Metnum03 Edward Joshua Patrianus Mendrofa

Pertemuan Metode Numerik 03

Pertemuan 1

Metode Numerik adalah salah satu mata kuliah yang sangat banyak penerapannya dalam dunia keteknikan. Mata kuliah ini salah satu mata kuliah yang cukup menarik karena penerapannya sangat luas dan bermanfaat. Sejauh ini yang telah saya pelajari sebelum UTS mencakup 3 materi besar yaitu mencari akar-akar, regresi linier, dan turunan numerik.

1. Mencari Akar-Akar

Pada materi ini, saya mempelajari metode-metode untuk mencari akar secara numerik. Beberapa metode yang saya pelajari adalah metode pencarian akar menggunakan Closed methods (Bracketing Method) dan Open Methods.

Metode Closed Methods merupakan metode pencarian akar-akar dengan menggunakan batas atas dan batas bawah untuk mencari akar dan mengukur persentasi error yang didapat untuk mendapat tingkat akurasi dari iterasi. Metode yang saya pelajari ada 3 yaitu Graphical Methods, Bisection Methods, dan False-Position Methods.

- Graphical Methods

Sebuah metode sederhana yang menggunakan grafik untuk memperkirakan akar-akar suatu fungsi. Metode ini dilakukan dengan melakukan plotting dari suatu fungsi ke dalam bentuk grafik.

- Bisection Methods

Metode ini merupakan salah satu jenis metode incremental search method yang menggunakan batas atas dan batas bawah untuk mempersempit area pencarian akar-akar.

- False-Position Methods

Metode ini sangat mirip dengan metode Bisection. Hal yang membedakan metode False-Position dengan Bisection adalah penentuan titik tengah dari batas-batas yang ditentukan. Penentuan titik tengah dari False-Position Method menggunakan persamaan berikut.

Metode Open Methods merupakan metode pencarian yang hanya menggunakan 1 titik untuk menemukan akar-akar. Metode ini dapat menggunakan turunan suatu fungsi untuk menentukan titik pengujian baru yang semakin dekat dengan nilai akar-akar yang diinginakn. Metode yang saya pelajari ada 3 yaitu Fixed-Point Iteration, Newton-Rapshon, dan Secant Method

- Fixed-Point Iteration

Metode ini disebut juga metode iterasi sederhana, adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh: x=g(x)

- Newton-Raphson

Metode ini menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Slop atau gradien didapatkan dengan melakukan turunan dari fungsi tersebut. Persamaan untuk Newton-Raphson adalah sebagai berikut:

- Secant Method

Metode ini merupakan metode modifikasi Newton-Raphson dimana metode Newton-Raphson tidak digunakan (karena f'(x) sulit ditemukan atau tidak mungkin ditemukan). Persaman untuk metode Secant adalah sebagai berikut

2. Regresi Linier

regresi linear adalah sebuah pendekatan untuk memodelkan hubungan antara variable terikat Y dan satu atau lebih variable bebas yang disebut X. Salah satu kegunaan dari regresi linear adalah untuk melakukan prediksi berdasarkan data-data yang telah dimiliki sebelumnya. Hubungan di antara variable-variabel tersebut disebut sebagai model regresi linear.

Persamaan umum Regresi Linier adalah sebagai berikut:

dimana:

3. Turunan Numerik

Turunan Numerik adalah menentukan hampiran nilai turunan fungsi f yang diberikan dalam bentuk tabel. Terdapat 3 pendekatan dalam menghitung turunan numerik:

OpenModelica

Untuk mempelajari OpenModelica, saya menggunakan referensi/tutorial dari YouTube dengan tautan berikut:

https://www.youtube.com/watch?v=SW5Eclf1tRs

https://www.youtube.com/watch?v=m0Ahs8fEN28&t=519s&ab_channel=NSTUFACE

Dari video-video tersebut saya diperkenalkan mengenai interface OpenModelica untuk pemula. Saya juga mempelajari bahwa OpenModelica menggunakan bahasa program Modelica untuk penggunaannya. Bahasa ini mirip dengan bahasa pemograman lain seperti python. Kelebihan yang saya lihat dari OpenModelica ini adalah program ini memiliki tools yang membantu mempermudah kita untuk membuat sistem dalam bentuk grafis atau skema. Model-model ini dapat kita aplikasikan dalam kehidupan nyata seperti membuat sistem elektrikal, magnetik, fluida, perpindahan panas, dsb.

Dalam konteks Metode Numerik, saya mempelajari bahwa OpenModelica dapat membantu kita dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam mata kuliah Metode Numerik dan memvisualisasikan penyelesaian tersebut dalam bentuk grafik, salah satunya adalah penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa atau ODE.

Contoh penyelesaian permasalahan ODE menggunakan OpenModelica adalah persamaan pendulum, yang didefinisikan sebagai berikut:

Dengan menggunakan referensi dari tautan kedua, saya membuat bahasa pemograman untuk menyelesaikan persamaan pendulum tersebut.

model pendulum

Real y "variable state";

Real x;

parameter Real L=1 "pendulum length";

constant Real g=9.80665;

initial equation

y=9 "initial value";

equation

x=der(y);

der(x)+(g/L)*(y)=0 "differential equation";

annotation(experiment(StartTime = 0, StopTime = 100));

end pendulum;

Penyelesaian dari persamaan tersebut digambarkan dalam bentuk grafik sebagai berikut

Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa seiring berjalannya waktu, pendulum melakukan osilasi. Namun dapat dilihat bahwa pendulum tersebut tidak kembali ketitik semula seiring berjalannya waktu.

Dari pembelajaran ini, saya mempelajari bahwa OpenModelica merupakan tools yang berguna dalam pelajaran Metode Numerik.

Pertemuan 2

Pada pertemuan kedua ini, pak Dai mengevaluasi hasil belajar kami tentang yang sudah kami pelajari tentang Metode Numerik sebelum UTS, serta mempelajari penggunaan aplikasi OpenModelica. Kemudian kami diminta untuk membuat coding sederhana terkait nilai rata-rata 10 sample.

Setelah sesi belajar tatap muka berakhir, kami diberikan tugas oleh pak Dai untuk membuat model untuk menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar simultan (seperti Gauss Elimination, Gauss-Seidel, dll.).

Untuk PR, saya menggunakan 3 persamaan aljabar sebagai berikut:

Persamaan aljabar simultan tersebut dapat diselesaikan dengan metode konvensional seperti Naive Gauss Elimination, atau menggunakan metode lain sepertiGauss Elimination yang melibatkan matriks , atau Gauss Seidel. Pada kali ini, saya menggunakan metode Gauss Elimination untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Gauss Elimination adalah algoritme yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini melibatkan perubahan bentuk sistem persamaan menjadi bentuk matriks. Setelah mengubah sistem dalam bentuk matriks, lalu dilakukan pengurangan baris dengan mengganti posisi baris, dan/atau melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan antar baris.

Modelica menyediakan model untuk menyelesaikan permasalahan aljabar simultan dengan menggunakan metode Gauss Elimination. Maka dari itu, saya mengubah sistem persamaan tersebut menjadi bentuk matriks. Berikut adalah model yang saya buat dengan OpenModelica:

Saya menggunakan perintah dari library modelica yaitu "Modelica.Math.Matrices.solve(A,b)" untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut.

Setelah melakukan pengecekan dan melakukan simulasi terhadap model, saya melakukan plotting terhadap hasil simulasi tersebut. Berikut adalah hasil plotting tersebut:

dapat dilihat bahwa hasil plotting tersebut menunjukkan penyelesaian dari permasalaha sistem persamaan yang telah ditunjukkan sebelumnya, yaitu x1=3, x2=2, x3=1.

Pertemuan 3

Pada pertemuan hari ini, Pak Dai menjelaskan mengenai aplikasi metode numerik pada permasalahan teknik. Salah satu permasalahan teknik yang dibahas adalah permasalahan sistem pegas-massa. Lalu pak Dai meminta kami untuk memahami permasalahan pada Figure 12.11 pada e-book Metode Numerik. Dengan mengubah sistem menjadi bentuk matrix, kita mendapatkan bentuk matrix dari sistem tersebut sebagai berikut:

persamaan matrix tersebut dapat diselesaikan dengan metode eliminasi gauss. Lalu saya membuat coding di OpenModelica sebagai berikut:

setelah melakukan melakukan pengecekan dan tidak ada masalah, saya melakukan simulasi untuk menemukan nilai x1,x2, dan x3 dari persamaan matriks tersebut. Setelah melakukan simulasi, saya melakukan plotting untuk melihat hasil yang ditemukan

dapat dilihat bahwa nilai x1 = 7.3575; x2 = 10.0552; x3 = 12.5077, sesuai dengan hasil yang ada di buku Metode Numerik.

Setelah pertemuan ini, pak Dai memberikan PR untuk mengerjakan soal berikut:

Penyelesaian;

1. Mengubah problem menjadi node dan elemen

2. Menentukan nilai Konstanta kekakuan/stiffness constant dari elemen

- Elemen 1,3,4,6

- Elemen 2,5

3. Membuat persamaan untuk elemen Persamaan matriks untuk kekakuan batang adalah:

Analisis Elemen 1,3,6

Analisis Elemen 4

Analisis Elemen 2,5

4. Menyusun dan menggabungkan matriks elemen-elemen

Menerapkan kondisi batas dan beban

Diketahui:

- Kondisi batas untuk node 1 dan 3 adalah fixed

- External force pada node 4 dan 5

Dengan menerapkan Hukum Hooke, F= k. x, maka dalam persamaan matrix menjadi [F]=[K].[U]. Didapat:

6. Tahap pencarian solusi

Persamaan matriks diatas dapat diselesaikan dengan OpenModelica, berikut adalah pemograman yang saya buat

setelah melakukan pengecekan dan simulasi, saya melakukan plotting terhadap hasil simulasi. berikut hasilnya:

Mendapatkan nilai gaya reaksi

Karena di soal ingin mencari gaya reaksi, maka perlu dilakukan perhitungan pada gaya reaksi dengan persamaan

{R} = [K] {U} - {F}

Persamaan diatas dapat diselesaikan oleh OpenModelica, berikut adalah pemogramannya

berikut hasil plottingnya

8. Mendapatkan gaya Internal dan Normal Stress

Untuk menghitung normal stress, perlu dilakukan transformasi dari hasil defleksi ditinjau dari koordinat global menjadi transformasi lokal, berikut adalah persamaan yang dapat digunakan

dimana:

{u} -> koordinat local

[U] -> koordinat global

[T] -> matriks transformasi

Misalkan kita menganalisis stress pada elemen 5, maka node yang dianalisis adalah node 2 dan 5 Sehingga persamaan matriks defleksi pada koordinat lokal menjadi

Persamaan diatas dapat diselesaikan dengan OpenModelica, berikut adalah pemogramannya

berikut hasil plottingnya

Didapatkan U2x=-0.00976 inch dan U6x=-0.01209 inch

Internal force didapat dengan persamaan

sehingga didapat internal force pada elemen 5 sebesar 696lb.

Normal stress didapat dengan persamaan

sehingga didapat normal stress pada elemen 5 sebesar 87lb/in^2

Pertemuan 4

Kuis:

Membuat Flowchart untuk penyelesaian soal nomor 4 dan 8

Soal No.4

Soal No.8

Tugas

Setelah kuis, pak Dai meminta kami untuk membuat coding dari penyelesaian soal kuis diatas. Namun karena saya masih belum begitu paham dengan metode looping, maka saya akan menggunakan metode manual untuk menemukan persamaan akhir yang akan diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss.

1. Mendefinisikan elemen dan node

2. Mengasumsikan Solusi yang mendekati elemen

 F = k . x [Hukum Hooke]

  [Internal Force]

  [Normal Stress]

nilai kekakuan dari tiap elemen

- elemen 1,2

- elemen 3

- elemen 4,5

3. Membuat matrix pada tiap elemen

- elemen 1,2

Matrix Lokal

Matrix Global

- elemen 3

Matrix Lokal

Matrix Global

- elemen 4,5

Matrix Lokal

Matrix Global

4. Menjumlahkan Matrix Global

5. Menerapkan Kondisi Batas dan Gaya Eksternal

- Kondisi Batas

 U1X=0 ; U1Y=0 ; U3X=0 ; U3Y=0

- Gaya Eksternal

Dengan menerapkan Hukum Hooke, maka persamaan penyelsaiannya adalah

Karena node 1 dan node 3 fix, maka baris dan kolom 1,2,5,6 dihilangkan untuk menyederhanakan matrix

Lalu persamaan diatas saya selesaikan dengan menggunakan OpenModelica dan menggunakan solve(A,b) yang terdapat di dalam modelica,

sehingga didapat nilai defleksi sebesar

 U2X=4.5 x 10^-7 ; U2Y=-1.493 x 10^-7 ; U4X=4.5 x 10^-7 ; U4Y=-1.493 x 10^-7