Wahyu Purnawirawan

Assalamu’alaikum, Halo ini adalah homepage saya…

DAI5 Framework

Berikut adalah tugas pertama pada perkuliahan Finite Element Multiphysics, yaitu menjelaskan pemahaman tentang DAI5 (suatu framework) untuk membantu menguraikan permasalahan dan menemukan solusi dari suatu fenomena /kasus. Agar lebih jelas, silahkan simak video Youtube berikut:

Simple Pipe Stress Modelling

Pada pertemuan kali ini dilakukan latihan simulasi pada struktur pipa sederhana dengan maksud mengetahui displacement dan stress yang terjadi pada struktur tersebut, dengan geometri dan spesifikasi yang diperoleh dari software Caesar II sebagaimana dapat dilihat pada gambar berikut:

DAI5 Framework digunakan untuk menguraikan permasalahan dan membuktikan hasilnya.

1.Intention dilakukan guna menetapkan maksud dan tujuan kita melakukan simulasi yaitu untuk mendapatkan gambaran apakah simulasi menunjukan hasil sesuai dengan yang diharapkan. Kasus kali ialah membuktikan apakah struktur pipa yang mengalami gaya axial akan mengalami displacement terbesar pada titik dimana beban/sumber gaya berasal, sementara stress terbesar akan terjadi pada pangkal pipa ditahan.

2.Initial Thinking dilakukan dengan menentukan design/bentuk objek berupa geometri dan dimensi Modelling dilakukan menggunakan software solidworks untuk mendapatkan 3D Model.

3.Idealization dilakukan dengan merancang model mendekati dengan kondisi yang sebenarnya, dilengkapi dengan asumsi, gambar dan geometry rancangan serta lingkup/cakupan kondisi.

Pada kasus Axial Buried Pipe Displacement diketahui pipa yang digunakan memiliki panjang 4 meter, diamter 6in, wallthickness 10s, Temperatur operasi 120F, Temperatur design 150F, pressure operation 130lb/sq.in dan pressure design 270/sq.in dengan material yang digunakan ialah A312 304L (stainless steel).

Setelah diperoleh model, langkah selanjutnya ialah membangun asumsi untuk menyederhanakan kasus, diantaranya: • Properties material homogen sepanjang pipa; • Arah gaya yang bekerja lurus/sejajar dengan sumbu/tidak membentuk sudut dsb; • Beban yang bekerja adalah beban statik.

Dari batasan yang telah dibangun sebelumnya, selanjutnya ialah menetapkan beberapa boundary condition, seperti salah satu ujung pipa dalam kondisi ditahan/fix, sementara ujung lainnya mendapatkan beban tekan/tarik, dengan besaran dan arah gaya sejajar sumbu. Modelling dilakukan menggunakan software solidworks untuk mendapatkan 3D Model. Sebagaimana dapat dilihat pada gambar berikut.

4.Instruction set merupakan langkah-langkah yang harus dilakukan melalui software yang telah dipilih. Dari model yang sudah dibangun, kemudian dilakukan simulasi model menggunakan software Ansys. Tahapan dilakukan sebagaimana yang telah diuraikan pada proses idealization. Salah satu ujung pipa merupakan fixed support, sementara ujung lainnya merupakan titik dimana gaya external bekerja, sebagaimana dapat dilihat pada gambar berikut:

Fix Support

Force Direction

Setelah memasukan berbagai parameter yang telah ditentukan pada tahap initial thinking sebelumnya, program kemudian dapat dijalankan, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut.

Dari simulasi yang dilakukan, dapat dilihat bahwa displacement terbesar terjadi pada ujung pipa dimana external force diberikan (3.0369e-006 m). Warna pada pipa menunjukkan besar perpindahan (displacement), di mana warna merah menunjukkan perpindahan terbesar dan biru menunjukkan perpindahan terkecil. Nilai maksimum sekitar 3.0369e-006 m dan nilai minimum sekitar 1.5182e-006 m.

Pertanyaan Apakah posisi displacement terbesar selalu bertolak belakang dengan posisi stress maksimum? apa yang mempengaruhinya dan bagaimana hubungan keduanya?

1D Element Bar Analysis

Pada pertemuan selanjutnya mencoba menggunakan software calculix (Freecad) untuk menyelesaikan kasus sederhana berupa 1D Element Bar. DAI5 Framework digunakan untuk menguraikan permasalahan dan membuktikan hasilnya.

1.Intention dilakukan guna menetapkan maksud dan tujuan kita melakukan simulasi yaitu untuk mendapatkan gambaran apakah simulasi menunjukan hasil sesuai dengan yang diharapkan (pada kesempatan kali ini pipe stress pada model 1D). Pada kasus kali ini dilakukan pembuktian apakah struktur pipa yang mengalami gaya axial akan mengalami displacement terbesar pada titik dimana beban/sumber gaya berasal, sementara stress terbesar akan terjadi pada pangkal pipa ditahan.

2.Initial Thinking dilakukan dengan menentukan design/bentuk objek berupa data-data geometri dan dimensi. Adapun data-data yang diperoleh antara lain:

Panjang Batang = 100 mm

Luas penampang = 150 mm^2

Load = 1000 N

Modulus Young = 200kPa

3.Idealization dilakukan dengan merancang model mendekati dengan kondisi yang sebenarnya, dilengkapi dengan asumsi, gambar dan geometry rancangan serta lingkup/cakupan kondisi. Dari initial thinking yang dilakukan sebelumnya, diperoleh gambaran bahwa untuk menyelesaikan permasalahan cukup dengan menggunakan model 1D Bar.

Setelah diperoleh model, langkah selanjutnya ialah membangun asumsi untuk menyederhanakan kasus, diantaranya:

• Properties material homogen sepanjang pipa; • Arah gaya yang bekerja lurus/sejajar dengan sumbu dalam hal ini displacement hanya terjadi pada 1 arah (yaitu pada sumbu x); • Arah gaya tidak membentuk sudut; • Beban yang bekerja adalah beban statik.

Dari batasan yang telah dibangun sebelumnya, selanjutnya ialah menetapkan beberapa boundary condition, seperti salah satu ujung pipa dalam kondisi ditahan/fix, sementara ujung lainnya mendapatkan beban tekan/tarik, dengan besaran dan arah gaya sejajar sumbu sebesar 1000N. Modelling dilakukan menggunakan software freecad dengan keunggulan aplikasi yang tidak berbayar, tidak memakan memori komputer terlalu besar dan cukup mudah digunakan.

4.Instruction set merupakan langkah-langkah yang harus dilakukan melalui software yang telah dipilih. Dari model yang sudah dibangun, kemudian dilakukan simulasi model menggunakan software Freecad (Calculix). Tahapan dilakukan sebagaimana yang telah diuraikan pada proses idealization. Salah satu ujung pipa merupakan fixed support, sementara ujung lainnya merupakan titik dimana gaya external bekerja, langkah berikutnya yang dilakukan ialah menentukan memasukan mesh (discrete element) dari model/batang yang dibuat. Sebagaimana dapat dilihat pada gambar berikut:

Setelah dimasukan beberapa parameter yang diperlukan pada FreeCAD, langkah seanjutnya ialah menentukan jenis beban yang berlaku pada batang (static) untuk kemudian running Calculix. Hasil dari simulasi (result) dapat diperoleh dan dilihat sebagaimana gambar berikut:

Dari simulasi yang dilakukan, dapat dilihat bahwa displacement hanya terjadi pada sumbu x sebesar 136,13 mm, dan terbukti bahwa untuk menyelesaikan permasalahan diatas, cukup dengan model 1D sederhana.

2D Hollow Pipe menggunakan Freecad

Sharing tentang bagaimana membuat model dan analisis fem sebuah pipa berongga yang ditumpu dikedua sisinya dan mendapatkan beban vertikal menggunakan Freecad. Berikut geometri dari model yang akan dibuat:

Panjang Pipa = 4000mm

Diameter Luar = 168,275mm

Wallthicknes = 3,4mm

Force= 8000N

Catatan Kuliah

Finite Element ialah metode, bukan alat/tool

Kasus yang umum terjadi (realita) displacement bersifat non linear, sehingga perlu disederhanakan (discret > finite)

Matrix dihitung pada nodes > basic variable

Matrix local berlaku hanya untuk 1 node, sementara matrix global berlaku untuk keseluruhan node.

Gaya pada titik, tegangan pada permukaan.

Flux > masuknya volume/masa pada sistem,

Pada region/bagian/descrete tidak akan terjadi overlaping

Prinsipnya ialah kesetimbangan gaya pada nodal, baik pada arah x,y maupun z

Dalam Freecad, tegangan dalam sumbu Z adalah Nol (0) untuk kasus pemodelan pipa Kita perlu melakukan variasi ketebalan buat simulasi 3D element pada pipa, untuk melihat semua tegangan dan displacement ke semua arah. Tegangan pada ketebalan berapa pada arah y tidak sigificant (dimana hal ini dapat di akomodir pada pemodelan 2D Element). Sehingga diperoleh pemahaman, kapan kita menggunakan 2D dan 3D dalam memecahkan permasalahan.

Dalam analisis metode elemen hingga (Finite Element Method/FEM), elemen 1D, 2D, dan 3D digunakan untuk merepresentasikan berbagai jenis objek fisik berdasarkan bentuk dan kompleksitas geometrisnya. Berikut adalah perbedaan antara elemen-elemen tersebut dalam konteks analisis multiphysics:

1. Elemen 1D (Satu Dimensi): Representasi Geometris: Elemen 1D direpresentasikan sebagai garis, yang memiliki panjang tetapi tidak memiliki lebar atau tinggi. Elemen ini sering digunakan untuk memodelkan struktur seperti batang (beam), kolom, kabel, atau elemen tipis panjang lainnya. Aplikasi: Digunakan untuk masalah di mana satu dimensi (panjang) jauh lebih dominan daripada dua dimensi lainnya. Misalnya: Analisis struktur seperti jembatan gantung atau kabel listrik. Analisis getaran pada batang tipis atau kabel. Derajat Kebebasan (DOF): Pada elemen 1D, derajat kebebasan biasanya mencakup perpindahan di sepanjang satu dimensi serta rotasi.

2. Elemen 2D (Dua Dimensi): Representasi Geometris: Elemen 2D berupa bentuk-bentuk seperti segitiga atau kuadrat, yang memiliki panjang dan lebar, tetapi tidak memiliki ketebalan signifikan. Aplikasi: Digunakan untuk memodelkan masalah pada bidang (plane stress atau plane strain), lembaran, atau membran, seperti: Analisis tegangan dan regangan pada lembaran tipis atau pelat. Simulasi fenomena perpindahan panas atau aliran fluida pada permukaan datar. Analisis struktur seperti dinding atau pelat baja. Derajat Kebebasan (DOF): Elemen 2D memungkinkan perpindahan di dua arah (sumbu X dan Y) serta rotasi.

3. Elemen 3D (Tiga Dimensi): Representasi Geometris: Elemen 3D berbentuk padat, seperti tetrahedron, hexahedron (kubus), atau prisma. Elemen ini memiliki panjang, lebar, dan tinggi. Aplikasi: Digunakan untuk memodelkan objek fisik dengan volume, seperti: Struktur padat seperti balok beton atau komponen mekanik. Simulasi fenomena fisika yang kompleks seperti perpindahan panas 3D, aliran fluida dalam ruang tiga dimensi, atau deformasi struktur 3D. Derajat Kebebasan (DOF): Pada elemen 3D, derajat kebebasan mencakup perpindahan di ketiga arah (X, Y, Z) serta rotasi di sekitar ketiga sumbu.

Hukum Hooke dalam 3D (tiga dimensi) yang menghubungkan tegangan (stress) dan regangan (strain) untuk bahan elastis isotropik, baik dalam kondisi aksial maupun geser. Pada gambar ini, terdapat dua kolom utama: Strain di sisi kiri dan Stress di sisi kanan, serta diagram kubus yang menunjukkan tegangan pada berbagai arah. Sebagaimana dapat dilihat pada gambar berikut:

Berikut penjelasan untuk masing-masing bagian:

Axial Strain (Regangan Aksial) Bagian kiri atas menunjukkan rumus untuk regangan aksial (\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)) yang bergantung pada tegangan (\(\sigma_x\), \(\sigma_y\), \(\sigma_z\)) pada ketiga arah utama (x, y, dan z), modulus elastisitas material (E), dan rasio Poisson (**\nu**). Regangan aksial pada setiap arah dihitung menggunakan formula umum Hukum Hooke dalam 3D, yaitu:

\[ \varepsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_z}{E} \] Formulanya serupa untuk arah y dan z. Ini menunjukkan bahwa regangan dalam satu arah tidak hanya bergantung pada tegangan di arah tersebut, tetapi juga dipengaruhi oleh tegangan di arah lainnya melalui efek rasio Poisson.

Shear Strain (Regangan Geser) Bagian tengah bawah menunjukkan rumus untuk **regangan geser** (\(\gamma_{xy}, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}\)), yang bergantung pada tegangan geser (\(\tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}\)) dan **modulus geser** (G). Regangan geser dihitung dengan rumus:

\[ \gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G}, \quad \gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{G}, \quad \gamma_{zx} = \frac{\tau_{zx}}{G} \] Ini menunjukkan hubungan antara tegangan geser dan regangan geser melalui modulus geser (G).

Axial Stress (Tegangan Aksial) Bagian kanan atas menunjukkan rumus untuk **tegangan aksial** (\(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\)) yang dihitung berdasarkan regangan aksial (\(\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z\)) dan menggunakan modulus elastisitas (E) serta rasio Poisson (\(\nu\)). Rumus ini menghubungkan regangan dengan tegangan melalui transformasi elastisitas:

\[ \sigma_x = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \left[ (1-\nu) \varepsilon_x + \nu (\varepsilon_y + \varepsilon_z) \right] \] Formulanya serupa untuk arah y dan z. Ini menunjukkan bahwa tegangan dalam satu arah juga dipengaruhi oleh regangan di arah lain melalui rasio Poisson.

Shear Stress (Tegangan Geser) Bagian kanan bawah menunjukkan rumus untuk tegangan geser (\(\tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}\)) yang dihitung menggunakan modulus geser (G) dan regangan geser (\(\gamma_{xy}, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}\)):

\[ \tau_{xy} = G \gamma_{xy}, \quad \tau_{yz} = G \gamma_{yz}, \quad \tau_{zx} = G \gamma_{zx} \] Rumus ini adalah hubungan dasar antara regangan geser dan tegangan geser.

Transformasi: Plane Stress dan Plane Strain Di bagian tengah atas, ada anotasi tentang transformasi untuk kondisi plane stress dan plane strain, yang merujuk pada penggunaan hukum Hooke dalam kasus-kasus khusus dua dimensi. Dalam plane stress, tegangan di arah z (\(\sigma_z\)) dianggap nol, sementara dalam plane strain, regangan di arah z (\(\varepsilon_z\)) dianggap nol. Transformasi ini membantu menyederhanakan persamaan untuk situasi dua dimensi dalam analisis mekanika material.

Kesimpulan: Gambar ini memberikan rangkuman hubungan antara tegangan dan regangan dalam tiga dimensi untuk bahan elastis isotropik, dengan memperhitungkan kondisi aksial dan geser. Rumus-rumus tersebut merupakan dasar dari Hukum Hooke dalam bentuk 3D yang digunakan dalam analisis deformasi material, dan dapat disederhanakan untuk kasus plane stress dan plane strain sesuai kebutuhan analisis.

FEM Multiphysics 1D Temperatur & Displacement Pertama selesaikan persamaan temperatur distribution, baru kemudian persamaan displacement dan harus memenuhi persamaan dengan residu yang lebih kecil (Konvergen)

ukuran mesh masuk kedalam bagian Idealisasi (kasar - halus) untuk mempercepat mendapatkan hasil sebagai gambaran

Tugas Besar UTS

Berikut adalah tugas UTS membuat Draft Paper dengan bantuan Chat GPT. Dalam Video ini dibahas bagaimana membuat paper khususnya terkait dengan pipe stress analysis menggunakan Finite Element khususnya dengan metode 1D Element Beam dengan memanfaatkan teknologi Chat GPT untuk memperoleh interaksi mendalam bagaimana framework DAI5 dapat menguraikan permasalahan, sebagiamana dapat dilihat melalui video Youtube berikut

1D Multiphysics Problem Example using Finite Element Analysis (FEM)

Berikut adalah contoh soal multifisika 1D di teknik mesin mulai dari persamaan pengatur, turunan persamaan fem, algoritma, diagram alir (flow chart), kode python dan penjelasan detailnya menggunakan framework DAI5, yang terdiri dari "I" yang pertama adalah Inisiator (Dr. Ahmad Indra yang mengutip "Saya adalah kesadaran saya"), I kedua adalah Intensi, I ketiga adalah Pemikiran awal tentang masalah, I keempat adalah Idealisasi, dan I kelima adalah Set Instruksi.

Langkah-Langkah DAI5 Framework

1. Initiator Konteks dan Kutipan: Berasal dari perspektif pemrakarsa, Dr. Ahmad Indra tentang "Saya adalah kesadaran saya," yang menunjukkan bahwa pendekatan pemecahan masalah harus mengintegrasikan kesadaran setiap fase untuk membangun solusi yang lengkap dan saling berhubungan. Tujuan Proyek: Memecahkan masalah FEM termal-struktural 1D dengan mempertimbangkan hubungan sadar antara fisika, matematika, dan metode komputasi. Tujuan dari kode yang dihasilkan adalah untuk menyelesaikan masalah fisika dalam satu dimensi yang melibatkan konduksi panas dan analisis mekanik dari batang. Kode ini menggunakan metode elemen hingga untuk menghitung distribusi suhu (temperatur), perpindahan, dan tegangan termal pada batang.

2. Intention Tujuan: Maksudnya adalah untuk memahami dan memecahkan bagaimana batang 1D mengembang karena panas melalui penerapan FEM, menggunakan analisis komputasi untuk wawasan praktis. Aplikasi: Analisis ini berlaku untuk disiplin ilmu teknik yang memerlukan pemodelan suhu dan tegangan pada komponen yang terpapar panas, seperti batang, pipa, atau balok struktural.

3. Initial Thinking

Untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan FEM, batang dibagi menjadi elemen-elemen yang lebih kecil, dan pada setiap elemen, persamaan diferensial didekati oleh persamaan aljabar. Langkah-langkah utama FEM meliputi:

1. Menyusun matriks kekakuan termal untuk menghitung distribusi suhu berdasarkan kondisi konduksi panas. 2. Menyusun matriks kekakuan struktural untuk menghitung perpindahan batang, dengan mempertimbangkan tegangan termal akibat ekspansi panas.

4. Idealisasi

• Penyederhanaan: Sederhanakan batang menjadi elemen-elemen terbatas dan terapkan FEM. • Langkah-langkah Idealisasi: • Diskritisasi Domain: Membagi batang menjadi elemen-elemen untuk analisis FEM. • Analisis Termal: Pecahkan suhu 𝑇 menggunakan FEM. • Analisis Struktural: Gunakan 𝑇 untuk menghitung regangan termal dan pecahkan perpindahan 𝑢. • Kondisi Batas:

   - Suhu pada kedua ujung batang diatur menjadi nol (T = 0).
   - Perpindahan pada kedua ujung batang juga diatur menjadi nol (u = 0).

5. Set Instruksi (Langkah-langkah Terperinci & Kode Python)

Algoritma:

  1). Inisialisasi Parameter Material dan Geometri:

      • Tentukan panjang batang, jumlah elemen, konduktivitas termal 𝑘, sumber panas 𝑄, modulus elastisitas 𝐸, dan koefisien ekspansi 
        termal 𝛼.
      • Konversi modulus elastisitas 𝐸 dari GPa ke Pa.
      • Tentukan panjang elemen 𝑑𝑥 dan posisi setiap node dalam batang.

  2). Inisialisasi Matriks Kekakuan dan Vektor Gaya untuk Analisis Termal:

      • Buat matriks kekakuan termal 𝐾 thermal dan vektor gaya termal 𝐹 thermal sebagai array kosong.

  3). Penyusunan Matriks Kekakuan Termal dan Vektor Gaya Termal:

      • Tambahkan nilai konduktivitas termal 𝑘/𝑑𝑥 ke matriks kekakuan termal di posisi yang sesuai untuk setiap pasangan node.
      • Hitung kontribusi sumber panas pada vektor gaya termal 𝐹 thermal untuk setiap node pada elemen tersebut

  4). Penerapan Kondisi Batas Termal:

      • Set suhu di ujung batang menjadi nol dengan mengubah matriks kekakuan termal 𝐾thermal dan vektor gaya 𝐹 thermal sesuai.

  5). Solusi Distribusi Suhu:

      • Selesaikan sistem persamaan 𝐾 thermal * 𝑇 = 𝐹 thermal untuk mendapatkan distribusi suhu 𝑇 pada setiap node.

  6). Inisialisasi Matriks Kekakuan dan Vektor Gaya untuk Analisis Struktural:

      • Buat matriks kekakuan struktural 𝐾 structural dan vektor gaya struktural 𝐹 structural sebagai array kosong.

  7). Penyusunan Matriks Kekakuan Struktural dan Beban Termal Akibat Ekspansi:

      • Tambahkan nilai modulus elastisitas 𝐸/𝑑𝑥 ke matriks kekakuan struktural di posisi yang sesuai untuk setiap pasangan node.
      • Hitung beban internal akibat ekspansi termal pada vektor gaya struktural 𝐹 structural, menggunakan suhu dari solusi termal.

  8). Penerapan Kondisi Batas Struktural 

      • Set perpindahan di ujung batang menjadi nol dengan mengubah matriks kekakuan struktural 𝐾 structural dan vektor gaya 𝐹 structural 
        sesuai.

  9). Solusi Perpindahan dan Tegangan Termal:

      • Selesaikan sistem persamaan 𝐾 structural * 𝑢 = 𝐹 structural untuk mendapatkan perpindahan 𝑢 pada setiap node.
      • Hitung tegangan termal 𝜎 = 𝐸𝛼 (𝑇−𝑇0) berdasarkan distribusi suhu dan koefisien ekspansi termal.

  10).Visualisasi Hasil:

      • Buat grafik distribusi suhu, perpindahan, dan tegangan termal di sepanjang batang menggunakan warna untuk membantu interpretasi 
        visual.

2. Flow Chart:

3. Kode Python

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

1. Material and problem constants

length = 1.0 # length of the rod num_elements = 10 # number of finite elements k = 10.0 # thermal conductivity Q = 5.0 # heat source per unit volume E = 200.0 # Young's modulus alpha = 1.2e-5 # thermal expansion coefficient

dx = length / num_elements # element size nodes = np.linspace(0, length, num_elements + 1)

1. Thermal Problem

K_thermal = np.zeros((num_elements + 1, num_elements + 1)) F_thermal = np.zeros(num_elements + 1)

1. Assemble thermal matrix and vector

for i in range(num_elements):

   K_thermal[i, i] += k / dx
   K_thermal[i, i + 1] -= k / dx
   K_thermal[i + 1, i] -= k / dx
   K_thermal[i + 1, i + 1] += k / dx
   F_thermal[i] += Q * dx / 2
   F_thermal[i + 1] += Q * dx / 2

1. Boundary conditions for thermal problem (T = 0 at boundaries)

K_thermal[0, 0] = K_thermal[-1, -1] = 1 F_thermal[0] = F_thermal[-1] = 0

T = np.linalg.solve(K_thermal, F_thermal)

1. Structural Problem

K_structural = np.zeros((num_elements + 1, num_elements + 1)) F_structural = np.zeros(num_elements + 1)

1. Assemble structural matrix incorporating thermal expansion

for i in range(num_elements):

   K_structural[i, i] += E / dx
   K_structural[i, i + 1] -= E / dx
   K_structural[i + 1, i] -= E / dx
   K_structural[i + 1, i + 1] += E / dx
   F_structural[i] -= alpha * E * (T[i] + T[i + 1]) / 2
   F_structural[i + 1] -= alpha * E * (T[i] + T[i + 1]) / 2

1. Boundary conditions for structural problem (u = 0 at boundaries)

K_structural[0, 0] = K_structural[-1, -1] = 1 F_structural[0] = F_structural[-1] = 0

u = np.linalg.solve(K_structural, F_structural)

1. Post-processing

plt.figure() plt.plot(nodes, T, label="Temperature (T)") plt.xlabel("Position along rod") plt.ylabel("Temperature") plt.legend() plt.grid(True) plt.show()

plt.figure() plt.plot(nodes, u, label="Displacement (u)", color="red") plt.xlabel("Position along rod") plt.ylabel("Displacement") plt.legend() plt.grid(True) plt.show()

4. Penjelasan:

• Penyiapan FEM Termal: Membangun matriks K_thermal dan vektor F_thermal untuk masalah konduksi panas. • Memecahkan Masalah Termal: Menemukan suhu T dengan memecahkan 𝐾𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑙⋅𝑇=𝐹𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑙 • Penyiapan FEM Struktural: Membangun K_structural dan F_structural untuk masalah struktural, termasuk ekspansi termal. • Memecahkan Masalah Struktural: Memecahkan perpindahan u berdasarkan regangan yang disebabkan oleh suhu.