Simplified Finite Elements model to represent Mass-Spring structures in dynamic simulation by Rúbia M. Bosse, André Teófilo Beck

<- back to Studi kasus komputasi teknik

Case Study

Terjemahan

Terjemahan

Model Elemen Hingga Sederhana untuk Menggambarkan Struktur Mass-Spring dalam Simulasi Dinamis

Rúbia M. Bosse, André Teófilo Beck

University of São Paulo - Departemen Teknik Struktural, São Carlos, rubiabosse@usp.br, atbeck@sc.usp.br

Abstrak

Makalah ini menyajikan pendekatan langkah demi langkah, didaktik untuk membangun model elemen hingga yang disederhanakan (Finite Element/FE)mereproduksi hasil yang diperoleh dengan model mass-spring (MS) atau bangunan geser. Tujuan utamanya adalah untuk mengekspos keterbatasan masing-masing model, dan untuk memfasilitasi perbandingan antara hasil numerik yang diperoleh dengan model yang berbeda,sangat sering oleh penulis yang berbeda. Contoh aplikasi adalah sistem kontrol getaran, analisis model teoritis, mesin pemodelan komponen dan jaringan lunak. Makalah ini menyajikan hipotesis yang diperlukan untuk membangun hierarkis model, membahas pengaruh masing-masing asumsi / penyederhanaan dalam respons struktural. Dengan tujuan ini, komputer kode diimplementasikan untuk menyelesaikan struktur kerangka 2D di bawah beban dinamis dengan model pegas massal dan posisi model elemen hingga mempertimbangkan analisis geometrik nonlinier. Hasil penelitian menunjukkan bahwa hipotesis yang diajukan adalah cukup untuk mereproduksi dalam metode FE respon yang sama dari model MS mengalami impuls dan beban gempa.

Kata kunci: Model elemen hingga, model pegas massa, struktur kerangka 2D, beban dinamis.

1. PENDAHULUAN

Dua metodologi utama yang digunakan untuk mengevaluasi perilaku mekanik struktur seperti bangunan di bawah beban dinamis adalah model Mass-Spring (MS) dan model Finite Element (FE). Penerapan masing-masing teknik ini biasanya tergantung pada jenis struktur, keakuratan analisis yang diminta, dan kompleksitas struktur. Telah diketahui bahwa semua model menghadirkan ketidakpastian terkait kesetiaan untuk mewakili perilaku struktural yang nyata. Dalam hal ini, interpretasi kritis terhadap penyederhanaan dan keterbatasan model teknik diperlukan untuk analisis dan desain yang andal.

Secara umum, model massa-pegas memiliki pendekatan diskrit dan formulasi matematika sederhana. Massa terkonsentrasi dalam titik-massa dan terhubung satu sama lain dengan pegas linier yang mewakili kekuatan elastis internal yang bekerja di antara massa. Model MS sederhana karena menghasilkan sangat sedikit derajat kebebasan, di mana persamaan gerak dapat diselesaikan secara analitis dengan modal superposisi. Ini secara signifikan mengurangi waktu pemrosesan untuk analisis dinamis. Model massa-pegas populer karena secara konsep lebih sederhana dan lebih mudah diimplementasikan daripada model yang lebih konsisten secara fisik berdasarkan metode elemen hingga. Selain itu, model MS sangat fleksibel untuk perubahan topologi.

Formulasi ini biasanya diterapkan untuk mewakili struktur sebagai sistem kontrol getaran, bangunan dalam perilaku global, elemen mesin dan bahan jaringan lunak. Model MS juga sangat berlaku untuk melakukan analisis keandalan dan respon stokastik, di mana biaya komputasi merupakan masalah mendasar, karena struktur perlu dipecahkan secara berulang. Kelemahan utama dari model MS adalah bahwa mereka dianggap tidak tepat untuk memperkirakan perilaku mekanik struktur yang dapat dideformasi. Model MS mengabaikan persamaan konstitutif material, dan menghadirkan sejumlah derajat kebebasan yang mungkin terlalu kecil untuk jenis analisis tertentu.

Beberapa kemajuan telah dibuat dalam model MS untuk meningkatkan representasi realistis dari struktur yang dapat dideformasi. Beberapa penelitian mengusulkan metode baru untuk mendapatkan koefisien kekakuan pegas, yang lain telah menyarankan modifikasi model tradisional (Kuether dan Allen, 2012, Geethu et al., 2015), termasuk misalnya pegas nonlinear dan piezometrik dalam analisis sistem kontrol getaran (Harne, 2013), penggabungan pegas kontak kubik untuk mensimulasikan kehilangan kontak (Huajiang dan Guan, 2016) dan pemecah implisit cepat untuk model MS standar (Liu et al., 2013, Zheng et al., 2017)

Di sisi lain, metode elemen hingga (FE) berasal dari mekanika kontinum dan menjadi salah satu metode yang paling sering digunakan untuk memecahkan masalah sistem mekanik. Metode FE memerlukan penggunaan komputer secara intensif dan biaya komputasinya dapat menjadi penghalang untuk analisis skala besar. Namun, teknik ini mampu mensimulasikan sistem fisik yang kompleks, menyelesaikan masalah multi-dimensi dengan nonlinier (Dhatt, Touzot dan Legrançois, 2012).

Model FE mendiskritisasi struktur dalam elemen-elemen kecil untuk merepresentasikan perilaku berkelanjutan. Metode ini menggunakan pendekatan variabel yang tidak diketahui untuk mengubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan aljabar yang diselesaikan melalui metode numerik. Model FE cocok untuk mengevaluasi respons berbagai struktur, terutama karena undang-undang dasar material dipertimbangkan dalam formulasi matematika. Namun, kemajuan ini ada harganya: semakin halus modelnya, semakin kompleks solusinya, yang mengarah ke biaya komputasi yang besar.

Tantangan yang cukup besar di bidang metode FE adalah pertimbangan perpindahan besar dalam tubuh yang cacat. Upaya penelitian membahas pengembangan formulasi yang mempertimbangkan efek nonlinier dalam bahan konstitutif atau dalam kondisi batas (perpindahan atau rotasi besar). Dalam masalah perpindahan besar, deskripsi Total Lagrangian menunjukkan metode yang efisien untuk menyelesaikan masalah dinamis struktur padat, karena mempertimbangkan konfigurasi referensi yang unik dan tetap: matriks massa tetap konstan dan solusi keseimbangan dinamis diperoleh dengan lebih mudah. Solusi masalah yang mempertimbangkan analisis geometri nonlinear dengan deskripsi Total Lagrangian dapat diverifikasi dalam Mondkar dan Powell (1977), Wood dan Zienkiewicz (1977), Surana (1983), Coda dan Greco (2004). Pendekatan alternatif untuk merepresentasikan analisis nonlinier geometris menggunakan deskripsi Lagrangian total adalah model FE posisional. Dalam teknik ini, parameter nodal adalah koordinat nodal (posisi) dan dimungkinkan untuk menggunakan kinematika Reissner yang tepat dalam evaluasi perpindahan dan rotasi untuk struktur rangka. Contoh aplikasi dari formulasi ini dapat dilihat di Coda dan Paccola (2014), Reis dan Coda (2014), dan Siqueira dan Coda (2016, 2017).

Saat ini, dengan kemajuan teknik komputasi untuk meningkatkan waktu pemrosesan, model FE yang disempurnakan semakin dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah mekanis apa pun. Dalam makalah ini, kami bermaksud untuk mendefinisikan hipotesis yang berlaku untuk model FE untuk membuatnya mewakili hasil yang kompatibel dengan model massa-pegas dengan idealisasi kerangka geser. Ini juga merupakan tujuan untuk mengamati dan mengukur perbedaan yang disebabkan oleh hipotesis ini dalam respon struktur, mengevaluasi keuntungan dan keterbatasan masing-masing model untuk memperkirakan respon struktur yang terkena berbagai sumber beban dinamis.

Untuk melakukan analisis ini, kode komputasi diterapkan untuk kedua model: model FE posisional dan model MS. Contoh-contoh yang disajikan dalam makalah ini berkaitan dengan struktur rangka yang tidak terbungkus yang dapat mewakili bangunan. Contoh 1 dan 2 memperlihatkan struktur satu dan lima lantai yang tereksitasi oleh gaya impuls. Contoh ketiga berkaitan dengan struktur yang sama dari contoh 2 yang bersemangat dengan catatan Gempa Bumi El Centro. Respons dalam domain waktu dan frekuensi dipelajari.

2. MODEL MASS-SPRING

Analisis dinamis menggunakan model massa-pegas diskrit sangat umum dalam literatur dan menyajikan keuntungan sebagai alat sederhana untuk mengevaluasi respons dinamis struktur. Metode analisis ini memerlukan waktu pemrosesan yang sedikit, karena mereduksi struktur menjadi beberapa derajat kebebasan, dan karena jawabannya dapat diperoleh secara analitik dengan metode modal superposisi. Model MS tradisional berurusan dengan analisis linier, yaitu keseimbangan dihitung pada posisi awal, menyajikan matriks kekakuan konstan (Warburton, 1976 dan Paultre, 2010). Dalam makalah ini model bangunan geser dipertimbangkan. Idealisasi ini biasanya digunakan untuk mengevaluasi respons bangunan yang mengalami kegembiraan dinamis. Model bangunan geser biasanya mempertimbangkan bahwa massa kolom dapat diabaikan, dan massa lantai terkonsentrasi di lantai (titik massa). Juga, balok dan pelat dianggap kaku dalam arah longitudinal dan dalam lentur, kolom kaku untuk regangan aksial tetapi fleksibel secara transversal. Idealisasi bangunan geser mengasumsikan bahwa bangunan hanya menyajikan perpindahan horisontal, karena pembengkokan kolom. Mempertimbangkan kerangka bidang gambar 3 lantai yang tidak tertutup pada Gambar 1, model bangunan geser dapat dimodelkan dengan mendefinisikan massa dan pegas yang setara dan membuat matriks yang sesuai untuk solusi persamaan gerak.

dengan M matriks massa diagonal sistem dengan massa lantai yang terkonsentrasi pada titik-massa, 𝑢̈ adalah vektor percepatan. Paket karena redaman itu diperoleh sebagai:

di mana 𝑪 adalah matriks redaman, 𝑐 adalah koefisien redaman, 𝑢̇ adalah vektor kecepatan. Kekuatan elastis dapat ditentukan sebagai:

dimana𝑲 adalah matriks kekakuan,

 adalah koefisien kekakuan kolom dan 𝑢 adalah vektor perpindahan. Keseimbangan gerak dapat didefinisikan sebagai:

Untuk kasus beban gerakan tanah, vektor eksitasi diperoleh dengan mengalikan massa setiap derajat kebebasan dengan percepatan gempa dalam arah yang sesuai, untuk setiap langkah waktu. Dengan cara ini, analisis sesuai dengan respons struktur dengan penyangga tetap, keluar oleh kekuatan eksternal dalam massanya; dan 𝑝 (𝑡) adalah diadaptasi menjadi 𝑝 (𝑡) sebagai:

di mana 𝑢̈ (𝑡) adalah vektor percepatan horizontal gempa bumi, 𝑟 adalah vektor dengan 𝑛 garis sama dengan jumlah bingkai cerita. Vektor ini mewakili koefisien pengaruh dalam perpindahan nodal, ketika perpindahan kesatuan adalah dikenakan pada dukungan. Persamaan solving (5), respon dinamis linear dari struktur diperoleh, dikenakan beban dinamis. Menyelesaikan kesetimbangan dinamis analitis, metode modal superposisi dapat diterapkan; Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa, untuk model redaman tertentu, persamaan gerak 𝑛 ditambah dari sistem diskrit dapat dimodifikasi melalui a transformasi untuk koordinat modal dalam persamaan decoupled. Metode ini menggunakan sifat ortogonalitas dari mode getaran untuk memisahkan sistem persamaan; karenanya tanggapan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial mirip dengan persamaan yang dikembangkan untuk satu derajat struktur kebebasan (Warburton, 1976, Clough and Penzien, 1993, dan Rao, 2010). Dalam tulisan ini, untuk menyederhanakan solusi dan membuat kode umum untuk semua jenis beban, linier keseimbangan persamaan gerak diselesaikan dengan menerapkan integrasi waktu Newmark, dengan mempertimbangkan rata-rata konstan akselerasi, menurut Paultre (2010). Model MS mempertimbangkan idealisasi bangunan geser sangat digunakan karena fleksibilitas untuk mewakili struktur yang berbeda topologi. Namun, untuk mewakili struktur ramping yang menghadirkan perilaku mampudeformasi, yang lebih fisik metodologi yang realistis mungkin diperlukan.

3. POSITIONAL FINITE ELEMENT

Analisis nonlinier geometris digunakan untuk menangani defleksi besar: posisi keseimbangan struktur dicari negara terlantar. Dalam apa yang disebut pendekatan FE posisional, ruang non-dimensi dibuat dan kelengkungan relatif elemen bingkai dihitung untuk konfigurasi awal dan untuk yang cacat (Coda dan Greco 2004). Itu Posisi keseimbangan adalah variabel utama yang tidak diketahui, dan diperoleh dari prinsip total potensial stasioner energi. Formulasi Lagrangian total digunakan, menggunakan konfigurasi referensi yang unik, posisi awal; di dalam konteksnya, matriks massa adalah konstan. Elemen frame dengan empat node dan pendekatan kubik digunakan. Untuk analisis nonlinier geometris, deskripsi rinci tentang kinematika elemen awalnya ditunjukkan dan prinsip energi stasioner digunakan untuk menulis persamaan keseimbangan dinamis. Sistem nonlinier persamaan diselesaikan dengan menggabungkan integrasi waktu Newmark dengan prosedur Newton-Raphson, mengikuti Coda dan Paccola (2014).

3.1 Finite Element Model pada Posisi Frame

Diterjemahkan Oleh : Ahmad Zikri, Muhammad Irfan Dzaky, Muchalis Zikramansyah Masuku, Oldy Fahlovvi

• 
• 
• 
• 

4. RESULTS

Dalam paper ini diperlihatkan berberapa hasil analisis yaitu dengan metode Mass-Spring (MS), dan Finite Element (FE) kepada sebuah struktur yang diberikan impuls dan gerakan pada bagian dasar. Tujuan awal dari paper ini adalah untuk mengembangkan model FE yang lebih sederhana yang tetap akurat sama dengan hasil yang diperoleh dari model MS. Tabel 1 memperlihatkan analisa dan hypothesis dari setiap model yang digunakan serta langkah-langkah yang diambil agar model FE yang disederhanakan tetap mempunyai hasil yang sebanding dengan model MS. Tahap sequential merupakan evaluasi dari setiap model pada response structure terhadap waktu dan secara frekuensi.

Tabel 1. Hypothesis dari model MS, FE, dan FES

---

Mass Spring (MS):

1. Sistem diskrit dengan massa yang terkonsentrasi
2. Setiap lantai diwakili oleh 1 degree of freedom
3. Massa dari kolom/tiang vertical ccenderung diabaikan dalam analysis
4. Lantai merupakan benda rigid. Tidak ada deformasi.
5. Hanya mengestimasi pergerakan horizontal
6. Stiffness dari kolom langsung diwakili oleh sebuah pegas linear
7. Sistem diasumsikan berkerja secara linear

Finite Element(FE):

1. Bidang terdiri dari 4 node
2. Terdapat matrix massa
3. System yang terbentuk mempunyai banyak degree of freedom
4. Elementnya bergerak dengan flexible (Vertical, horizontal, serta putaran relatif)
5. Koneksi antara elemen diasumsikan rigid
6. Pergerakan yang besar dianalisa secara nonlinear

Finite Element Simplified (FES):

1. Massa kolom ikut diperhitungkan, hanya saja massa ini dimodelkan dalam batang horizontal dengan distribusi secara merata. Pemodelan ini selain mempengaruhi massa dari batang horizontal, massa ini juga mempengaruhi pada densitas dan inertia.
2. Modulus Elastisitas dari batang horizontal diasumsikan tak hingga, sehingga dapat dianggap rigid.
3. Element dalam batang horizontal terrestriksi pada pergerakan secara vertical dan putaran relatif.
4. Dapat terjadi nonlinear analysis

4.1. Rangka 1 Lantai Dibawah Sebuah Gaya Impuls

Diterjemahkan oleh: Ardy, Desy, Ronald, Yophie

Contoh pertama adalah sebuah kerangka bangunan 1 lantai yang terbentuk dari tujuh buah balok (50 x 50 cm) dengan panjang 6 meter, dan 7 lempengan, 20 cm ketebalan diperpanjang oleh panjang 8 meter pada kedua sisi dari balok. Lantai ditopang oleh 8 kolom dengan tinggi 4.8 meter berjarak 6 meter satu sama lain. Struktur tersebut terbuat dari beton yang diperkuat dan digemparkan oleh sebuah impuls dengan F = 1 MN selama 0.001 detik. Kepadatan dari struktur dipertimbangkan sama dengan ρ = 2500 kgm^-3, dan modulus elastisitasnya sebesar 40 GPa.

Kerangka ini telah dimodelkan sebagai model MS (Pegas-massa) dan model FE (Elemen hingga). Untuk model MS, struktur tersebut digambarkan sebagai sebuah massa m = 186900 kg (balok ditambah massa lempengan dengan mengabaikan massa kolom) terhubung ke suatu pegas linear dengan kekakuan K = 8 kolom. (12EI/L^3) = 181 MNm^-1, menghasilkan suatu sistem tidak teredam dengan satu derajat kebebasan.

Pada model FE, struktur tersebut didiskritisasi ke dalam 22 elemen rangka simpul 4, dihitung dengan 201 derajat kebebasan di mana semua hipotesis yang dikembangkan dalam Tab. 1 diuji. Untuk representasi struktur dalam model FE, sebuah momen equivalen inersia telah dihitung untuk set (balok + lempeng); juga nilai kepadatan equivalen telah dihitung untuk memperhitungkan semua hipotesis dengan memperhatikan massa dari struktur tersebut.

Respons dinamis dari struktur dievaluasi dalam model MS, FES dan FE melalui teknik integrasi waktu Newmark dengan perbedaan pada model FE dan FES sistem persamaan nonlinier dilinearisasi dengan prosedur Newton Raphson. Analisis dilakukan dalam total waktu 1,0 detik sebagai domain waktu dan hasil ini digunakan untuk membuat FFT (Fast Fourier Transform) pada respon studi frekuensi alami dari struktur.

Investigasi pertama dibuat mengenai pertimbangan massa kolom, karena banyak penulis (Paultre, 2010, Rao, 2010, Warburton, 1976) yang menyatakan bahwa massa kolom harus diabaikan dalam analisis MS. Mula -mula relevansi massa dalam model MS dievaluasi (Gbr. 5). Secara berurutan, contoh-contoh diuji untuk FE model sederhana yang dijelaskan dalam Tabel 1 dengan mempertimbangkan: 1) model FE dengan massa total kolom terkonsentrasi pada massa lantai; 2) model FE dengan massa kolom diabaikan dan 3) model FE dengan setengah massa kolom diperhitungkan bersama dengan massa lantai. Semua hasil ditunjukkan pada Gbr. 6 dan 7.

Gambar 5: Respon model pegas massa (MS) dengan mempertimbangkan dan mengabaikan massa kolom

Gambar 6: Respon model MS dan FES yang mengevaluasi pengaruh massa kolom

Gambar 7: Respon model MS dan FES yang mengevaluasi pengaruh massa kolom

Dari Gambar 5 dapat digaris bawahi bahwa pergeseran puncak respon dari struktur mengabaikan dan mempertimbangkan massa dari kolom model MS sekitar 5%. Pada frekuensi domain, frekuensi natural yang sama bisa dilihat di kedua kasus (5 Hz), dengan perbedaan hanya pada kedua amplitudo. Hasil ini memperlihatkan bahwa frekuensi bertentangan dengan estimasi, pertimbangan massa pada kolom analisis MS tidak relevan.

Gambar 6 dan 7 menunjukkan akurasi model FES untuk memproduksi hasil MS. Gambar 7 menunjukkan korespondensi sempurna antara model FES dan MS yang memiliki pertimbangan 50 % dari kolom massa, disatukan dengan massa dasar. Dari kesimpulan tersebut, contoh berikut ini mempunyai penambahan asumsi : pertimbangan dari setengah massa kolom pada model FES mendorong respons untuk mencapai hasil yang sama dengan model MS. Hasil ini mengindikasikan bahwa memungkinkan untuk memproduksi response frame dengan lebih dari satu baris kolom (pada kasus ini, 8 baris kolom. ) dengan model MS.

Gambar 8, 9, 10, dan 11 adalah hasil dari FES model (Tabel 1) dibandingkan dengan model MS dengan mengabaikan kolom massa.

Gambar 8 Respons model MS dan FES, mempertimbangkan massa dari kolom yang terdistribusi pada elemen

Gambar 9 Respons model MS dan FES dengan balok fleksibel

Gambar 10 Respons model MS dan FES dengan mempertimbangkan balok yang displaceable

Gambar 11 Respons model MS dan FES secara keseluruhan

Gambar 8, 9, 10, dan 11 menunjukkan bahwa perkiraan yang paling relevan untuk mengubah resspns dari model FES adalah pertimbangan dari balok flexible. Model fleksibel FES memperlihatkan sebuah respons osilasi di sekitar respons yang dihasilkan oleh model MS, terlihat frekuensi pada tingkatan lebih tinggi yang terlihat dengan jelas pada hasil FFT Gambar 9 dan 11.

Hasil dari Gambar 8 dan 10 menunjukkan pertimbangan dari distribusi massa pada kolom elemen, pergeseran pada arah vertical dan rotasi pada balok tidak menyebabkan perubahan yang signifikan pada hasil awal model FES, sangat mirip dengan hasil MS. Dapat dilihat juga bahwa esimasi dari frekuensi natural dari stukrur, semua model konvergen pada 5 Hz, menunjukkan bahwa frekuensi dari respons domain kurang sensitif pada asumsi model yang dibahas ini. Gambar 11 juga memperlihatkan bagaimana jarak dari respons pada model FE secara keseluruhan, tanpa simplifikasi, dan model MS : puncak respons amplitude lebih tinggi untuk model FE dan pada kasus ini perpindahan terjadi pada frekuensi yang tinggi.

4.2. Rangka 5 Lantai Terhadap Gaya Impuls

Diterjemahkan oleh : Edo, Shabrina, Jeri, dan Raihan

Contoh kedua menjabarkan tentang Rangka 5 lantai yang terbuat dari beton bertulang dengan dimensi yang tertera pada Figur 12. Struktur dikenakan gaya impuls F = 100 MN selama 0,001 detik. Gaya impuls diberikan pada lantai pertama dari struktur untuk menghindari efek non-linier dari model 'Finite Element'. Sebuah lempeng setebal 14 cm memanjang sejauh 6 meter pada tiap balok dipasangkan pada bangunan tersebut. Struktur ini dimodelkan sesuai dengan metodologi yang telah dideskripsikan pada Bagian 1.

Untuk model massa-pegas, struktur direpresentasikan oleh 5 susunan massa-pegas, menghasilkan 5 derajat kebebasan yang menjelaskan pergeseran horizontal lantai (massa lempeng dijumlahkan ke dalam total massa lantai). Dalam model FE dan FES, struktur didiskritisasi ke dalam lima puluh elemen bingkai 4-node, sehingga dihasilkan 150 derajat kebebasan yang menggambarkan translasi (horizontal dan vertikal) dan rotasi dalam vektor normal dari node. Untuk merepresentasikan lempeng, momen inersia ekuivalen dihitung untuk balok yang memiliki kekakuan balok ditambah lempeng; Densitas balok juga dikoreksi berdasarkan massa lempeng.

Gambar 13 dan 14 menunjukkan hasil awal di sekitar perkiraan massa dari kolom kolom untuk model MS dan FES dalam analisis yang dilakukan selama pergerakan satu detik

Gambar 13 menyajikan hasil yang mirip dengan gambar.6 dan 7. Dapat dilihat juga untuk contoh ini bahwa kecocokan sempurna untuk hasil MS dicapai dengan model FES mengingat hanya setengah dari total massa kolom terkonsentrasi di elemen lantai. Gambar 14 mengkonfirmasi hasil gambar 13, menunjukkan bahwa frekuensi perpindahan dan amplitudo sangat dekat untuk model MS (mengabaikan massa kolom) dan model FES mempertimbangkan setengah massa kolom di lantai. Gambar 15-18 menyajikan respons dinamis struktur yang membandingkan respons model MS dan model FES dengan derivasi yang dijelaskan dalam baris terakhir Tab.1

Gambar 15 mengindikasikan bahwa pertimbangan dari masa yang terdistribusi pada kolom-kolom sistem tidak terlalu berpengaruh terhadap response yang diberikan berdasarkan model FES yang disederhanakan. Seluruh nilai tertinggi/puncak dari frekuensi naturalnya cocok, dan amplitudo dari response yang diberikan juga serupa.

Gambar 16 menunjukkan bahwa response yang diperoleh berdasarkan model FES mempertimbangkan balok/beam flexible yang berosilasi dengan frekuensi yang tinggi di sekitar respons yang diberikan dari model MS. FFT membuktikan bahwa puncak-puncak dari frekuensi osilasi tersebut berkisar 80 Hz. Apabila dirata-ratakan, respons pergeseran/displacement yang diberikan dan frekuensi yang diberikan pada saat awal menghasilkan hasil yang relatif dekat terhadap response yang didapat berdasarkan model MS.

Gambar 17 membandingkan respons model MS dengan model FES dengan mempertimbangkan balok yang dapat dipindahkan. Asumsi perpindahan vertikal dan rotasi balok mempengaruhi sebagian perpindahan dan frekuensi respons pada struktur. Dalam FFT dapat dicatat bahwa hanya frekuensi natural kedua tidak sama dengan hasil yang ditunjukkan oleh model MS. Dalam analisis model FE lengkap, ditunjukkan pada gambar 18, dapat dicatat bahwa perpindahan yang terjadi berbeda dari model MS. Model FE menyajikan osilasi dengan frekuensi tinggi dan perpindahan puncak yang lebih tinggi, dibandingkan dengan hasil model MS; Namun, karakteristik perpindahan serupa, menghadirkan siklus frekuensi rendah dengan jumlah yang sama. Dalam domain frekuensi, perbedaan signifikan dalam puncak amplitudo dapat diamati, juga beberapa perbedaan dalam frekuensi natural. Frekuensi yang lebih tinggi muncul sekitar 80 Hz, memvalidasi perilaku osilasi yang diamati dalam respons perpindahan. Untuk semua kasus analisis bangunan, menunjukkan perilaku linier dalam analisis FE, mengambil sejumlah kecil iterasi untuk konvergensi solusi numerik.

4.3. Pergerakan Rangka 5-Lantai oleh Gempa Bumi

Kania, Evi, Chandra, Dieter

Contoh terakhir menggunakan struktur yang sama dan sudah dipelajari pada contoh 4.2 didapatkan dari rekaman gempa bumi EL Centro. Di MS model, gempa bumi disimulasikan sebagai gaya ekuivalen yang diterapkan ke setiap derajat kebebasan dari struktur dalam bentuk {F}=[M].{y ̈_earthquake}. Di dalam FE analisis, penggunaan persamaan posisi di sini memberikan keuntungan bahwa gempa bumi dapat dimodelkan dengan sedemikian rupa hingga terlihat lebih rill, penggunaan basis perpindahan dalam pendukung sturuktur, dan simulalsi efek yang terjadi akibat gempa bumi.

Accelerogram dari gempa bumi EL Centro dan berdasarkan rekaman dari basis perpindahan (digunakan dalam analisa FE dan FES) ditunjukan pada gambar 19.

Gambar 20 menjelaskan sebuah perbandingan antara perbedaan-perbedaan yang disebabkan oleh perhitungan massa kolom dalam permodelan FES. Untuk model FE dan FES, hasil dalam hal perpindahan (displacement) terhadap waktu diperoleh untuk total perpindahan dalam kaitannya dengan initial position (i.e.perpindahan relatif pada struktur atas ditambah perpindahan pada struktur pendukungnya, yang disebabkan oleh gempa bumi). Pada studi ini, semua curve hanya menunjukkan perpindahan relatif, yang mana dapat dibandingkan dengan respons dari model MS.

Hasil dari Gambar 20 menunjukkan bahwa dengan adanya gangguan/eksitasi dalam bentuk gempa, respon dari FES pada permasalahan-½ massa kolom terpusat di lantai, memiliki hasil yang sama dengan penggunaan model MS dasar. Hal tersebut membuktikan keakuratan hipotesis yang sudah dibangun untuk menyelaraskan FE models dengan MS models. Pada contoh ini, dimana terdapat eksitasi berupa gempa, pengaruh dari bagian kolom masa dalam analisis adalah lebih tinggi daripada nila yang didapat dengan impulse loads. Jika diasumsikan 50% massa kolom diabaikan untuk FES models, maka hubungan antara MS dan FES models tidak mungkin didapat. Gambar 21-24 menunjuklan perbandingan antara MS models, FES dan FE models.

dengan hasil yang disajikan dalam gambar 21-24 dapat diketahui bahwa pertimbangan massa terdistribusi dalam elemen kolom menyebabkan perpindahan tertinggi dan perbedaan dalam kasus yang dibandingkan (FES x MS). Dapat juga diamati bahwa fleksibilitas balok, berbeda dari apa yang terlihat dalam contoh sebelumnya, dan hal ini perlu diperhatikan sebagai hal yang relevan untuk mengubah respons Model FES. Hipotesis balok yang dapat dipindahkan relevan dengan respons dalam domain waktu; sedangkan untuk konten frekuensi struktur memiliki perilaku yang sama dari model MS. Contoh ini dengan beban dinamis yang besar menunjukkan bahwa model MS secara signifikan tidak mementingkan potensi perpindahan struktur; hasil ini dapat dikaitkan dengan semua penyederhanaan yang diasumsikan untuk model pegas-massa. Bahkan gempa bumi yang menyebabkan perpindahan besar di dasar struktur (sekitar 20 cm) tidak cukup untuk memicu respons bangunan nonlinier. Gambar 21-24 menunjukkan bahwa respons domain frekuensi kurang sensitif terhadap asumsi pemodelan. Semua frekuensi sekitar 1,7 hingga 1,9 Hz dan puncak ini mungkin disebabkan oleh beban gempa dalam struktur. Dalam resume, meskipun struktur yang dipelajari dalam model FE menyajikan perpindahan yang lebih tinggi, konten frekuensinya tetap dekat dengan frekuensi bangunan yang dievaluasi melalui mode MS.

---

CONCLUDING REMARKS

Makalah ini mengupayakan pendekatan didaktik untuk menunjukkan bagaimana merepresentasikan, dengan diskritisasi elemen hingga, hasilnya diperoleh dengan model massa-pegas. Temuan di sini bermanfaat bagi para peneliti yang menggunakan model elemen hingga, yang membutuhkan untuk mereproduksi atau membandingkan hasilnya dengan yang diperoleh menggunakan model pegas massal.

Pada dasarnya, untuk merepresentasikan struktur pegas massa dengan metode elemen hingga, perlu: 1) mempertimbangkan hanya setengahnya massa total kolom, disatukan dengan massa balok dan pelat; 2) menganggap lantai berfungsi sebagai benda tegar dalam hal derajat kebebasan longitudinal dan lentur dan 3) membatasi derajat lentur kebebasan balok dan pelat.

Hasil penelitian menunjukkan relevansi hipotesis yang disarankan dalam respon struktur sebagai kerangka pesawat (bangunan) dalam analisis dinamis. Juga menjadi jelas bahwa pengaruh masing-masing hipotesis tergantung pada karakteristik mempelajari kasus. Dalam contoh 1 dan 2, pertimbangan balok fleksibel untuk model FES menyebabkan perubahan signifikan pada respon struktur, dibandingkan dengan hasil model MS. Namun, perilaku yang sama ini tidak diverifikasi di Contoh 3, di mana fleksibilitas balok dalam hal beban gempa tidak mempengaruhi respons model FES.

Dalam hal analisis FFT, semua model (MS, FES, dan FE) tepat untuk menentukan frekuensi getaran,terutama frekuensi alami rendah yang biasanya paling relevan untuk karakterisasi dinamis struktur.Contoh 3 menyarankan bahwa dalam kasus beban dinamis yang parah, seperti gempa bumi, pertimbangan di sekitar struktur Massa sangat relevan dalam respons.Hasil seperti yang disajikan dalam makalah ini mengumpulkan informasi dan memenuhi kualifikasi asumsi pemodelan struktural yang biasa. Itu perbedaan yang diperoleh dengan model yang dikembangkan, menyoroti ketidakpastian intrinsik yang terlibat dalam tantangan membuat representasi perilaku struktural yang realistis. Dalam sudut pandang ini, representasi mekanik yang tepat perilaku hanya dapat dicapai dengan analisis kritis dan pengetahuan di sekitar keterbatasan masing-masing model. ini penting untuk ditekankan bahwa banyak struktur menghadirkan respons yang cenderung pada asumsi pegas-massa; dalam aspek ini penggunaan model serbaguna berdasarkan analisis FE yang dapat diterapkan untuk memecahkan masalah sederhana atau kompleks dapat menjamin desain yang lebih akurat

Tugas Artikel Wisnu Harry Ichwan Fadli

Menunjukkan bahwa korespondensi sempurna antara FES dan model MS diberikan ketika model FES mempertimbangkan 50% dari massa kolom, disamakan dengan massa lantai. Dari kesimpulan ini, contoh-contoh berikut memiliki asumsi ini ditambahkan: pertimbangan setengah massa kolom dalam pemodelan FES mendorong respons yang sama diperoleh dengan model MS. Hasil ini masih menunjukkan bahwa dimungkinkan untuk mereproduksi respons bingkai dengan lebih dari satu baris kolom (dalam hal ini, 8 baris kolom) oleh model MS.

Figure 7

Dari Gambar. 5 dapat dicatat bahwa respon perpindahan puncak struktur mengabaikan dan mempertimbangkan massa kolom untuk model MS berbeda sekitar 5%. Dalam domain frekuensi, frekuensi alami yang sama dapat diamati untuk kedua kasus (5 Hz), dengan perbedaan hanya dalam amplitudo mereka. Hasil ini menunjukkan bahwa untuk estimasi pertentangan frekuensi, pertimbangan massa kolom dalam analisis MS tidak relevan. Gambar 6 dan 7 menunjukkan keakuratan model FES untuk mereproduksi hasil MS. Gambar. 7 menunjukkan bahwa korespondensi sempurna antara FES dan model MS diberikan ketika model FES mempertimbangkan 50% dari massa kolom, disamakan dengan massa lantai. Dari kesimpulan ini, contoh-contoh berikut memiliki asumsi ini ditambahkan: pertimbangan setengah massa kolom dalam pemodelan FES mendorong respons yang sama diperoleh dengan model MS. Hasil ini masih menunjukkan bahwa dimungkinkan untuk mereproduksi respons bingkai dengan lebih dari satu baris kolom (dalam hal ini, 8 baris kolom) oleh model MS.

Tugas Artikel Kania, Chandra, Dieter, Evi

Kasus ini menjelaskan sebuah sistem 2 cart spring-mass-damper. Persamaan gerak untuk system 2 degree of freedom yang digunakan adalah Newtonian mechanics dan diselesaikan secara numerik pada matlab.

 % Calculates the position, velocity, and acceleration as a function of time
 % of a system of carts connected by springs and dashpots. Euler's Method is
 % used to solve the equations of motion numerically.
 clear all; close all; clc;
 tic

 % Problem parameters
 k1=50; % cart 1 spring constant (N/m)
 k2=50; % cart 2 spring constant (N/m)
 b1=3; % cart 1 viscous damping coefficient (kg/s)
 b2=3; % cart 2 viscous damping coefficient (kg/s)
 m1=5; % cart 1 mass (kg)
 m2=5; % cart 2 mass (kg)
 x10=1; % cart 1 initial position (m)
 x20=-1; % cart 2 initial position (m)
 v10=0; % cart 1 initial velocity (m/s)
 v20=0; % cart 2 initial velocity (m/s)

 % Set time step stuff
 simTime=10; % simulation time (s)
 tStep=0.001; % simulation time step
 iterations=simTime/tStep;
 t=0:iterations;

 % Pre-allocate variables for speed and add initial conditions
 x1=zeros(iterations,1);
 x1(1,:)=x10;
 x2=zeros(iterations,1);
 x2(1,:)=x20;
 v1=zeros(iterations,1);
 v1(1,:)=v10;
 v2=zeros(iterations,1);
 v2(1,:)=v20;
 a1=zeros(iterations,1);
 a1(1,:)=-(b1*v10-b2*(v20-v10)+k1*x10-k2*(x20-x10))/m1;
 a2=zeros(iterations,1);
 a2(1,:)=-(b2*(v20-v10)+k2*(x20-x10))/m2;

 % Solve the ODE's with Euler's Method
 for n=2:(iterations+1)
 x1(n,:)=x1(n-1,:)+v1(n-1,:)*tStep; % cart 1 position
 x2(n,:)=x2(n-1,:)+v2(n-1,:)*tStep; % cart 2 position
 v1(n,:)=v1(n-1,:)+a1(n-1,:)*tStep; % cart 1 velocity
 v2(n,:)=v2(n-1,:)+a2(n-1,:)*tStep; % cart 2 velocity
 % Find cart accelerations
 a1(n,:)=-(b1*v1(n,:)-b2*(v2(n,:)-v1(n,:))+k1*x1(n,:)-k2*(x2(n,:)-x1(n,:)))/m1;
 a2(n,:)=-(b2*(v2(n,:)-v1(n,:))+k2*(x2(n,:)-x1(n,:)))/m2;
 end


 % Plot results
 subplot(3,1,1)
 hold on;
 plot(t',x1,'r')
 plot(t',x2,'m')
 ylabel('Position (m)')
 title('Position, Velocity, & Acceleration as a Function of Time')
 legend('Cart 1','Cart 2')
 subplot(3,1,2)
 hold on;
 plot(t',v1,'b')
 plot(t',v2,'c')
 ylabel('Velocity (m/s)')
 legend('Cart 1','Cart 2')
 subplot(3,1,3)
 hold on;
 plot(t',a1,'g')
 plot(t',a2,'y')
 ylabel('Acceleration (m/s^2)')
 xlabel('time (iterations)')
 legend('Cart 1','Cart 2')

 toc

Akan tetapi pada kasus ini, pembahasan yang dilakukan masih dengan Mass-Spring method. Untuk Finite Element Simplified (FES), akan diupdate pada kesempatan selanjutnya.

Source: https:// www.youtube.com/ watch?v=N524t6wdlcM&feature=youtu.be

Artikel Kolaborasi : USING EULER METHOD FOR 1-D OSCILLATING ANALYSIS arranged by Oldy Fahlovvi, Muchalis Zikramansyah Masuku, Ahmad Zikri, Muhammad Irfan Dzaky

Berikut ini kami lampirkan tugas kolaborasi tentang USING EULER METHOD FOR 1-D OSCILLATING ANALYSIS dalam bentuk slideshow.

• 
• 
• 
• 
• 
• 

Tugas Artikel Aghnia, Daniel, Joko, Paskal

Persoalan

Hasil

Berikut terlampir dokumen pendukung berupa Excel

https://drive.google.com/file/d/1Xvx7qlr-6vEFbYRVly7RprzASj8uwBfa/view?usp=sharing