Metnum03-Khairul Hasibullah
Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Contents
Biodata
Nama: Khairul Hasibullah
NPM : 1806233335
Hobi: Membaca buku
Pertemuan 1
Sebelum UTS Kami mempelajari berbagai hal yaitu:
1. Deret mclaurin Deret mclaurin berkaitan dengan deret taylor dimana deret mclaurin dimana deret mclaurin adalah bentuk khusus dari deret taylor dimana fungsinya diekspansi disekitar c=0
deret mclaurin memiliki bentuk sebagai berikut
Deret mclaurin digunakan untuk membantu kita mencari nilai dari sebuah persamaan dimana akar dari persamaannya yang dicari angka yang tidak bulat, seperti sin 27,5 atau sebagainya
2. Open method and barcekting method Open dan bracketing method merupakan metode yang digunakan untuk mencari nilai akar-akar dari sebuah persamaan, Open method dan bracketing method hanya dibatasi pada kondisi konvergen
open method terdiri simple fixed point, newton raphson, secant , and brents bracketing method terdiri dari graphical method, bisection method, false position method
3. Regresi Linear regresi linear adalah sebuah pendekatan untuk memodelkan hubungan antara variable terikat Y dan satu atau lebih variable bebas yang disebut X. Salah satu kegunaan dari regresi linear adalah untuk melakukan prediksi berdasarkan data-data yang telah dimiliki sebelumnya. Hubungan di antara variable-variabel tersebut disebut sebagai model regresi linear. Berdasarkan penggunaan variable bebas, maka regresi linear dapat dibagi menjadi dua, yaitu regresi linear univariate dan regresi linear multivariate.
Persamaan umum regresi linear: Y=ax+b
dimana
4. Turunan Numerik
Turunan numerik digunakan dalam menentukan nilai turunan fungsi f berdasarkan pada tabel, dimana ada tiga bentuk turunan yaitu:
a. forward differential
b. backward differential
c. center differential
tutorial open modelica tentang pendulum
https://www.youtube.com/watch?v=CdaQzhmoHDY
Pertemuan 2
Pada pertemuan 2 kemarin, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, pak Dai memberi kami tugas untuk menyelesaikan salah satu persamaan linear simultan dengan open modelica. saya memilih untuk mengerjakan Metode Gauss Elimination sebagai objek percobaan saya didalam penyelesaian modelica. pertama-tama saya mencari soal tentang 3 persamaan linear 3 variable yang nantinya akan diubah menjadi matriks 3x3 dengan persamaan A*B=C. dimana matriks A[3x3], B[3], dan C[3]. soulusi yang dicari adalah pada nilai B1,B2, dan B3.
berikut contoh soal saya
Setelah itu, persamaan2 tersebut dibuat dalam bentuk matriks sebelum diselesaikan menggunakan gauss, menjadi
sesuai dengan perintah pak dai, kita dianjurkan membuat 2 kelas dalam modelica. yang pertama adalah kelas function dimana kita memasukan fungsi algoritma nya. dan kelas yang kedua adalah class dimana nanti function tadi di recall dan dimasukan variable nya lalu solve dilakukan..
Function Class
function class diisi dengan mendeclare nilai input,outputdan logartima dimana input : A[3,3] dan C[3]
output : B[3]
Logaritma : B:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,C)
logaritma menggunakan fungsi yang sudah ada didalam modelica yaitu fungsi matrices untuk gauss elimination.
Class gauss elimination
dalam kelas ini, fungsi tadi yang bernama "fungsii" direcall pada kolom equation dengan memasukan A&C sebagai inputnya dan B outputnya. namun sebelum itu terlebih dahulu saya mendeclare nilai2 inputanya tadi seperti digambar atas tersebut.
Hasil
setelah itu, kita dapat melakukan plotting dan mendapatkan hasilnya. dari gambar tersebut kita dapat mengetahui nilai dari B adalah = 0.94 , 1.59 , -0.12
PERTEMUAN 3
Pada pertemuan ketiga kami mempelajari tentang spring mass system dimana persamaan umum untuk penyelasaian spring mass system menggunakan hukum Hooke
dimana
m: massa benda x: perpindahan Fd dan Fu: merupakan gaya yang bekerja pada benda seperti gaya pegas maupun gaya gravitasi
Ini merupakan contoh yang digunakan pada dibukuu
Untuk penjabaran gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing massa adalah sebagai berikut:
Selanjutnya untuk massa 1=
1.) Subjek Massa 1
2K(x2-x1)-Kx1+m1g= m d^2 x1/dt^2 dikarenakan tidak adanya percepatan pada sistem maka m d^2 x1/dt^2 =0
3kx1 - 2kx2=m1g ......(1)
2.) Subjek Massa 2
k(x3-x2) - (2k(x2-x1))+m2g=0
-kx3 + 3kx2-2kx1=m2g ......(2)
3.) Subjek Massa 3
-k(x3-x2) +m3g=0
-kx2 + kx3=m3g .......(3)
Ini merupakan proses pengerjaan saya pada open modelica
dapat dilihat bahwa nilai x1 = 7.3575; x2 = 10.0552; x3 = 12.5077, sesuai dengan hasil yang ada di buku Metode Numerik.
Setelah pertemuan ini, pak Dai memberikan PR untuk mengerjakan soal berikut:
selanjutnya menghitung nilai kekakukan dimana:
-elemen 1,3,4, dan 6 memiliki k yang sama
-elemen 2 dan 5 memiliki k yang berbeda dengan
Ini merupakan penyelesaian menggunakan open modelica
dimana function yang saya buat sebagai berikut:
selanjutnya saya membuat class pada open modelica dengan parameter-parameter dan memanggil function sebagai berikut:
dan yang terakhir ini merupakan nilai U dan plot diagram dari U
QUIZ 01
Berikut penyelesaian flowcart yang saya buat untuk menjawab pertanyaan quiz diatas
Berikut penyelesaiaan untuk nomor 4
Tugas pertemuan 4
1. Membuat kelas function terlebih dahulu
StiffnessMatrixElement:
function StiffnessMatrixElement
input Real [:,6] inisiasi_mat; output Real [size(inisiasi_mat,1),6,6] Ke_mat;
protected Real cos_x; Real cos_y; Real cos_z; Real [6] StiffTrig; Real [6,6] StiffTrans; Real [size(inisiasi_mat,1)] L; Real [size(inisiasi_mat,1)] k_vec;
algorithm
L := {(sqrt(inisiasi_mat[i,2]^2 + inisiasi_mat[i,3]^2 + inisiasi_mat[i,4]^2)) for i in 1:size(inisiasi_mat,1)};
k_vec := {(inisiasi_mat[i,5] * inisiasi_mat[i,6] / L[i]) for i in 1:size(inisiasi_mat,1)};
// Finding stiffness matrix of each element member for i in 1:size(inisiasi_mat,1) loop
// Clearing the matrices StiffTrig := zeros(6); StiffTrans := zeros(6,6); // Converting degrees to radians cos_x := inisiasi_mat[i,2]/L[i]; cos_y := inisiasi_mat[i,3]/L[i]; cos_z := inisiasi_mat[i,4]/L[i];
// {cos^2, sin^2, sincos} StiffTrig := {(cos_x)^2, (cos_y)^2, (cos_z)^2, (cos_x*cos_y), (cos_x*cos_z), (cos_y*cos_z)}; // Construct stiffness transformation matrix StiffTrans := [ StiffTrig[1], StiffTrig[4], StiffTrig[5], -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[5]; StiffTrig[4], StiffTrig[2], StiffTrig[6], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[2], -1*StiffTrig[6]; StiffTrig[5], StiffTrig[6], StiffTrig[3], -1*StiffTrig[5], -1*StiffTrig[6], -1*StiffTrig[3]; -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[5], StiffTrig[1], StiffTrig[4], StiffTrig[5]; -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[2], -1*StiffTrig[6], StiffTrig[4], StiffTrig[2], StiffTrig[6]; -1*StiffTrig[5], -1*StiffTrig[6], -1*StiffTrig[3], StiffTrig[5], StiffTrig[6], StiffTrig[3]]; // Multiply in stiffness constant of element, add final stiffness matrix to Ke_mat for m in 1:6 loop for n in 1:6 loop Ke_mat[i,m,n] := k_vec[i] * StiffTrans[m,n]; end for; end for;
end for;
end StiffnessMatrixElement;
2. Mengubah ke elemen global
StiffnessMatrixGlobal:
function StiffnessMatrixGlobal
input Integer x; input Integer [:,2] n; input Real [:,6,6] Ke_mat; output Real [size(Ke_mat,1),3*x,3*x] Kg_mat;
algorithm
Kg_mat := zeros(size(Ke_mat,1),3*x,3*x);
for i in 1:size(Ke_mat,1) loop Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,3,3]; Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,3,2]; Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,3,1]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,2,3]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,2,2]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,2,1]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,1,3]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,1,2]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,1,1];
Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,6,6]; Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,6,5]; Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,6,4]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,5,6]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,5,5]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,5,4]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,4,6]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,4,5]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,4,4];
Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,6,3]; Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,6,2]; Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,6,1]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,5,3]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,5,2]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,5,1]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,4,3]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,4,2]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,4,1];
Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,3,6]; Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,3,5]; Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,3,4]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,2,6]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,2,5]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,2,4]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,1,6]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,1,5]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,1,4]; end for;
end StiffnessMatrixGlobal;
3. mennetukan jumlah k global nya
SumStiffnessMatrixGlobal:
function SumStiffnessMatrixGlobal
input Real [:,:,:] Kg_mat; output Real [size(Kg_mat,2),size(Kg_mat,2)] KgTot_mat;
algorithm
for a in 1:size(Kg_mat,2) loop for b in 1:size(Kg_mat,2) loop KgTot_mat[a,b] := sum(Kg_mat [:,a,b]); end for; end for;
end SumStiffnessMatrixGlobal;
4. membuat kelas function check force
untuk memastikan perhitungan yang dilakukan benar atau tidak (force total harus sama dengan 0)
function GaussJordan
input Real [:,:] KgB_met; input Real [size(KgB_met,1)] load_met; output Real [size(KgB_met,1)] U_met; protected Real float_error = 10e-10;
algorithm
U_met:=Modelica.Math.Matrices.solve(KgB_met,load_met);
for i in 1:size(KgB_met,1) loop if abs(U_met[i]) <= float_error then U_met[i] := 0; end if; end for;
end GaussJordan;
5. Mmembuat kelas fungsi Boundary Stiffness Matrix Global
function BoundaryStiffnessMatrixGlobal
input Real [:,:] KgTot_met; input Integer[:] Boundary_xyz; input Integer[:] Boundary_xy; input Integer[:] Boundary_xz; input Integer[:] Boundary_yz; input Integer[:] Boundary_x; input Integer[:] Boundary_y; input Integer[:] Boundary_z; output Real [size(KgTot_met,1),size(KgTot_met,1)] KgB_met;
algorithm
for a in 1:size(KgTot_met,1) loop for b in 1:size(KgTot_met,1) loop KgB_met[a,b] := KgTot_met [a,b]; end for; end for; if Boundary_xyz[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_xyz,1) loop for b in 0:2 loop KgB_met[3*(Boundary_xyz[a])-b,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_xyz[a]-b,3*Boundary_xyz[a]-b]:=1; end for; end for; end for; end if;
if Boundary_xy[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_xy,1) loop for b in 1:2 loop KgB_met[3*(Boundary_xy[a])-b,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_xy[a]-b,3*Boundary_xy[a]-b]:=1; end for; end for; end for; end if; if Boundary_xz[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_xz,1) loop for b in 0:2:2 loop KgB_met[3*(Boundary_xz[a])-b,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_xz[a]-b,3*Boundary_xz[a]-b]:=1; end for; end for; end for; end if; if Boundary_yz[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_yz,1) loop for b in 0:1 loop KgB_met[3*(Boundary_yz[a])-b,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_yz[a]-b,3*Boundary_yz[a]-b]:=1; end for; end for; end for; end if; if Boundary_x[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_x,1) loop KgB_met[3*(Boundary_x[a])-2,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_x[a]-2,3*Boundary_x[a]-2]:=1; end for; end for; end if; if Boundary_y[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_y,1) loop KgB_met[3*(Boundary_y[a])-1,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_y[a]-1,3*Boundary_y[a]-1]:=1; end for; end for; end if; if Boundary_z[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_z,1) loop KgB_met[3*Boundary_z[a],i]:=0; KgB_met[3*Boundary_z[a],3*Boundary_z[a]]:=1; end for; end for; end if;
end BoundaryStiffnessMatrixGlobal;
6. Melakukan Gaus Jordan
atau yang kita sebut matriks U
function GaussJordan
input Real [:,:] KgB_met; input Real [size(KgB_met,1)] load_met; output Real [size(KgB_met,1)] U_met; protected Real float_error = 10e-10;
algorithm
U_met:=Modelica.Math.Matrices.solve(KgB_met,load_met);
for i in 1:size(KgB_met,1) loop if abs(U_met[i]) <= float_error then U_met[i] := 0; end if; end for;
end GaussJordan;
7. Reaction Force
mencari nilai reksi gaya pada tumpuan
ReactionForce:
function ReactionForce
input Real [:,:] KgTot_met; input Real [size(KgTot_met,1)] U_met; input Real [size(KgTot_met,1)] load_met; output Real [size(KgTot_met,1)] R_met; protected Real float_error = 10e-10;
algorithm
R_met := KgTot_met*U_met-load_met; for t in 1:size(KgTot_met,1) loop if abs(R_met[t]) <= float_error then R_met[t] := 0; end if; end for;
end ReactionForce;