Metode iterative

Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dapat dibagi dalam dua jenis yaitu metode langsung dan metode iterative. Metode langsung adalah metode yang dengan tidak adanya pembulatan atau lain-lainya, akan memberikan solusi yang tepat dalam jumlah operasi yang aritmatik elementer yang terbatas jumlahnya. Namun dalam prakteknya karena komputer bekerja dengan bahasa yang panjang maka metode langsung tidak menghasilkan penyelesaian yang tepat. Metode dasar yang digunakan dalam metode langsung adalah eliminasi Gauss.

Metode iterative yaitu yang dimulai dengan pendekatan permulaan metode dengan menggunakan algoritma yang sesuai dan dapat membawa ke pendekatan-pendekatan yang lebih baik. Metode iterasi bervariasi dalam kecepatan konvergensi dan algoritma yang dipilih. Dalam metode iterative, iterasi yang digunakan ada yang bersifat sederhana yaitu nilai-nilai yang diperoleh pada nilai sebelumnya tidak langsung digunakan pada iterasi selanjutnya. Contoh metode iterative yaitu metode Jacobi, metode Gauss”Seidel, dan metode Relaksasi

Dalam kacamata ilmu lain, Iterasi adalah kata tidak asing dalam simulasi, baik dalam finite element maupun computer fluid dinamyc. Iterasi adalah sifat tertentu dari algoritma atau program komputer di mana suatu urutan atau lebih dari langkah algoritmik dilakukan di loop program. Hal ini dibedakan dari teknik berulang yang disebut rekursi. Perbedaannya dengan rekursi adalah variabel yang dieksekusi bernilai hasil terbaru sebelumnya selain itu variabel dimasukkan secara berbeda sehingga didapatkan hasil yang diinginkan, sedangkan rekursi variabelnya sama hanya saja perhitungan berulang. Perhitungan ini dalam suatu persamaan algoritma, sehingga kata ini sangat identik dengan programming. Di dalam matematika, iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses atau metode yang digunakan secara berulang-ulang (pengulangan) dalam menyelesaikan suatu permasalahan matematik.

Metode Terbuka

Disebut juga dengan metode terbuka karena, pada penyelesaiannya kita tidak perlu memberikan dua nilai tebakan yang mengurung akar , cukup satu nilai tebakan saja (nilai awal), yang nilai tersebut cukup bebas kita tentukan. Kelemahan dari metode ini adalah bahwa dengan tebakan awal nilai akar hasil iterasi ini bisa divergen (menjauhi hasil atau akar yang sebenarnya) atau dapat pula konvergen. Beberapa jenis dari metode terbuka ini antara lain :

1. Metode Jacob

2. Metode eliminasi Gauss

3. Metode Newton – Raphson

4. Metode Secant

Metode tertutup ( Bracket atau akalode )

Berbeda dengan metode terbuka, pada metode tertutup ini, kita akan menebak dua buah nilai (angka) dimana terdapat minimal satu akar pada selang atau range tersebut. Metode ini cenderung menghasilkan iterasi yang kovergen. Metode tertutup ini meliputi :

1. Metode bagi dua ( bisection )

2. Metode posisi salah atau paslu ( regula falsi )

3. Metode grafi

Metode Jacobi

Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar. Metode ini ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari Jerman,Carl Gustav Jakob Jacobi.

Metode Eliminasi Gauss

Metode ini biasa digunakan untuk sistem persamaan linier berukuran besar dimana persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan. Suatu sistem persamaan linier terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.

Metode False Position

Metode ini adalah modifikasi dari metode bisection pada solusi akar (atau akar-akar) dengan cara memperhitungkan ‘kesebangunan’ yang dilihat pada kurva berikut:

Persamaan dari metode ini lebih sederhana namun penurunannya lama. kelebihannya adalah trend untuk mencapai konvergen lebih besar atau akurat

Metode Newton Raphson

Metoda melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis singgung gradien pada suatu titik awal dan nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung (gradien) kurva dengan sb.x. Tebakan kedua dari metode ini dengan persamaan dibawah ini

Karena rumus mudah maka dari persamaan yang kompleks menjadi mudah dengan bantuan komputer, namun iterasi makin banyak makin akurat

Metode Secant Metode secant adalah salah satu dari metode numerik untuk mencari solusi persamaan sebuah fungsi dengan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton-raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. Berbeda dengan metode Newton Raphson, pada metode secant tidak diperlukan turunan pertama dari fungsi non liniernya, tetapi diperlukan dua buah nilai awal.