Metnum03-Muhammad Bagir Alaydrus

Assalamualiakum Wr. Wb. Berikut adalah Page saya untuk kelas Metnum 03

BIODATA

alt text

Nama : Muhammad Bagir Alaydrus

NPM : 1806233373

TTL : Jakarta, 8 Oktober 2000

Jurusan : Teknik Mesin

Pertemuan 1

Assalamualaikum Wr. Wb, Metode numerik merupakan teknik penyelesaian permsalahn yang diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi hitungan (aritmatik) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Metode ini digunakan karena banyak permasalahan matematis tidak dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Jikapun terdapat penyelesaiannya secara analitik, proses penyelesaiaannya sering kali cukup rumit dan memakan banyak waktu sehingga tidak efisien.

Terdapat keuntungan dan kerugian terkait penggunaan metode numerik. Keuntungan dari metode ini antara lain:

. Solusi persoalan selalu dapat diperoleh.

. Dengan bantuan komputer, perhitungan dapat dilakukan dengan cepat serta hasil yang diperoleh dapat dibuat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya.

. Tampilan hasil perhitungan dapat disimulasikan.

Adapun kelemahan metode ini antara lain:

. Nilai yang diperoleh berupa pendekatan atau hampiran.

. Tanpa bantuan komputer, proses perhitungan akan berlangsung lama dan berulang-ulang.

Menentukan Akar-Akar

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan. Metode ini merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih sistematis untuk menghitung akar-akar persamaan. Dalam metode numerik, pencarian akar f(x)=0 dilakukan secara lelaran (iteratif). Secara umum, semua metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi 2 golongan besar :

• Metode Tertutup

Metode yang termasuk ke dalam golongan ini mencari akar di dalam selang [a,b]. Selang [a,b] sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Dengan kata lain, lelarannya selalu konvergen (menuju) ke akar, karena itu metode tertutup kadang-kadang dinamakan juga metode konvergen.

Metode yang termasuk dalam golongan ini antara lain :

a. Metode Biseksi atau Metode Setengah Interval ini merupakan Metode dengan bentuk paling sederhana diantara beberapa metode yang akan dipelajari.

b. Metode Regula Falsi atau Metode Interpolasi Linier adalah metode mudah tapi tidak efisien. Untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi yang cukup panjang. Metode Regula Falsi dapat menutup kekurangan itu. Metode Regula Falsi didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan

• Metode Terbuka

Yang diperlukan pada metode ini, adalah tebakan awal akar, lalu dengan prosedur lelaran, kita menggunakannya untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada setiap lelaran, hampiran akar lama yang dipakai untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin menjauhinya (divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadangkala ia divergen.

Metode yang termasuk dalam golongan ini antara lain :

a. Metode Newton Raphson,Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan.Metode ini menggunakan metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.

b. Metode Secant,Kekurangan Metode Newton Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (differensial) dari f(x) dalam hitungan. Kadang-kadang sulit untuk mendiferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.

c. Metode Iterasi,Dalam metode iterasi ini digunakan suatu persamaan untuk memperkirakan nilai akar persamaan. Persamaan tersebut dikembangkan dari fungsi f(x) = 0 sehingga parameter x berada disisi kiri dari persamaan, yaitu :

X= g(x)

Persamaan ini menunjukkan bahwa nilai x merupakan fungsi dari x, sehingga dengan memberi nilai perkiraan awal dari akar dapat dihitung perkiraan baru dengan rumus iteratif berikut :

Xi+1 = g ( xi )

Besar kesalahan dihitung dengan rumus berikut :

∈a = | (Xi+1 – Xi )/(Xi+1 ) | X 100%

Regresi Linier

Regresi merupakan alat ukur yg digunakan untuk mengetahui ada tidaknya korelasi antarvariabel. Analisis regresi lebih akurat dlm analisis korelasi karena tingkat perubahan suatu variabel terhdp variabel lainnya dpt ditentukan). Jadi pada regresi, peramalan atau perkiraan nilai variabel terikat pada nilai variabel bebas lebih akurat pula.

Regresi linier adalah regresi yang variabel bebasnya (variabel X) berpangkat paling tinggi satu. Utk regresi sederhana, yaitu regresi linier yg hanya melibatkan dua variabel (variabel X dan Y).

Y = a + bX

Keterangan :

Y = variabel terikat

X = variabel bebas

a = intersep / konstanta

b = koefisien regresi / slop

Persamaan regresi linear di atas dpt pula dituliskan dlm bentuk :

Turunan Numerik

Ini digunakan untuk menentukan nilai turunan fungsi f yang diberikan dalam bentik tabel. Ada 3 pendekatan zalm menghitung Turunan Numerik :

1. Hampiran selisih-maju (forward difference approximation)

2. Hampiran selisih-mundur (backward difference approximation)

3. Hampiran selisih-pusat (central difference approximation)

Video contoh openmodelica

Sebelumnya saya memohon maaf atas keterlambatan membuat video dikarenakan kesalahan saya, pada contoh pengaplikasian modelica ini saya mengambil referensi dari youtube

link: https://www.youtube.com/watch?v=Dw66ODbMS2A

Mengenai Feedback PID control system dimana video penjelasan saya lampirkan dibawah

link: https://youtu.be/x5l8KyqMPqQ

Pertemuan 2

Pada pertemuan 2 kali ini saya tidak masuk kelas dikarenakan ada suatu keperluan diluar,namun saya tetap mencoba untuk melakukan simulasi di modelica seperti yang disuruh oleh Pak Dai, saya mencoba melakukan persamaan sederhana yaitu menjumlahkan 10 dengan suatu variabel x yang saya beri nilai 8, langkah pertama yaitu kita menulis nama class kemudian kita menulis parameter, karena kita hanya mencoba persamaan sederhana sehingga parameter yang saya tulis yaitu "x=8" dan parameter lain yaitu "y", kemudian setelah itu saya menuliskan equation nya yaitu y= x + 10

kemudian setelah itu kita dapatkan hasil dari simulasi di bagian plotting dengan variabel x dan y yang kita dapat plot ke diagram, sehingga ini memudahkan kita dalam melihat hasilnya jika kita menggunakan persamaan yang lebih sulit

Kemudian teman-teman juga melakukan persamaan sederhan dengan mencari mean.

dan di akhir pak Dai juga memberikan PR untuk melakukan Buat class dengan type function untuk menyelesaikan persamaa2n aljabar simultan (metoda gauss elim, gauss seidel ataupun metoda lain) ... Dan sebuah class untuk menjalankan fungsi tersebut.

Pr 2

Pada Pr kali inii saya mencoba openmodelica dengan mensimulasikan persamaan aljabar simultan, saya mengambil contoh dengan mensimulasikan persamaan aljabar 4 Variabel dengan 4 persamaan. aljabar simultan adalah metode penyelesaian persoalan matematik yang melibatkan kekompleksan yang sangat rumit sehingga memerlukan cara penyelesaian yang membuatnya simple dengan menggunakan tools yang ada, seperti komputer dengan program visual basic, matlab atau lainnya.

beberapa metode yang terdapat pada aljabar simultan ialah :

1. metode Eliminasi Gauss

2. metode Cramer

3. Gauss seidel

4. Gauss – jordan

Yang mana saya mencoba salah satu metode diatas yaitu dengan menggunakan eliminasi Gauss di OpenModelica.Saya mengambil refernsi dari https://build.openmodelica.org/Documentation/Modelica.Math.Matrices.solve.html

Adapun persamaan yang saya buat adalah:

                                             x1+ 5x2 + 10x3 +15x4    = 20
                                             5x1+ 10x2 + 15x3 + 20x4 = 25
                                             3x1+ 6x2+ 9x3+ 12x4     = 15
                                             2x1+ 4x2 + 6x3 + 8x4    = 10

Kemudian setelah saya tulis di OpenModelica menjadi:

Dan setelah itu saya mensimulasikannya dan didaptkan plot seperti:

Dimana didapatkan hasil yaitu

                             x1 = -7e-16
                             x2 = -2
                             x3 = 3
                             x4 = 0

Pertemuan 3

Pak Dai menjelaskan alur pemecahan masalah teknik menggunakan metode numerik.

Yaitu yang pertama yaitu masalah teknik - kemudian analasis masalah - model matematis - model numerik - komputer - kemudian mendapatkan Solusi. Dimana dibahas kali ini permasalahan tekniknya berupa sistem pegas massa yang ada di chapter 12.4. dimana persamaanya dapat dilihat dibuku dan berikut ketika saya memasukan ke OpenModelica.

Setelah itu saya melakukan simulasi dan didapatkann x yang sama seperti dibuku yaitu x1 = 7,36 , x2 = 10,06 , x3 = 12,51

Tugas 3

Pada tugas 3 ini kami diminta mengerjakan soal di contoh 2.1 pada buku yang pak Dai berikan. adapun soalnya yaitu

Kemudian untuk menyelesaikan soal ini kita dapat mengerjakanannya dengan beberapa langakh penyelesaiaan.

Yang Pertama yaitu mengubah soal ke bentuk node dan elemen

Kemudian menentukan nilai konstata stiffness constannya dari elemen

Kemudian membuat persamaan elemen ke bentuk matriks untuk kekakuan batang yaitu seperti:

Kemudian menggabungkan matriks elemen-elemennya

sehingga dengan menerapkan kondisi batas dan beban dapat diketahui:

-Kondisi batas untuk node 1 dann 3 adalah fixed

-external force pada node 4 dan 5

Dengan menerapkan hk. Hooke didapatkan:

Kemudian untuk mencari solusi dari persamaan matriks nya kita menggunakan OpenModelica

Kemudian didapatkan plotting yaitu:

Kemudian kita dapat menentukan gaya reaksi dapat ditemukan dengan persamaan:

berikut ketika di OpenModelica:

dan ini hasil plottingnya:

Kemudian setelah itu kita dapat menghitung gaya internal dan normal stress

Untuk menghitung normal stress, perlu dilakukan transformasi dari hasil defleksi ditinjau dari koordinat global menjadi transformasi lokal, berikut adalah persamaan yang dapat digunakan

Misalkan kita menganalisis stress pada elemen 5, maka node yang dianalisis adalah node 2 dan 5 Sehingga persamaan matriks defleksi pada koordinat lokal menjadi

dan ini kertika di OpenModelica

dan berikut hasil plottingnya

dimana didapatkan U2x=-0.00976 inchi dan U6x=-0.01209 inchi

sehingga didapat internal force pada elemen 5 sebesar 696lb.

sehingga didapat normal stress pada elemen 5 sebesar 87lb/in^2