Metnum03-M Sulthan Azizy Hardijanto

بِسْمِ اللّهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيْ

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

BIODATA DIRI

Nama : M Sulthan Azizy Hardijanto

NPM : 1806233392

Fakultas/ Jurusan : Teknik/ Teknik Mesin

Tempat dan Tanggal lahir :Surabaya, 06 Januari 2001

Pertemuan 1: 9 November 2020

Assalamualaikum Wr. Wb, Perkenalkan saya Muhammad Sulthan Azizy Hardijanto dari kelas Metode Numerik 03, Hari ini saya akan menerangkan apa saja yang saya pelajari tentang Metode Numerik sebelum UTS. Metode Numerik adalah teknik penyelesaian permasalahan matematis yang diformulasikan dengan menggunakan operasi aritmatik yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Metode Numerik ini sering digunakan karena ada permasalahan matematis yang tidak dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Dan pada beberapa kasus, Metode Analitik sering kali menggunakan proses penyelesaian yang cukup rumit dan tidak efisien dalam waktu.

Keuntungan dari Metode Numerik dibandingkan dengan Metode lainnya adalah:

1. Menggunakan bantuan komputer sehingga proses penyelesaian dan hasil dapat diperoleh dengan cepat dan lebih akurat dengan nilai sesungguhnya

2. Hasil dari persoalan selalu didapatkan

3. Tampilan hasil perhitungan dapat disimulasikan.

Namun Metode Numerik juga memiliki kelemahan yaitu :

1. Proses penyelesaiaan akan menjadi rumit dan berulang ulang jika tidak menggunakan bantuan komputer.

2. Nilai yang didapatkan dari persoalan adalah nilai pendekatan.

1. Menentukan Akar-Akar

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persoalan matematis. Metode ini merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih sistematis untuk menghitung akar-akar persamaan. Pencarian akar f(x)=0 dilakukan secara iteratif dalam Metode Numerik. Secara umum, semua metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi 2 golongan besar yaitu:

1. Metode Tertutup

Metode yang termasuk ke dalam golongan ini mencari akar di dalam selang [a,b]. Selang [a,b] sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Lelarannya selalu konvergen menuju ke akar, karena itu metode tertutup sering disebut dengan metode konvergen.

Metode yang termasuk dalam golongan ini antara lain :

a. Metode Biseksi atau Metode Setengah Interval ini merupakan Metode dengan bentuk paling sederhana diantara beberapa metode yang akan dipelajari.

b. Metode Regula Falsi atau Metode Interpolasi Linier adalah metode mudah tapi tidak efisien. Untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi yang cukup panjang. Metode Regula Falsi dapat menutup kekurangan itu. Metode Regula Falsi didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan

2. Metode Terbuka

Yang diperlukan pada metode ini, adalah tebakan awal akar, lalu dengan prosedur lelaran, kita menggunakannya untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada setiap lelaran, hampiran akar lama yang dipakai untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin menjauhinya (divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadangkala ia divergen.

Metode yang termasuk dalam golongan ini antara lain :

a. Metode Newton Raphson,Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan.

b. Metode Secant,Kekurangan Metode Newton Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (differensial) dari f(x) dalam hitungan. Kadang-kadang sulit untuk mendiferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.

c. Metode Iterasi,Dalam metode iterasi ini digunakan suatu persamaan untuk memperkirakan nilai akar persamaan. Persamaan tersebut dikembangkan dari fungsi f(x) = 0 sehingga parameter x berada disisi kiri dari persamaan, yaitu :

X= g(x)

Persamaan ini menunjukkan bahwa nilai x merupakan fungsi dari x, sehingga dengan memberi nilai perkiraan awal dari akar dapat dihitung perkiraan baru dengan rumus iteratif berikut :

Xi+1 = g ( xi )

Besar kesalahan dihitung dengan rumus berikut :

∈a = | (Xi+1 – Xi )/(Xi+1 ) | X 100%

2. Regresi Linier

Regresi merupakan alat ukur yg digunakan untuk mengetahui ada tidaknya korelasi antarvariabel. Analisis regresi lebih akurat dlm analisis korelasi karena tingkat perubahan suatu variabel terhdp variabel lainnya dpt ditentukan). Jadi pada regresi, peramalan atau perkiraan nilai variabel terikat pada nilai variabel bebas lebih akurat pula.

Regresi linier adalah regresi yang variabel bebasnya (variabel X) berpangkat paling tinggi satu. Utk regresi sederhana, yaitu regresi linier yg hanya melibatkan dua variabel (variabel X dan Y).

Y = a + bX

Keterangan :

Y = variabel terikat

X = variabel bebas

a = intersep / konstanta

b = koefisien regresi / slop

3. Turunan Numerik

Ini digunakan untuk menentukan nilai turunan fungsi f yang diberikan dalam bentik tabel. Ada 3 pendekatan zalm menghitung Turunan Numerik :

1. Hampiran selisih-maju (forward difference approximation)

2. Hampiran selisih-mundur (backward difference approximation)

3. Hampiran selisih-pusat (central difference approximation)

Pertemuan 2: 16 November 2020

Assalamualaikum Wr Wb,pada pertemuan kedua ini, Pak Dai memaparkan pemahaman masing-masing mengenai OpenModelica. Setelah itu kami diminta untuk membuat sebuah program sederhana untuk menjumlahkan angka dan juga mencari rata-rata. Tetapi karena saya menggunakan MacOS dan OpenModelica tidak dapat digunakan di MacOS, maka saya menggunakan Python.

Berikut Rumus yang saya masukkan menggunakan python :

Dan berikut hasil yang saya dapatkan

Hasil mean yang saya dapatkan sebesar 4,428571428571429

Pertemuan 3 : 23 November 2020

Assalamualaikum Wr.Wb, Pada hari ini saya tidak mengikuti kelas karena ada keperluan mendesak namun saya mencari tahu apa saja yang dibahas ketika kelas.

Dari yang saya cari tahu dari teman teman, kelas hari ini membahas Masalah teknik -> analisis teknik -> model matematis -> model numerik -> komputer -> solusi

Lalu ada penjelasan mengenai bagaimana permodelan aplikasi pegas. Mulai dari masalah tekniknya yaitu merupakan sistem pegas. kemudian pada analisis teknik kita menentukan hal-hal apa saja yang kita ketahui dalam persamaan tersebut. Lalu dengan hukum hooke kita membuat model matematisnya.

Tugas 3

Pada tugas 3 ini kami diminta mengerjakan soal di contoh 2.1 pada buku yang pak Dai berikan. Berikut soal yang diberikan :

Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat mengerjakanannya dengan beberapa langkah penyelesaiaan.

Tahap Pertama yaitu mengubah soal ke bentuk node dan elemen

Lalu dilanjutkan dengan menentukan nilai konstata stiffness constannya dari elemen

Kemudian membuat persamaan elemen ke bentuk matriks untuk kekakuan batang yaitu seperti:

Langkah selanjutnya menggabungkan matriks elemen-elemennya

sehingga dengan menerapkan kondisi batas dan beban dapat memperoleh:

-Kondisi batas untuk node 1 dan 3 adalah fixed

-external force pada node 4 dan 5

Dengan menerapkan hk. Hooke diperoleh:

Kemudian mencari solusi dari persamaan matriks nya menggunakan OpenModelica

Kemudian didapatkan plotting yaitu:

Kemudian kita dapat menentukan gaya reaksi dapat ditemukan dengan persamaan:

dan berikut hasil plottingnya:

Kemudian setelah itu kita dapat menghitung gaya internal dan normal stress

Untuk menghitung normal stress, perlu dilakukan transformasi dari hasil defleksi ditinjau dari koordinat global menjadi transformasi lokal, berikut adalah persamaan yang dapat digunakan

Misalkan kita menganalisis stress pada elemen 5, maka node yang dianalisis adalah node 2 dan 5 Sehingga persamaan matriks defleksi pada koordinat lokal menjadi

dan ini ketika di OpenModelica

dan berikut hasil plottingnya

dimana didapatkan U2x=-0.00976 inchi dan U6x=-0.01209 inchi

Pertemuan 4

Assalamualaikum Wr,Wb Pak Dai membahas tentang perbedaan statis dan dinamis. Lalu Pak Dai membahas tentang tugas 3 yang kumarin dan kemudian Pak Dai memberikan Quiz dan menyuruh kita untuk mengumpulkan Flow Chart terlebih dahulu. Berikut Soal dan Flow Chart yang saya buat :

Pertemuan 5

Assalamualaikum wr.wb. Pada pertemuan ke-5 ini, Pak Dai menanyakan tentang 2 soal minggu lalu yang diberikan oleh Pak Dai. Pak Dai memberi kesempatan untuk mahasiswa yang sudah bisa dan berhasil dalam mengerjakan soal tersebut. Kemudian Fahmi menjelaskan tentang codingan yang sudah dia buat yang bisa diterapkan untuk mengerjakan soal seperti itu. Fahmi menggunakan 1 class dan beberapa function didalam OpenModelica untuk mengerjakan soal tersebut.

Pertemuan 6

Assalamualaikum wr.wb. Pada pertemuan ini Pak Dai meminta mahasiswanya muasabah diri untuk pencapaian dalam memahami materi Metode Numerik ini. Saya sudah agak memahami bagaimana menggunakan openmodelica walaupun belum sepenuhnya. Saya sudah mengerti flow chart dalam mengerjakan persoalan fisika tetapi untuk codingannya saya belum mengerti sepenuhnya.

Pertemuan 7

Assalamualikum Wr, Wb. Kelas pada lari ini diadakan oleh Pak Ahmad Indra

Tugas Besar

Assalamualaikum wr.wb.

Berikut merupakan progres dari tugas besar yang saya kerjakan.

3D Trusses Model

//define initial variable
parameter Integer Points=size(P,1);		//Number of Points
parameter Integer Trusses=size(C,1); 		//Number of Trusses
parameter Real Yield= (nilai yield) ;		//Yield Strength Material(Pa)
parameter Real Area= (nilai area) ;   	//Luas Besi Siku (Dimension=30x30x3mm)
parameter Real Elas= (nilai elastisitas) ;	//Elasticity Material (Pa)
//define connection
parameter Integer C[:,2]=[1,5;  // (Elemen 1)
                       2,6;  // (Elemen 2)
                       3,7;  // (Elemen 3)
                       4,8;  // (Elemen 4)
                       5,6;  // (Elemen 5)
                       6,7;  // (Elemen 6)
                       7,8;  // (Elemen 7)
                       5,8;  // (Elemen 8)
                       5,9;  // (Elemen 9)
                       6,10; // (Elemen 10)
                       7,11; // (Elemen 11)
                       8,12; // (Elemen 12)
                       9,10; // (Elemen 13)
                       10,11;// (Elemen 14)
                       11,12;// (Elemen 15)
                       9,12; // (Elemen 16)
                       9,13; // (Elemen 17)
                       10,14;// (Elemen 18)
                       11,15;// (Elemen 19)
                       12,16;// (Elemen 20)
                       13,14;// (Elemen 21)
                       14,15;// (Elemen 22)
                       15,16;// (Elemen 23)
                       13,16];//(Elemen 24)
//define coordinates (please put orderly)
parameter Real P[:,6]=[   0   ,0  ,0,1,1,1;	//node 1
                        0.75,0  ,0,1,1,1;	//node 2
                        0.75,0.6,0,1,1,1;	//node 3
                        0   ,0.6,0,1,1,1;	//node 4
                        
                        0   ,0  ,0.3,0,0,0;	//node 5
                        0.75,0  ,0.3,0,0,0;	//node 6
                        0.75,0.6,0.3,0,0,0;	//node 7
                        0   ,0.6,0.3,0,0,0;	//node 8
                        
                        0   ,0  ,1.05,0,0,0;	//node 9
                        0.75,0  ,1.05,0,0,0;	//node 10  
                        0.75,0.6,1.05,0,0,0;	//node 11
                        0   ,0.6,1.05,0,0,0;	//node 12
                        
                        0   ,0  ,1.8,0,0,0;	//node 13
                        0.75,0  ,1.8,0,0,0;  //node 14
                        0.75,0.6,1.8,0,0,0;	//node 15
                        0   ,0.6,1.8,0,0,0];	//node 16
                        
//define external force (please put orderly)
parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
                        0,0,0, 
                        0,0,0, 
                        0,0,0, 
                        0,0,0, 
                        0,0,0, 
                        0,0,0, 
                        0,0,0, 
                        0,0,0, 
                        0,0,0, 
                        0,0,0, 
                        0,0,0, 
                        0,0,-1000, 
                        0,0,-500, 
                        0,0,-500, 
                        0,0,-1000}; 
//solution
Real displacement[N], reaction[N];
Real check[3];
Real stress1[Trusses];
Real safety[Trusses];
Real dis[3];
Real Str[3];
protected
parameter Integer N=3*Points;
Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3];
Real err=10e-15, ers=10e-8;
algorithm
//Creating Global Matrix
  G:=id;
   for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
q1[j]:=P[C[i,1],j];
q2[j]:=P[C[i,2],j];
             end for;       
//Solving Matrix
L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                  cy*cx,cy^2,cy*cz;
                  cz*cx,cz*cy,cz^2];
 //Transforming to global matrix
g:=zeros(N,N); 
for m,n in 1:3 loop
  g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
  g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
  g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
  g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
end for;   
G_star:=G+g;
G:=G_star;
end for;
//Implementing boundary
for x in 1:Points loop
if P[x,4] <> 0 then
for a in 1:Points*3 loop
  G[(x*3)-2,a]:=0;
  G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
end for;
end if;
if P[x,5] <> 0 then
for a in 1:Points*3 loop
  G[(x*3)-1,a]:=0;
  G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
end for;
end if;
if P[x,6] <> 0 then
for a in 1:Points*3 loop
  G[x*3,a]:=0;
  G[x*3,x*3]:=1;
end for;
end if;
end for;
//Solving displacement
  displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);
//Solving reaction
  reaction:=(G_star*displacement)-F;
//Eliminating float error
for i in 1:N loop
reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
end for;
//Checking Force
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))});
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))});
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)});  
  for i in 1:3 loop
    check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
  end for;
//Calculating stress in each truss
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
q1[j]:=P[C[i,1],j];
q2[j]:=P[C[i,2],j];
dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
end for;       
//Solving Matrix
L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
             cy*cx,cy^2,cy*cz;
             cz*cx,cz*cy,cz^2];    
Str:=(X*dis);
stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
end for;
//Safety factor
for i in 1:Trusses loop
if stress1[i]>0 then
 safety[i]:=Yield/stress1[i];
else
 safety[i]:=0;
end if; 
end for;
end Trusses_3D_Tugas_Besar;

Komputasi

function Curve_Fitting
input Real X[:];
input Real Y[size(X,1)];
input Integer order=2;
output Real Coe[order+1];
protected
Real Z[size(X,1),order+1];
Real ZTr[order+1,size(X,1)];
Real A[order+1,order+1];
Real B[order+1];
algorithm
for i in 1:size(X,1) loop
 for j in 1:(order+1) loop
 Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j);
 end for;
end for;
ZTr:=transpose(Z);
A:=ZTr*Z;
B:=ZTr*Y;
Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B);
//Coe:=fill(2,size(Coe,1));
end Curve_Fitting;
/*
for i in 1:3 loop
for j in 1:Points loop
 R[j]:=reaction[3*(j-1)+i];
end for;
Sur[i]:=sum(R);
end for;
*/