalam kasus optimasi trusses.

dengan spesifikasi rangka batang: