Metnum03-Muhammad Bagus Pratama

بِسْمِ اللّهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيْ

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

BIODATA DIRI

Nama : Muhammad Bagus Pratama

NPM : 1806181792

Fakultas/ Jurusan : Teknik/ Teknik Mesin

Tempat dan Tanggal lahir :Sukabumi, 23 Augustus 2000

Pertemuan 1: 9 November 2020

Assalamualaikum Wr. Wb, Perkenalkan nama saya Muhammad Bagus Pratama dari kelas Metode Numerik 03,kali ini daya akan menjelaskan apa yang sudah saya pelajari tentang Metode Numerik. Metode numerik merupakan teknik penyelesaian permsalahn yang diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi hitungan (aritmatik) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Metode ini digunakan karena banyak permasalahan matematis tidak dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Jikapun terdapat penyelesaiannya secara analitik, proses penyelesaiaannya sering kali cukup rumit dan memakan banyak waktu sehingga tidak efisien.

Terdapat keuntungan dan kerugian terkait penggunaan metode numerik. Keuntungan dari metode ini antara lain:

1. Solusi persoalan selalu dapat diperoleh.

2. Dengan bantuan komputer, perhitungan dapat dilakukan dengan cepat serta hasil yang diperoleh dapat dibuat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya.

3. Tampilan hasil perhitungan dapat disimulasikan.

Adapun kelemahan metode ini antara lain:

1. Nilai yang diperoleh berupa pendekatan atau hampiran.

2. Tanpa bantuan komputer, proses perhitungan akan berlangsung lama dan berulang-ulang.

1. Menentukan Akar-Akar

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan. Metode ini merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih sistematis untuk menghitung akar-akar persamaan. Dalam metode numerik, pencarian akar f(x)=0 dilakukan secara lelaran (iteratif). Secara umum, semua metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi 2 golongan besar :

• Metode Tertutup

Metode yang termasuk ke dalam golongan ini mencari akar di dalam selang [a,b]. Selang [a,b] sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Dengan kata lain, lelarannya selalu konvergen (menuju) ke akar, karena itu metode tertutup kadang-kadang dinamakan juga metode konvergen.

Metode yang termasuk dalam golongan ini antara lain :

a. Metode Biseksi atau Metode Setengah Interval ini merupakan Metode dengan bentuk paling sederhana diantara beberapa metode yang akan dipelajari.

b. Metode Regula Falsi atau Metode Interpolasi Linier adalah metode mudah tapi tidak efisien. Untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi yang cukup panjang. Metode Regula Falsi dapat menutup kekurangan itu. Metode Regula Falsi didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan

• Metode Terbuka

Yang diperlukan pada metode ini, adalah tebakan awal akar, lalu dengan prosedur lelaran, kita menggunakannya untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada setiap lelaran, hampiran akar lama yang dipakai untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin menjauhinya (divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadangkala ia divergen.

Metode yang termasuk dalam golongan ini antara lain :

a. Metode Newton Raphson,Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan.

b. Metode Secant,Kekurangan Metode Newton Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (differensial) dari f(x) dalam hitungan. Kadang-kadang sulit untuk mendiferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.

c. Metode Iterasi,Dalam metode iterasi ini digunakan suatu persamaan untuk memperkirakan nilai akar persamaan. Persamaan tersebut dikembangkan dari fungsi f(x) = 0 sehingga parameter x berada disisi kiri dari persamaan, yaitu :

X= g(x)

Persamaan ini menunjukkan bahwa nilai x merupakan fungsi dari x, sehingga dengan memberi nilai perkiraan awal dari akar dapat dihitung perkiraan baru dengan rumus iteratif berikut :

Xi+1 = g ( xi )

Besar kesalahan dihitung dengan rumus berikut :

∈a = | (Xi+1 – Xi )/(Xi+1 ) | X 100%

2. Regresi Linier

Regresi merupakan alat ukur yg digunakan untuk mengetahui ada tidaknya korelasi antarvariabel. Analisis regresi lebih akurat dlm analisis korelasi karena tingkat perubahan suatu variabel terhdp variabel lainnya dpt ditentukan). Jadi pada regresi, peramalan atau perkiraan nilai variabel terikat pada nilai variabel bebas lebih akurat pula.

Regresi linier adalah regresi yang variabel bebasnya (variabel X) berpangkat paling tinggi satu. Utk regresi sederhana, yaitu regresi linier yg hanya melibatkan dua variabel (variabel X dan Y).

Y = a + bX

Keterangan :

Y = variabel terikat

X = variabel bebas

a = intersep / konstanta

b = koefisien regresi / slop

Persamaan regresi linear di atas dpt pula dituliskan dlm bentuk :

3. Turunan Numerik

Ini digunakan untuk menentukan nilai turunan fungsi f yang diberikan dalam bentik tabel. Ada 3 pendekatan zalm menghitung Turunan Numerik :

1. Hampiran selisih-maju (forward difference approximation)

2. Hampiran selisih-mundur (backward difference approximation)

3. Hampiran selisih-pusat (central difference approximation)

Pertemuan 2: 16 November 2020

Assalamualaikum Wr Wb,pada pertemuan kedua ini, Pak Dai emulai kelas dengan pemaparan pemahaman masing-masing mengenai OpenModelica. Setelah itu kami diminta untuk membuat sebuah program sederhana untuk menjumlahkan angka dan juga mencari rata-rata.

Berikut merupakan algoritma yang saya buat untuk penjumlahan angka

Setelah itu dapat dilihat grafik input dan hasil sebagai berikut, dengan nilai input x=6 didapatkan hasil y=16. Kita juga dapat melakukan simulasi kembali apabila ingin merubah nilai x.

Tugas 2 : Memecahkan suatu Persamaan Aljabar Simultan

Assalamualaikum Wr,Wb, Dalam menyelesaikan tugas kedua ini saya menggunakan 3 persamaan sebagai berikut :

x1+4x2+6x3=7

3x1+5x2+2x3=6

x1+3x2+2x3=4

Langkah pertama yang saya lakukan adalah membuat modelica class baru dengan tipe class dan membruta fungsi dan variabel real seperti A[3,3] , B[3] dan parameter X, dimana X adalah akar yang akan ticari setelah dilakukan simulasi. Class yang saya gunakan adalah tipe class yang bisa menyelesaikan persamaan yaitu class tipe function. Berikut basil rangkaian bahasa modelica yang Sudan di cek dengan berisikan 15 persamaan dan 15 variabel yang Sudan benar :

Selanjutnya saya melakukan setting simulation sebagai berikut :

Setelah dilakukan simulasi, didapatkan akar- akar dari persamaan eliminasi gauss yaitu :

X1 = 9,25186e-16

X2 = 1

X3 = 0,5

Berikut adalah basil simulasi yang telah saya lakukan :

Pertemuan 3 : 23 November 2020

Assalamualaikum Wr.Wb, Pada hari ini kelas akan diadakan oleh Pak Dai menghimbau kami untuk membaca materi mengenai permodelan pegas di buku metode numerik terlebih dahulu.

Kemudian, pak Dai menjelaskan bagaimana cara mengaplikasikan metode numerik ke permodelan teknik. Masalah teknik -> analisis teknik -> model matematis -> model numerik -> komputer -> solusi

Lalu Pak Dai menjelaskan bagaimana permodelan aplikasi pegas. Mulai dari masalah tekniknya yaitu merupakan sistem pegas. kemudian pada analisis teknik kita menentukan hal-hal apa saja yang kita ketahui dalam persamaan tersebut. Lalu dengan hukum hooke kita membuat model matematisnya.

Selanjutnya, pak Dai memberikan tugas untuk menyelesaikan permasalahan pada pegas massa, dan berikut adalah hasil dari pembuatan class yang telah dibuat : .Menggunakan matriks 3x3 sesuai permasalahan yang ada

.Mengunakan asumsi nilai k yaitu 10N/m untuk disubtitusi ke persamaan

.Menggunakan salah satu metode aljabar simultan yaitu gauss elimination

.Terdapat 15 persamaan dan 15 variabel,12 trivial equation

Kemudian Pak Dai menghimbau kami untuk membuktikan matriks sistem pegas yang ada di buku dengan perhitungan pada openmodelica.

Berikut koding pada open modelica saya :

Dari basil tersebut di dapatkan x1, x2, dan x3. Berikut adalah hasilnya, dimana x1 = 7.5 N, x2 = 10.25N, dan x3 = 12.75 N.

Demikian basil Openmodelica dari saya, Terima Kasih. Wassalamualaikum Wr,Wb

Tugas 3

Ada 4 cara pertama Dalam menyelesaikan soal diatas :

1.Mengubah problem menjadi node dan elemen

2.Menentukan nilai Konstanta kekakuan/stiffness constant dari elemen

3.Membuat persamaan untuk elemen

4.Menyusun dan menggabungkan matriks elemen-elemen

4 cara diatas ada pada buku "Finite Element Analysis" pada halaman 60-70 :

Disitu terdapat matriks yang akan saya lakukan percoban pada aplikasi Openmodelica.

Berikut basil percobaan matriks pada aplikasi OpenModelica :

Setelah melakukan simulasi saya melakukan plotting pada asilo simulasi tersebut :

Karena di soal ingin mencari gaya reaksi, maka perlu dilakukan perhitungan pada gaya reaksi dengan persamaan yang ada pada buku "Finite Element Analysis" pada halaman 60-70 :

Berikut basil plottingnya :

Untuk menghitung normal stress, perlu dilakukan transformasi dari hasil defleksi ditinjau dari koordinat global menjadi transformasi lokal, berikut adalah persamaan yang ada pada buku "Finite Element Analysis" pada halaman 60-68 dan damat digunakan untuk menganalisis hasi dengan aplikasi Openmodelica :

Berikut basil plottingnya :

kemudian didapatkan :

U2x=-0.00976 inch

U6x=-0.01209 inch

Untuk mencari basil Internal Force dapat menggunakan rumus yang ada di buku sehingga didapatkan hasil sebagai berikut :

Internal force = 696lb.

Kemudian untuk mencari hasil normal stress data menggunakan rumus yang ada di buku sehingga didapatkan hasil sebagai berikut :

Normal stress = 87lb/in^2

Berikut adalah basil dari tugas 3 saya, Wassalamualaikum wr,wb

Pertemuan 4: 30 November 2020

Assalamualaikum Wr,Wb Pak Dai membahas tentang perbedaan statis dan dinamis yaitu Statis bebannya tetap, sepanjang waktu tetap, kalau dinamis, bebannya bisa berulang atau mengalami penambahan atau pengurangan terhadap waktu. Kemudian Pak Dai membahas tentang tugas 3 yang kumarin dan kemudian Pak Dai memberikan Quiz dan menyuruh kita untuk mengumpulkan Flow Chart terlebih dahulu. Berikut Soal dan Flow Chart yang saya buat :

Soal Quiz :

Berikut Flow Chart yang saya bikin :

Wassalamualaikum Wr,Wb

Pertemuan 5: 7 Desember 2020

Assalamualaikum Wr. Wb. Pada pertemuan hari ini Pak Dai memberikan kesempatan bagi mahasiswa yang telah mengerjakan kuis untuk menjelaskan flow chart dan juga hasil dari pengerjaan yang dilakukan. Pada kesempatan tersebut Ahmad Mohammad Fahmi yang telah berhasil menyelesaikan soal quiz yang diberikan, menjelaskan hasil pengerjaanya. Berdasarkan dari pembahasan tersebut, Ahmad Mohammad Fahmi menggunakan sistem looping untuk perhitungan dengan banyak data.

Lalu ahmad menjelaskan mengenai flowchart yang dia telah buat ahmad juga menjelaskan mengenai tahapan untuk menyelesaikan soal. Berikut tahapan yang Ahmad jelaskan :

1.Solve stiffness

2.Membuat dan menyelesaikan Matrix global dari setiap elemen

3.Mengimplementasikan boundary condition, kemudian didapatkan U.

Kemudian pak Dai memberikan kami tugas mengenai pembahasan oleh saudara Ahmad Mohammad Fahmi tentang kodingan yang dibuat olehnya mengenai kuis nomer 4 dan 8. Untuk membantu pembelajaran kami, Ahmad memberikan video rekaman tutorial yang berisi diskusi pada link dibawah ini :

https://drive.google.com/file/d/1n0zvwmn-3G4DWYCSPD48-Xfrp9_kT3R0/view?usp=sharing

Dalam video tersebut Ahmad menjelaskan tenting kodingan yang dia buat.

1.Untuk mengerjakan nomer 4, Ahmad membuat beberapa function yang nanti akan digunakan dan 1 class untuk membuat penyelesaian atas soal yang diberikan. Pada class, Saudara ahmad memasukkan parameter REAL (inisiasi) yang berisi element, theta, A, E, L.

2.Kemudian kita menginput node - node yang ada dengan memasukkan matriks dengan parameter integer. Pada parameter integer kita memanggil matriks inisiasi pada kolom satu untuk di sesuaikan dengan node-node yang bersangkutan.

3.Lalu kita masukan jumlah node yaitu n=4 dan Boundaries pada node. Boundaries pada node ini yaitu pada titik 1 dan 3 karena mereka merupakan tumpuan. Setelah itu, kita memasukkan load dengan menginput parameter real (2*n). Kita mengalikan n dengan 2 karena disini gaya ada 2 arah yaitu x dan y.

4.Sesudah mengisi load, kita menginput equation dengan fungsi-fungsi yang sudah dibuat juga pada function oleh Ahmad.

Pembahasan dari function :

1.Lihat terlebih dahulu dari function stiffnessmatrixelement.

2.Input matriks inisiasi (:,5) dan outputnya adalah matriks dari Ke yang tadi ada pada equation pada class

3.Gunakan protected maka parameter dapat dipanggil. Fungsinya adalah agar kita bisa memasuki parameter tanpa harus menulis ulang pada function dengan memanggil parameter pada Class

4.Parameter yang kita ambil untuk Ke adalah Theta, StiffTrig, Stifftrans, k_vec, dan Floating error.

Tugas 4

Pak Dai memberikan soal nomor 3.3 Dalam tugas ini, saya diminta untuk mencari matrix displacement dimana U = {U1x, U1y, U1z,..., Unx, Uny, Unz} ; matrix gaya reaksi dimana R = {R1x, R1y, R1z,...,Rnx, Rny, Rnz}; dan matrix gaya total pada sumbu x, y, dan z dan berikut merupakan coding yang saya lakukan didalam OpenModelica

Pertemuan 6

Assalamualaikum Wr, Wb Pada pertemuan kali ini Pak Ahmad Indra memberikan kita tugas muhasabah diri, Untuk pemahaman saya pada kelas Metode Numerik ini adalah relatif, Karena ada beberapa materi yang Alhamdulillah Judah bisa saya pahami, tetapi ada juga beberapa materi yang sepertinya bisa saya pelajari lagi agar saya lebih bisa memahami materi tersebut. Jika dilihat dari pemahana yang saya dapatkan selama belalar metode numerik ini.

Pertemuan 7

Assalamualikum Wr, Wb. Kelas pada lari ini diadakan oleh Pak Ahmad Indra

Tugas Besar

Assalamualikum Wr,Wb

Berikut merupakan soal dari Tugas Besar :

Asumsi dan Constraint

Asumsi:

- Diasumsikan tidak ada bending karena bersifat truss

- Beban terdistribusi pada node

- Safety Factor = 2

- Batas displacement 0,001m sebelum terjadi buckling

- Variabel bebas

Constraint:

- Node 1,2,3,4 (lantai dasar) fixed

- Beban F1 dan F2 terdistribusi ke node sekitaranya, sehingga:

1. Node 13 & 16 = 1000N

2. Node 14 & 15 = 500N

Berikut merupakan coding curve fitting yang digunakan pada excel :

function Curve_Fitting

input Real X[:];
input Real Y[size(X,1)];
input Integer order=2;
output Real Coe[order+1];
protected
Real Z[size(X,1),order+1];
Real ZTr[order+1,size(X,1)];
Real A[order+1,order+1];
Real B[order+1];

algorithm

for i in 1:size(X,1) loop
 for j in 1:(order+1) loop
 Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j);
 end for;
end for;
ZTr:=transpose(Z);
A:=ZTr*Z;
B:=ZTr*Y;
Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B);
//Coe:=fill(2,size(Coe,1));
end Curve_Fitting;
/*
for i in 1:3 loop
for j in 1:Points loop
 R[j]:=reaction[3*(j-1)+i];
end for;
Sur[i]:=sum(R);
end for;
*/

Berikut merupakan coding selanjutnya :

model callcurve
parameter Real [3] X={3289473.684,1461988.304,651041.6667};
parameter Real [3] Y={1016800,2301500,5083900};
Real [3] Coe;
algorithm
Coe:=Curve_Fitting(X,Y);
end callcurve;

Dan ini merupakan progress dari Tugas Besar saya :