Metnum03-Laksita Aji Safitri

LAKSITA AJI SAFITRI.S1 Teknik Mesin-Ekstensi 2019.Universitas Indonesia

ASSALAMU'ALAIKUM WR.WB

BIODATA DIRI

Nama  : LAKSITA AJI SAFITRI

NPM  : 1906435523

Agama  : Islam

Program studi  : S1-Teknik Mesin

Pertemuan 1 Metode Numerik 03 (Senin,9 November 2020)

Untuk pembelajaran sebelum pasca UTS kita telah mengenal beberapa metode dalam numerik, yaitu

1. Deret Taylor dan Derer Mclaurin

  merupakan representasi dari fungsi matematika sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut disuatu titik.deret ini 
  dapat dianggap sebagai limit polinomial taylor.bila deret tersebut terpusat pada titik 0 atau a=0, maka deret tersebut dapat diartikan sebagai deret mclaurin atau 
  deret taylor baku. nilai Rn(x) merupakan tangkisan errror yang mana jika kita menentukan turunan hingga turunan ke 4, maka turunan ke 5 dan seterusnya merupakan error

deret tailor dan deret mclaurin ini sagat bermanfaat dalam metode numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai -nilai fungsi yang susah dihitungsecara manual seperti nilai sinx,cosx,ln(x+1) dll

2. Open Methode

    a. Newton-Raphson Method

       Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih 
       mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih 
       dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.
       Prosedur Metode Newton :

File:M3.jpg

       menentukan x_0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang menyinggung titik f(x_0). Hal ini berakibat garis l memotong sumbu-x di titik 
       x_1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x_1 dianggap sebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x_2, 
       x_3, ..... x_n dengan x_n yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.
       Perhatikan gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson:

    b.Secant Method

      Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f'(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua 
      fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih 
      dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x_0, f(x_0)) dan (x_1, f(x_1)). Perhatikan gambar 
      dibawah ini.

File:M5.jpg

      Prosedur Metode Secant :

      Ambil dua titik awal, misal x_0 dan x_1. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x_2 menggunakan 
      rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x_1 dan x_2 sebagai titik awal dan hitung x_3. Kemudian ambil x_2 dan x_3 sebagai titik awal dan hitung x_4. 
      Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

    c.Simple fixed point

      Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x) secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f(x) yang 
      ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x) bila g(x) = x dan f(x) = 0.

      Prosedur Metode Titik Tetap

      Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = 
      g(x). Kemudian tentukan nilai titik awal, misal x1. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan g(x) sedemikian sehingga g(x1) = x2, setelah itu titik 
      x2 yang diperoleh substitusikan lagi ke g(x) sedemikian sehingga g(x2) = x3. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi

      x1 (penetuan titik awal)

      x2 = g(x1) (iterasi pertama)

      x3 = g(x2) (iterasi kedua)

      ........

      xn = g(xn-1) (iterasi ke-n)

      Seperti rumus iterasi lain, maka kesalahan aproksimasinya:

      Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup kecil (|xn – xn-1| < ἐ).

3. Bracketing method

    a.bisection method

      Metode Bagi-Dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval tersebut membagi dua bagian, lalu memilih dari dua bagian ini dipilih bagian mana 
      yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. 
      Metode ini berlaku ketika ingin memecahkan persamaan f(x)=0 dengan f(x) merupakan fungsi kontinyu.

Prosedur Metode Bagi-Dua :

Misal dijamin bahwa f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval [a, b] dan f(a)f(b) < 0. Ini artinya bahwa f(x) paling tidak harus memiliki akar pada interval [a, b]. Kemudian definisikan titik tengah pada interval [a, b] yaitu c = {a+b}/{2}. Dari sini kita memperoleh dua subinterval yaitu [a, c] dan [c, b]. Setelah itu, cek apakah f(a)f(c) < 0 atau f(b)f(c) < 0 ? Jika f(a)f(c) < 0 maka b = c (artinya titik b digantikan oleh titik c yang berfungsi sebagai titik b pada iterasi berikutnya), jika tidak maka a = c. Dari iterasi pertama kita memperoleh interval [a, b] yang baru dan titik tengah c yang baru. Kemudian lakukan pengecekan lagi seperti sebelumnya sampai memperoleh error yang cukup kecil.

    b.false position method

      alternatif perbaikan dari metode interval bagi-dua (bisection method) yang kurang efisien.Kekurangan metode bagi-dua adalah dalam membagi selang mulai dari xlower 
      sampai xupper menjadi bagian yang sama; besaran f(xl) dan f(xu) tidak diperhitungkan, misalnya f(xl) apakah lebih dekat ke nol atau ke f(xu).

Untuk aplikasi pada matakuliah metode numerik, kita menggunakan aplikasi OpenModelica. yang mana aplikasi ini merupakan perangkat lunak permodelan dan simuasi open source yang ditujukan untuk penggunaan industri dan akademik.Pengembangan jangka panjangnya didukung oleh organisasi nirlaba-Open Source Modelica Consotium (OSMC).

Tujuan dengan upaya OpenModelica adalah untuk menciptakan lingkungan permodelan,kompilasi dan simulasi open source modelica yang komprehensif berdasarkan perangkat lunak bebas yang didistribusikan dalam bentuk kode sumber dan biner untuk penelitian, pengajaran dan penggunaan insudtri.

Website: http://openmodelica.org/ youtube: https://www.youtube.com/watch?v=jCt1Vy0FRp4