Muhammad Rasyaad Dzaky
Contents
Profil
Saya adalah mahasiswa Teknik Mesin angkatan 2017
NPM :1706036425
Materi Yang Telah dipelajari
Pada setengah semester sebelumnya kelas metode numerik 02 diajar oleh Pak Engkos. Beberapa materi metode numerik yang telah saya pahami dari kelas sebelum UTS diantaranya adalah:
- Interpolasi
- Ekstrapolasi
- Regresi
- Metode Newton Rhapson
- pseudo code
Pertemuan 11 November 2020
Salah satu fungsi dari mempelajari metode numerik yaitu untuk memahami bagaimana dasar dari sebuah aplikasi yang berfungsi untuk memudahkan komputasi sehingga dalam menjalankannya pengguna mengerti dan mengetahui bagaimana cara menggunakan aplikasi komputasi tersebut untuk menyelesaikan permasalahan yang kompleks dan memaksimalkan penggunaan aplikasi tersebut.
Disamping itu tujuan dari belajar Metode numerik ini adalah:
- Memahami konsep-konsep dan prinsip-prinsip dasar dalam metode numerik
- Mengerti aplikasi metode numerik.
- Mampu menerapkan metode numerik dallam persoalan teknik.
- Mendapat nilai tambah/adab sehingga kita menjadi orang yang lebih beradab.
Tugas 1
Dalam tugas pertama ini saya perlu untuk mempelajari aplikasi openmodelica, dan membuat video youtube mengenai apa yang telah dipelajari. Berikut link mengenai penggunaan openmodelica untuk menyelesaikan sebuah persamaan sederhana
Pertemuan 18 November 2020
Dalam pertemuan kedua ini saya belajar mengenai penggunaan laman Class dan Function dalam openmodelica, kedua laman tersebut dapat panggil antara satu sama lain ke laman yang lain untuk digunakan sesuai kebutuhan. Saya berlatih menggunakan kedua laman ini untuk membuat laman fungsi yang berisi suatu variabel yang dinamai xtambahsepuluh dibagian fungsinya. Dan laman class diisi dengan besar nilai x-nya sehingga jika disimulasikan nanti hasilnya sesuai yaitu besar nilai variabel x yang dimasukkan sesuai keinginan dan nilainya ditambah dengan sepuluh. Disamping itu dijelaskan juga mengenai kelebihan openmodelica yaitu :
- Merupakan opensource software (gratis)
- Banyak penggunanya (mempermudah untuk bertanya jawab dengan pengguna lain)
- Menggunakan bahasa C++ (pengguna yang tidak memahami bahasa pemrograman tetap bisa menggunakannya dengan mudah)
- Banyak Simulasi yang tersedia sehingga dapat dikombinasikan untuk menyelesaikan permasalahan yang kompleks
Tugas 2
Dalam tugas kedua ini saya menyelesaikan matriks dengan menggunakan openmodelica, pertama tama saya membuat laman class yang berfungsi untuk memasukkan data dalam matriks tersebut, berikutnya saya membuat laman function untuk memasukkan code dari pengerjaan matriks tersebut, lalu function tersebut dipangil ke dalam laman class untuk digunakan dalam menyelesaikan permasalahan matriksnya.
Tugas 3
Dalam Tugas ketiga ini, diberikan permasalahan truss yang akan diselesaikan dengan menggunakan Open modelica
Quiz dan Diagram FlowChart
Tugas 4
Dalam tugas 4 ini diberikan permasalahan mengenai truss yang bersifat 3D, untuk prinsip pengerjaannya mirip seperti permasalahan truss yang 2D, pertama tama yang harus dilakukan yaitu membuat kelas trusses yang berisi matriks gaya, berikutnya membuat fungsi matriks kekakuan, lalu membuat fungsi matriks global, dan terakhir menyelesaikannya dengan menggunakan gauss jordan dan membuat matriks reaksi.
|
Master class Trusses3D
//define initial variable
parameter Integer Points=4; //Number of Points
parameter Integer Trusses=3; //Number of Trusses
parameter Real Area=0.0015; //Area
parameter Real Elas=70e9; //Elasticity
//define connection
parameter Integer C[Trusses,2]=[1,2;
1,3;
1,4];
//define coordinates (please put orderly)
parameter Real P[Points,3]=[2,0,0;
0,0,1.5;
0,0,-1.5;
0,1.5,0];
//define external force (please put orderly)
parameter Real F[Points*3]={0,-5000,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0};
//define boundary
parameter Integer b[:]={2,3,4};
//solution
Real displacement[N], reaction[N];
protected
parameter Integer N=3*Points;
Integer boundary[3*size(b,1)]=cat(1,(3*b).-2,(3*b).-1,3*b);
Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), err=10e-10, cx, cy, cz, L, E, X[3,3];
algorithm
//Creating Global Matrix
G:=id;
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
q1[j]:=P[C[i,1],j];
q2[j]:=P[C[i,2],j];
end for;
//Solving Constant
L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
E:=Area*Elas/L;
//Solving Matrix
cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
cz:=(q2[3]-q1[3])/L;
X:=E*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
cy*cx,cy^2,cy*cz;
cz*cx,cz*cy,cz^2];
//Transforming to global matrix
g:=zeros(N,N);
for m,n in 1:3 loop
g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
end for;
G_star:=G+g;
G:=G_star;
end for;
//Implementing boundary
for i in boundary loop
for j in 1:N loop
G[i,j]:=id[i,j];
end for;
end for;
//Solving displacement
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);
//Solving reaction
reaction:=(G_star*displacement)-F;
//Eliminating float error
for i in 1:N loop
reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
end for;
end Trusses3D;
|
Tugas Besar
Tujuan dari tugas besar ini yaitu untuk melakukan pemilihan material terhadap rangka dengan bentuk seperti gambar dibawah yang dilakukan melalui optimisasi berdasarkan materi yang telah diajarkan.
Dalam menyelesaikan tugas besar ini terdapat dua variabel sebagai penentu dalam melakukan optimasi yaitu elastisitas dan luas penampang. kedua variabel ini akan dilakukan optimasi sehingga diperoleh material yang paling cocok dengan harga yang paling murah tanpa meninggalkan aspek safety
Asumsi
- Menggunakan trusses sehingga beban terdistribusi merata
- Tumpuan truss fixed
- Tidak ada bending yang diakibatkan oleh beban
Coding Openmodelica
model Tugas_Besar_Truss
//Data tersedia
parameter Integer Points=size(P,1); //Jumlah titik
parameter Integer Trusses=size(C,1); //Jumlah Truss
parameter Real Yield= (nilai yield strength) ; //Yield Strength
Material
parameter Real Area= (nilai luas) ; //Luas Siku Material
parameter Real Elas= (elastisitas) ; //Elastisitas Material
//define connection
parameter Integer C[Trusses,2]=[1,5; //vertical 1st floor
2,6; //ver 1st floor
3,7; //ver 1st floor
4,8; //ver 1st floor
5,6; //horizontal 1st floor
6,7; //hor 1st floor
7,8; //hor 1st floor
5,8; //hor 1st floor
5,9; //ver 2st floor
6,10; //ver 2st floor
7,11; //ver 2st floor
8,12; //ver 2st floor
9,10; //hor 2st floor
10,11; //hor 2st floor
11,12; //hor 2st floor
9,12; //hor 2st floor
9,13; //ver 3t floor
10,14; //ver 3st floor
11,15; //ver 3st floor
12,16; //ver 3st floor
13,14; //hor 3st floor
14,15; //hor 3st floor
15,16; //hor 3st floor
13,16]; //hor 3st floor
//Koordinat titik
parameter Real P[Points,3]=[ 0 ,0 ,0,1,1,1; //1
0.75,0 ,0,1,1,1; //2
0.75,0.6,0,1,1,1; //3
0 ,0.6,0,1,1,1; //4
0 ,0 ,0.3,0,0,0; //5
0.75,0 ,0.3,0,0,0; //6
0.75,0.6,0.3,0,0,0; //7
0 ,0.6,0.3,0,0,0; //8
0 ,0 ,1.05,0,0,0; //9
0.75,0 ,1.05,0,0,0; //10
0.75,0.6,1.05,0,0,0; //11
0 ,0.6,1.05,0,0,0; //12
0 ,0 ,1.8,0,0,0; //13
0.75,0 ,1.8,0,0,0; //14
0.75,0.6,1.8,0,0,0; //15
0 ,0.6,1.8,0,0,0]; //16
//External force pada titik
parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,0,
0,0,-500,
0,0,-1000,
0,0,-1000,
0,0,-500};
//solution
Real displacement[N], reaction[N];
Real check[3];
Real stress1[Trusses];
Real safety[Trusses];
Real dis[3];
Real Str[3];
protected
parameter Integer N=3*Points;
Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N),
cx, cy, cz, L, X[3,3];
Real err=10e-15, ers=10e-8;
algorithm
// Global Matrix
G:=id;
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
q1[j]:=P[C[i,1],j];
q2[j]:=P[C[i,2],j];
end for;
//Matriks Penyelesaian
L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
cz:=(q2[3]-q1[3])/L;
X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
cy*cx,cy^2,cy*cz;
cz*cx,cz*cy,cz^2];
//Transformasi ke global matrix
g:=zeros(N,N);
for m,n in 1:3 loop
g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
end for;
G_star:=G+g;
G:=G_star;
end for;
//Boundary condition
for x in 1:Points loop
if P[x,4] <> 0 then
for a in 1:Points*3 loop
G[(x*3)-2,a]:=0;
G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
end for;
end if;
if P[x,5] <> 0 then
for a in 1:Points*3 loop
G[(x*3)-1,a]:=0;
G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
end for;
end if;
if P[x,6] <> 0 then
for a in 1:Points*3 loop
G[x*3,a]:=0;
G[x*3,x*3]:=1;
end for;
end if;
end for;
//PenyelesaianDisplacement
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);
//Penyelesaian Reaksi
reaction:=(G_star*displacement)-F;
//Eliminating float error
for i in 1:N loop
reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else
displacement[i];
end for;
//Checking Force
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in
(1:3:(N-2))});
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in
(2:3:(N-1))});
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in
(3:3:N)});
for i in 1:3 loop
check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
end for;
//Perhitungan Stress di tiap Truss
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
q1[j]:=P[C[i,1],j];
q2[j]:=P[C[i,2],j];
dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*
(C[i,2]-1)+j]);
end for;
//Solving Matrix
L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
cz:=(q2[3]-q1[3])/L;
X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
cy*cx,cy^2,cy*cz;
cz*cx,cz*cy,cz^2];
Str:=(X*dis);
stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
end for;
//Safety factor
for i in 1:Trusses loop
if stress1[i]>0 then
safety[i]:=Yield/stress1[i];
else
safety[i]:=0;
end if;
end for;
end Tugas_Besar_Truss
Kurva Curve Fitting
model Curve_Fitting
input Real X[:];
input Real Y[size(X,1)];
input Integer order=2;
output Real Coe[order+1];
protected
Real Z[size(X,1),order+1];
Real ZTr[order+1,size(X,1)];
Real A[order+1,order+1];
Real B[order+1];
algorithm
for i in 1:size(X,1) loop
for j in 1:(order+1) loop
Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j);
end for;
end for;
ZTr:=transpose(Z);
A:=ZTr*Z;
B:=ZTr*Y;
Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B);
end Curve_Fitting;
Golden Ratio
model Opt_Gold
parameter Real xd[:];
parameter Real yd[size(xd,1)];
parameter Real xlo=87e-6;
parameter Real xhi=504e-6;
parameter Integer N=10; // maximum iteration
parameter Real es=0.0001; // maximum error
Real f1[N], f2[N], x1[N], x2[N], ea[N], y[3];
Real xopt, fx;
protected
Real d, xl, xu, xint, R=(5^(1/2)-1)/2;
algorithm
xl := xlo;
xu := xhi;
y := Curve_Fitting(xd,yd);
for i in 1:N loop
d:= R*(xu-xl);
x1[i]:=xl+d;
x2[i]:=xu-d;
f1[i]:=y[1]*x1[i]^2+y[2]*x1[i]+y[3];
f2[i]:=y[1]*x2[i]^2+y[2]*x2[i]+y[3];
xint:=xu-xl;
if f1[i]>f2[i] then
xl:=x2[i];
xopt:=x1[i];
fx:=f1[i];
else
xu:=x1[i];
xopt:=x2[i];
fx:=f2[i];
end if;
ea[i]:=(1-R)*abs((xint)/xopt);
if ea[i]<es then
break;
end if;
end for;
end Opt_Gold;
Pilihan Material
Saya memilih material SS304 karena cukup umum digunakan dalam industri dan dalam pengerjaan ini saya menggunakan metode yang memvariasikan luas area dari material tersebut untuk nantinya dioptimisasi dan diperoleh nilai optimumnya
Dari data tersebut lalu dimasukkan ke dalam coding openmodelica yang telah ditulis diawal untuk memperoleh data stressnya, yang berikutnya dimasukkan dalam tabel dibawah ini
Sebelumnya, data harga dari material SS304 ini dicari terlebih dahulu dengan ketebalan tertentunya. Dan karena tidak semua ketebalan tersedia datanya maka dilakukan curve fitting untuk menutup data yang kurang dari tiap ketebalan material tersebut. proses ini dilakukan dengan menggunakan open modelica sehingga menghasilkan koefisien yang akan digunakan untuk menghitung data yang kurang tersebut sehingga dihasilkan data yang lengkap tiap ketebalannya seperti tabel diatas
Berikutnya data dari cost curve fitting dikalikan dengan total panjang yang dibutuhkan untuk membentuk frame yang diberikan sehingga diperoleh total harganya
Terakhir digunakan program excel untuk menentukan optimisasi dengan variabel antara rasio safety factor per harga dan total harga yang dibutuhkan untuk membentuk frame tersebut, dengan komponen sumbu x merupakan nilai variasi luas area dari truss tersebut
Titik potong tersebut merupakan hasil yang merupakan nilai paling optimal dari kedua variabel tersebut jika menggunakan material SS304
Maka nilai yang paling mendekati titik optimal dari material SS304 adalah yang memiliki area berkisar 0.000864 m^2
UAS
