Bintang Farhan Muhammad

Bismillahirrahmanirrahim

Assalamualaikum wr wb

"Sebaik-baik manusia adalah yang bermanfaat bagi orang lain" (HR. Ahmad)

Profil:

Perkenalkan nama saya Bintang Farhan Muhammad, saya biasa dipanggil Bintang. Saya merupakan salah satu murid di kelas Metode Numerik 01.

NPM : 1706986334

Jurusan : Teknik Mesin

Metode Numerik, Deret Taylor, & Deret Maclaurin, Selasa 3 September 2019:

Metode Numerik

Sebuah fungsi terkadang tidak selalu dapat dicari nilai dari akar-akarnya dengan perhitungan sederhana. Untuk persamaan dua variable kita dapat menggunakan rumus AB, untuk 3 variable dapat menggunakan rumus ABC. Untuk 4 variable dan seterusnya, cukup sulit untuk menemukan nilai dari akar-akar secara manual. Untuk itu dapat digunakan metode numerik sebagai salah satu cara mengaproksimasi nilai tersebut. Metode numerik salah satu contohnya adalah Newton-Raphson dan Euler. Cara metode numerik menggunakan perhitungan yang berulang-ulang sehingga hampir tidak mungkin untuk dilakukan perhitungan secara manual, maka dari itu dibutuhkan bantuan dari computer agar perhitungan dapat dilakukan dengan hasil yang teliti dan akurat.

Deret Taylor & Maclaurin

Deret Taylor merupakan sebuah deret polynomial dari sebuah fungsi, untuk mengaproksimasikan nilai fungsi tersebut. Jika nilai acuan dari deret Taylor (a) bernilai 0, maka deret tersebut akan menjadi deret Maclaurin. Kedua deret ini fungsinya sama, untuk mencari nilai aproksimasi dari suatu fungsi.

Untuk membuat sebuah program metode numerik yang baru memiliki kali, bagi, tambah, dan kurang, perlu ditemukan sebuah pola dari deret tersebut. Akan diberikan contoh aproksimasi cos(x) dan e^x dengan nilai x = pi/7, dilakukan dengan deret Maclaurin dengan menggunakan Microsoft Excel.

1) cos(pi/7) dengan deret Maclaurin

2) e^(pi/7) dengan deret Maclaurin

Tingkatan Bahasa Komputer, Contoh Pseudocode, Selasa 10 September 2019:

Tingkatan bahasa computer yang paling rendah adalah binary, atau bisa juga disebut bahasa mesin. Dalam system binary hanya ada angka 1 dan 0. Bahasa mesin sangat sulit dipelajari karena sangat banyak kombinasi angkanya. Akhirnya dibuatlah bahasa penerjemah yang lebih mudah dibaca oleh manusia, kemudian di computer akan diterjemahkan lagi ke bahasa mesin/binary, yang biasa kita sebut dengan compiler. Compiler merupakan penerjemah yang sudah dapat bisa di-running oleh computer. Berbeda dengan pseudocode, pseudocode merupakan bahasa atau program yang tidak bisa diterjemahkan karena tidak ada compiler yang bisa menerjemahkan ke bahasa computer. Dibawah ini contoh pseudocode untuk beberapa fungsi.

---

I = r ; err = 1

suku = x

sin = suku

while err > 1e-7

{

ratio = -x^2/((2*I)*(2*I+1))

suku = suku*ratio

err = abs(suku/sin)

sin = sin + suku

I = I+1

}

---

Dalam sebuah program, ada tiga komponnen, RAM, controller, ALU(Arithmetic Logic Unit). Misalnya dalam RAM ada nilai a=2. Controller memiliki sebuah fungsi a=a+2. Jika program dijalankan ALU akan merubah nilai a pada ram menjadi a+2=4. Alur ini merupakan alur yang sudah umum ada pada sebuah program.

Turunan Numerik, Selasa 17 September 2019:

Turunan numerik ada 3, maju, mundur, dan center. Untuk nilai h yang sama, center adalah turunan numerik paling baik, sementara maju dan mundur dapat dibilang ada dalam tingkat keakuratan yang sama. Hal ini juga bergantung nilai h, karena semakin besar nilai h semakin besar juga truncation error, yaitu kesalahan akibat pemotongan dari deret taylor, jika menggunakan h = 0.2 pada turunan center sementara digunakan h = 0.001 pada turunan maju, akan lebih akurat nilai dari turunan maju.

f(x) =

f(x+h)=

f(x-h)=

Turunan maj

f'(x)=

Turunan mundur

f'(x)=

Turunan center

f'(x)=

Turunan kedua dapat dilakukan dengan cara

f"(x) =

Turunan pertama dapat dicari menggunakan cara diatas

Cara menghitung dengan table, pakai gradien aja, dianggap dia garis lurus (y2-y1)/(x2-x1). Kalo nariknya ke depan dari titik yang dicari, jadi turunan maju, kalo ke belakang jadi turunan mundur. Dari cara ini, dapat dibuktikan nilai dari cara menggunakan table akan sama dengan cara turunan biasa.

Secant Method, Bisect Method, dan Newton Raphson Method, Selasa 24 September 2019:

Secant, bisect, dan Newton-Raphson method, digunakan dalam pencarian pembuat nol dari sebuah fungsi, atau biasa disebut root-finding algorithm.

Secant Method

Secant method menggunakan secant lines untuk mengaproksimasi nilai sebuah fungsi. Metode ini mirip dengan metode Newton-Raphson hanya saja menggunakan finite-difference.

Bisect Method

Merupakan metode pencarian akar-akar untuk fungis yang kontinu, dimana diketahui nilai x pada f(x) bernilai positif dan f(x) bernilai negative

Newton-Raphson Method

Truncation Error, Rounding Error, Persamaan Banyak, Selasa 1 Oktober 2019:

Semua metode numerik memiliki truncation error, baik itu Newton-Raphson, finite element, finite difference dst., dan semua software memiliki truncation error. Untuk memperkecil truncation error, meshing harus dilakukan dengan partisi yang kecil. Apa itu meshing? meshing merupakan pembagian daerah yang dianalisis menjadi partisi-partisi yang sangat kecil, semakin kecil partisi tersebut, semakin akurat hasilnya. Walaupun demikian, hasil yang dihasilkan dari metode numerik tetap diskrit, walaupun terlihat kontinum jika partisinya sangat kecil. Tetapi tidak selalu demikian kasusnya, jika partisi terlalu kecil, maka jumlah iterasi akan semakin banyak, artinya jumlah pengoperasian perhitungan bertambah banyak, dan jumlah rounding akan semakin banyak sehingga rounding error semakin besar. Jadi, untuk menentukan sebesar apa partisinya, ada nilai optimumnya. Untuk mengetahui nilai N (jumlah iterasi) yang paling optimum, nilai iterasi divariasikan dari kecil hingga besar, saat dia sudah tidak berubah banyak maka di titik tersebut lah jumlah iterasinya paling optimum. Begitu juga dengan jumlah mesh perlu divariasikan agar mendapat nilai yang paling optimum.

Pada sebuah penelitian, jika ingin memvalidasi hasil perhitungan numerik, agak kurang logis. Mengapa? karena pada eksperimen error berbeda dengan error pada numerik. Pad numerik, errornya antara lain, rounding error, truncation error, kesalahan asumsi, dan penyederhanaan, sementara pada eksperimen hanya ada error alat ukur. Jadi apa gunanya numerik? Pada sebuah kotak, pada eksperimen mungkin hanya bisa mengukur temperature pada boundary saja, tetapi numerik bisa menghitung hingga bagian dalamnya. Hasil dari metode numerik tidak akan bisa sama dengan eksperimen, tetapi hanya mungkin memiliki trend yang sama. Misalnya, pada eksperimen grafik yang didapat cendrung turun, begitu juga pada numerik, artinya numerik masih bisa dapat kita percayan sebagai alat untuk Analisa. Jika hal ini terpenuhi, maka hasil eksperimen dapat kita Analisa dengan menggunakan metode numerik terutama pada bagian-bagian yang tidak dapat diukur oleh eksperimen.

Multiple equations (?)