Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT dan sholawat serta salam kepada Nabi Muhammad SAW, Perkenalkan nama saya Fikri, informasi singkat saya dapat dilihat sebagai berikut :

Nama : Ikhsanul Fikri Fakhrurrozi

Email : ifikrifakhrurrozi97@gmail.com

Pertemuan Pasca UTS

Pertemuan Pertama

Hari, Tanggal : Senin 9 November 2020 Oleh : Dr. Ahmad Indra

Pada pertemuan pertama Pak Dai memberikan PR, sebagai berikut :

1. apa saja yang sudah dipelajari di metode numerik?

2. Buatlah video tentang aplikasi Open Modelica.

Metode bisection

Metode bisection merupakan salah satu metode incremental search yang mana interval dari dua titik x dibagi dua sehingga mendapatkan nilai x lagi. Berikut adalah langkah-langkah metode bisection :

• Lakukan tembakan pada dua titik terendah (xi) dan titik tertinggi (xu). • Kemudian carilah xr dengan menjumlahkan antara xi dan xu kemudian hasil dari penjumlahan tersebut dibagi dua. • Lakukan evaluasi sebagai berikut :

Jika f(xl) f(xr) < 0, akar persamaan terletak di sub interval terendah. Jadi, atur xu = xr kemudian kembali ke langkah 2.

Jika f(xl) f(xr) > 0, akar persamaan terletak di sub interval tertinggi. Jadi, atur xi = xr kemudian kembali ke langkah 2.

Jika f(xl) f(xr) = 0, akar persamaan sama dengan xr. Sehingga hentikan perhitungan.

Metode Newton-Raphson

Metode newton-raphson dapat diwakili dengan formula berikut :

Kemudian aplikasi dari metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut :

Perhitungan nilai persentase error antara nilai akhir dan nilai awal adalah selisih antara nilai awal dan nilai akhir dibagi dengan nilai akhir kemudian hasilnya dikalikan 100 untuk mendapatkan persentase dari nilai errornya.

Metode Sekan

Metode sekan dapat diwakili dengan formula berikut :

Aplikasinya dapat dilihat pada contoh soal berikut :

Kemudian untuk aplikasi penggunaan openmodelica saya berikan penjelasannya dalam bentuk video dengan link berikut ini :

Aplikasi Least Square Fit Regression pada Openmodelica

Pertemuan Kedua

Hari, Tanggal : Senin 16 November 2020 Oleh : Dr. Ahmad Indra

Pada pertemuan hari ini pak Dai mengevaluasi hasil belaja mahasiswa terkait dengan penggunaan aplikasi openmodelica. Kemudian mahasiswa diminta untuk membuat coding sederhana terkait nilai rata-rata 10 sample. Berikut saya lampirkan hasil coding dan simulasinya.

coding

hasil

PR Aljabar Simultan dengan Openmodelica

Kemudian pada hari ini juga pak Dai memberikan PR kepada mahasiswa berupa aplikasi penyelesaian problem aljabar simultan baik itu menggunakan metode gauss elimination, gauss-seidell, dll. Kemudian saya menggunakan persamaan berikut ini dalam menyelesaikan problem aljabar simultan menggunakan gauss elimination :

persamaan aljabar

kemudian saya menyelesaikan persamaan aljabar tersebut dengan menggunakan metode gauss elimination di software openmodelica. berikut adalah hasil codingnya :

coding

Pada coding ini saya menggunakan fasilitas library pada openmodelica yaitu "Modelica.Math.Matrices.solve(A,b)" untuk menyelesaikan problem aljabar tersebut. Kemudian hasil dari coding tersebut adalah sebagai berikut :

persamaan aljabar

Hasil dari gauss elimination tersebut adalah x1 = -41, x2 = 26, x3 = 12, x4 = 1.

Pertemuan Ketiga

Hari, Tanggal : Senin 23 November 2020 Oleh : Dr. Ahmad Indra

Pada hari ini pak Dai membahas tentang respon dan displacement dari permasalahan berupa rangkaian pegas, kemudian dilakukan pembuktian terhadap perhitungan tersebut.

1. massa 1

  2k(x2-x1)+(m1*g)-(k*x1) = m1*(d^2x1/dt^2) ---> karena tidak ada percepatan searah sumbu x maka d^2x1/dt^2 = 0,

  Sehingga 3kx1-3kx2 = m1*g.

2. massa 2

  2(m2*g+[k(x3-x2)]-2k(x2-x1) = 0

  3kx2-2kx1-kx3 = m2*g.

3. massa 3

  m3*g-k(x3-x2) = 0

  kx3-kx2 = m3*g.

PR Defleksi dan Gaya Reaksi

Pak Dai memberikan PR terkait dengan pemahaman materi dan aplikasi pada openmodelica. Berikut adalah soal yang diberi diberikan oleh pak Dai dan penyelesaiannya secara manual.

Dari gambar diatas akan dicari defleksi dan gaya reaksi di tiap elemennya. Berikut adalah langkah-langkah penyelesaiannya,

1. Menentukan node i dan j (karena 2D) pada setiap elemen

2. Tentukan nilai konstanta kekakuan/stiffness constant dari elemen

  - Elemen 1,3,4,6

  - Elemen 2,5

3. Membuat persamaan elemen-elemen

  -Elemen 1,3,6
   Karena orientasi elemen 1,3,6 searah dengan sumbu X global, maka koordinat local sejajar dengan koordinat global
   Sehingga persamaan matrix umum untuk kekakuan batangnya adalah

   [K] adalah matrix untuk kekakuan k, dan (e) adalah elemen yang akan dianalisa

   Masukkan nilai K pada elemen 1,3,6

    Kemudian matriks globalnya adalah,

  - Elemen 4

    Lalu matriks globalnya adalah

   - Elemen 2,5

     Lalu matriks globalnya adalah

4. Kemudian gabungkan matriks-matriks dari elemen-elemen yang ada sehingga didapatkan,

5. Kemudian terapkan kondisi batas yang ada pada node 1 dan 3 sehingga diperoleh U1x = 0, U1y = 0, U3x = 0, U3y = 0. Lalu terapkan pembebanan yang ada pada node 4 dan 5 sebesar -500lb pada F4y dan F5y.

Dengan menerapkan Hukum Hooke F= k.x, maka dalam persamaan matrix menjadi [F]=[K(G)].[U¬(e)], sehingga didapatkan:

karena U1x, U1y, U3x dan U3y = 0 maka matriksnya dapat disederhanakan dari 10 x 10 menjadi 6 x 6 dengan eliminasi gauss. Kemudian saya melakukan perhitungan di openmodelica sehingga hasilnya sama dengan yang ada di buku.

6. Berikut solusi yang saya dapatkan dibuku dan openmodelica.

7. Mencari nilai Gaya Reaksi

 Dengan menerapkan Matriks [K], {U} dan {F}, maka

Kemudian saya mencari penyelesaiannya di openmodelica sehingga didapatkan

Pertemuan Keempat

Hari, Tanggal : Senin 30 November 2020 Oleh : Dr. Ahmad Indra

QUIZ Defleksi dan Gaya Reaksi

Pada hari ini pak Dai memberikan quiz sebagai berikut,

Pada hari ini pak Dai meminta kami untuk memberikan flowchart dalam menyelesaikan soal-soal diatas. Berikut adalah flowchartnya,

PR Defleksi dan Gaya Reaksi II

Pada hari ini saya sudah mengerjakan PR Defleksi dan Gaya Reaksi berdasarkan soal quiz minggu lalu. Saya melakukan perhitungan secara manual dan dengan menggunakan program. Perhitungan manual yang saya kerjakan hanya sampai menentukan matriks global semua elemen kemudian dilanjutkan perhitungan nilai defleksi dan gaya reaksi menggunakan openmodelica. berikut adalah perhitungan manual dan dengan openmodelica untuk ex 4 dan 8.

Perhitungan manual ex.4

Hasil ex.4

Coding ex.4

Perhitungan manual ex.8

Hasil ex.8

500px

Coding ex.8

500px

Pertemuan kelima

Hari, Tanggal : Senin 7 Desember 2020 Oleh : Dr. Ahmad Indra

Pada pertemuan hari ini kami membahas terkait dengna kasus pada kuis yang diberikan sebelumnya. Kami mempelajari bagaimana menyelesaikan kasus dengan menggunakan openmodelica dalam penyelesaian kasus tersebut. Kemudian teman kami fahmi menjelaskan beberapa hal yang dibahas dari koding hasil pengerjaannya. Berikut adalah hal-hal yang dijelaskan,

1. Bagaimana cara melakukan proses looping

2. Bagaimana membuat data dalam bentuk array

3. Apa itu protected

4. Dan pengerjaan secara keseluruhan mengenai koding yang telah dikerjaan

Kemudian Pak Dai memberikan kami tugas untuk memahami program yang dibuat oleh fahmi kemudian memberikan masukan terkait kodingnya serta mengerjakan kasus selanjutnya menggunakan koding tersebut.

Tugas 05 3D

Berikut adalah tugas baru yang diberikan oleh pak Dai.

Berikut adalah penyelesaiannya,

1. Membuat class yang nantinya digunakan untuk memanggil fungsi-fungsi untuk menyelesaikan persoalan.

2. Membuat Fungsi Matriks untuk K lokal pada setiap elemen.

3. Membuat fungsi matriks untuk K global pada setiap elemen

4. Menjumlahkan Matriks K Global semua elemen yang ada.

5. Membuat fungsi U dengan gauss jordan U = Kg*U

6. Membuat fungsi untuk gaya reaksi

Namun setelah saya simulasi ternyata hasil perhitungannya error

Pertemuan keenam

Hari, Tanggal : Senin 14 Desember 2020 Oleh : Dr. Ahmad Indra

Pada pertemuan ini pak Dai meminta kami untuk muhasabah diri. Kami diminta untuk memberikan nilai pada diri kami sendiri terkait pemmahaman kami terhadap metode numerik. Kemudian beberapa teman kami dipanggil untuk ditanya terkait pemahaman kami terhadap metode numerik. Pemahaman tersebut termasuk pada perhitungan matematis kasus trusses dan juga coding yang dibuat

Pertemuan ketujuh

Hari, Tanggal : Senin 21 Desember 2020 Oleh : Dr. Ahmad Indra dan Bu Candra

Pada hari ini pak Dai memberikan pemaparan terkait tugas besar. Kemudian pak Dai memberi arahan kepada bu Candra untuk mengajari kami terkait optimisasi. Optimisasi adalah suatu cara untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum dari suatu permasalahan. Dalam optimisasi tersebut harus ada fungsi objektif dan ada konstrain/batasan/interval. Kemudian kami melakukan simulasi pengerjaan soal di buku chapra. berikut adalah soal beserta penyelesaian yang ada di buku,

kemudian kami melakukan coding dengan fungsi objektif dan modelnya,

1. coding fungsi

2. coding model

kemudian berikut adalah hasilnya,

TUGAS BESAR

Pada tugas besar ini kami diminta untuk menentukan cost sebagai dengan variasi area dan material. Berikut adalah rangkaian trusses yang dijadikan sebagai objek kasus.

Constraint:

- Spesifikasi L (Panjang) dan geometri rangka truss

- Gaya beban terhadap struktur (1000 N dan 2000 N)

Asumsi:

- Variasi Stiffness terikat dengan variabel area. Memvariasikan Elastisitas tergolong sulit karena setiap material memiliki range yang tidak teratur dan dalam satu material yang sejenis (struktur biaya tetap) tidak terjadi perubahan nilai elastisitas yang berbanding lurus dengan perubahan biaya.

- Beban akan terdistribusi hanya pada point penghubung (karena bersifat truss)

Material Lock

Pada bagian material lock data yang akan diambil berdasarkan pada satu material yang sama dengan variasi area. Saya menggunakan material ASTM A36 berprofil siku dengan modulus elastisitas sebesar 200 Gpa dan variasi area sebagai berikut :

Kemudian hal berikutnya yang dilakukan adalah menentukan harga dari 6 sampel dengan variasi area tersebut kemudian dilakukan cutve fitting terhadap harga-harga sampel tersebut sehingga diketahui harga-harga per Kg dan nilai tegangan pada setiap variasi area. Sehingga didapatkan hasil curve fitting yang dituliskan pada excel sebagai berikut :

Kemudian nilai stress didapatkan dari nilai stress maksimum yang didapatkan dari simulasi openmodelica.

Berikut adalah coding untuk mecari nilai stress maksimum dan curve fitting untuk menentukan harga.

Model Trusses

model Trusses_3D_Tugas_Besar_Safety

//define initial variable

parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points

parameter Integer Trusses=size(C,1);//Number of Trusses

parameter Real Yield=250e6; //Yield Strength (Pa) Material ASTM A36

parameter Real Area=3.75E-04; //Area L Profile (0.04 x 0.04 x 0.005) (m2)

parameter Real Elas=2e11; //Elasticity ASTM A36 (Pa)

//define connection parameter

Integer C[:,2]= [1,5;

                              2,6;
                              3,7;
                              4,8;
                              5,6;  //1st floor
                              6,7;  //1st floor
                              7,8;  //1st floor
                              5,8;  //1st floor
                              5,9;
                              6,10;
                              7,11;
                              8,12;
                              9,10; //2nd floor
                              10,11;//2nd floor 
                              11,12;//2nd floor
                              9,12; //2nd floor
                              9,13;
                              10,14;
                              11,15;
                              12,16;
                              13,14;//3rd floor
                              14,15;//3rd floor
                              15,16;//3rd floor
                              13,16];//3rd floor

//define coordinates (please put orderly)

       parameter Real P[:,6]=[0.3,-0.375,0,1,1,1; //1
                          -0.3,-0.375,0,1,1,1;    //2
                          -0.3,0.375,0,1,1,1;     //3
                          0.3,0.375,0,1,1,1;      //4
                          
                          0.3,-0.375,0.6,0,0,0;   //5
                          -0.3,-0.375,0.6,0,0,0;  //6
                          -0.3,0.375,0.6,0,0,0;   //7
                          0.3,0.375,0.6,0,0,0;    //8
                          
                          0.3,-0.375,1.2,0,0,0;   //9
                          -0.3,-0.375,1.2,0,0,0;  //10  
                          -0.3,0.375,1.2,0,0,0;   //11
                          0.3,0.375,1.2,0,0,0;    //12
                          
                          0.3,-0.375,1.8,0,0,0;   //13
                          -0.3,-0.375,1.8,0,0,0;  //14
                          -0.3,0.375,1.8,0,0,0;   //15
                          0.3,0.375,1.8,0,0,0];   //16

//define external force (please put orderly) parameter Real F[Points*3]={0,0,0,

//solution Real displacement[N], reaction[N];

Real check[3];

Real stress1[Trusses];

Real safety[Trusses];

Real dis[3]; Real Str[3];

protected parameter Integer N=3*Points;

Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3]; Real err=10e-10, ers=10e-6;

algorithm //Creating Global Matrix G:=id;

for i in 1:Trusses loop for j in 1:3 loop

 q1[j]:=P[C[i,1],j];
 q2[j]:=P[C[i,2],j];

end for;

  //Solving Matrix
  L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
  cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
  cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
  cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
  X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                    cy*cx,cy^2,cy*cz;
                    cz*cx,cz*cy,cz^2];

  //Transforming to global matrix
  g:=zeros(N,N); 
  for m,n in 1:3 loop
    g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
    g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
    g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
    g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
  end for;

G_star:=G+g; G:=G_star;

end for;

//Implementing boundary for x in 1:Points loop

if P[x,4] <> 0 then
  for a in 1:Points*3 loop
    G[(x*3)-2,a]:=0;
    G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
  end for;
end if;
if P[x,5] <> 0 then
  for a in 1:Points*3 loop
    G[(x*3)-1,a]:=0;
    G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
  end for;
end if;
if P[x,6] <> 0 then
  for a in 1:Points*3 loop
    G[x*3,a]:=0;
    G[x*3,x*3]:=1;
  end for;
end if;

end for;

//Solving displacement displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);

//Solving reaction reaction:=(G_star*displacement)-F;

//Eliminating float error for i in 1:N loop

reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i]; displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];

end for;

//Checking Force check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))}); check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))}); check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)});

for i in 1:3 loop

check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];

end for;

//Calculating stress in each truss for i in 1:Trusses loop

for j in 1:3 loop

 q1[j]:=P[C[i,1],j];
 q2[j]:=P[C[i,2],j];
 dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);

end for;

  //Solving Matrix
  L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
  cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
  cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
  cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
  X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
               cy*cx,cy^2,cy*cz;
               cz*cx,cz*cy,cz^2];
  
  Str:=(X*dis);
  stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);

end for;

//Safety factor for i in 1:Trusses loop

if stress1[i]>0 then
  safety[i]:=Yield/stress1[i];
else
  safety[i]:=0;
end if;

end for;

end Trusses_3D_Tugas_Besar_Safety;

Model Curve Fitting

model CurveFitting

parameter Real X[6]={141e-6,375e-6,384e-6,575e-6,931e-6,864e-6}; parameter Real Y[6]={7702,7833,7664,7708,7927,7805};

Real Coe[3];

algorithm Coe:=Curve_Fitting(X,Y,2);

end CurveFitting;

Function Curve Fitting

function Curve_Fitting

input Real X[:]; input Real Y[size(X,1)]; input Integer order=2; output Real Coe[order+1];

protected Real Z[size(X,1),order+1]; Real ZTr[order+1,size(X,1)]; Real A[order+1,order+1]; Real B[order+1];

algorithm

for i in 1:size(X,1) loop

for j in 1:(order+1) loop
Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j);
end for;

end for; ZTr:=transpose(Z);

A:=ZTr*Z; B:=ZTr*Y; Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B);

end Curve_Fitting;

Sehingga didapatkan hasil curve fitting yang dituliskan pada excel sebagai berikut :

Area Lock

Pada bagian area lock saya mengambil satu luas area dengan spesifikasi berikut :

Dimensi = 40 x 40 x 5 mm

Area = 3,75E-4 m2

L= 15.3 m

V = 5,74E-3

hal ini dilakukan secara acak untuk di lock dengan variasi 3 material yang berbeda, yaitu stainless steel 304 dan 316 dan ASTM A36. Kemudian dilakukan curve fitting pada bagian cost per kg, density dan yield sehingga didapatkan harga-harga dan nilai tegangan maksimal dari material-material tersebut.

Berikut adalah hasil yang diperoleh :