Metnum03-Addarda Irsyad Usman

بِسْمِ اللهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيْمِ

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُ

Bio Data

Kelas Metode Numerik - 03

Nama  : Addarda Irsyad Usman

NPM  : 1706021556

Program Studi : S1 Teknik Mesin Parallel

---

Pertemuan 1 (Senin, 9 November 2020)

Assalamualaikum Wr. Wb.

Pada pertemuan pertama kali ini dapat dianggap sebagai pengenalan dari Pak Dai tentang bagaimana metode pembelajaran kelas Metode Numerik - 03 bersama Pak Dai. Banyak diskusi yang terjadi pada pertemuan ini, sebagaimana Pak Dai mengarahkan kami untuk melakukan diskusi 2 arah ini. Pembahasan menarik mengenai fenomena numerik yang berada di kehidupan dasar manusia ketika menemukan bilangan-bilangan yang berupa konsep seperti "tak terhingga" atau "infiniti" dan bagaimana pandangan kita sebagai seorang engineer.

Kemudian Pak Dai menjelaskan bahwa pemberian materi akan berupa pengaplikasian dari metode numerik yang akan menggunakan software Open Modelica. Software ini merupakan program yang dapat menyimulasikan suatu sistem dengen data input kode sumber atau biner untuk melakukan suatu penelitian terhadap sistem tersebut. Setiap mahasiswa diharapkan memiliki software tersebut sebagai penunjang pembelajaran setengah semester kedepan.

Pertemuan 2 (Senin, 16 November 2020)

Pada pertemuan kedua ini, kami mempelajari cara membuat program sederhana pada modelica untuk menghitung jumlah dan rata-rata angka. Diakhir kelas kami ditugaskan untuk membuat suatu program untuk menyelesaikan persamaan aljabar simultan, berikut merupakan program yang saya buat:

Saya menggunakan matriks berukuran 3 x 3 dengan metode gauss elimination dan function solve yang disediakan oleh software modelica sehingga mendapatkan hasil [6, -1, -2]

Pertemuan 3 (Senin, 23 November 2020) Tugas Studi Kasus Gambar 12.11

Pada pertemuan ketiga ini, kami diminta untuk membuktikan suatu studi berdasarkan gambar 12.11, serta juga dengan matriks yang tertera pada buku panduan Numerical Methods for Engineers 7th Edition superti berikut merupakan gambar 12.11:

Berikut merupakan program yang saya buat pada program Open Modelica menggunakan metode Gauss Elimination sebagai pembuktian terhadap persamaan yang bereda di buku panduan. Dapat disimpukan bahwa persamaa berdasarkan buku panduan terbuktinya persamaan tersebut dengan mengacu pada nilai a pada Open Modelica berikut. Maka Open Modelica berikut terbukti dapat menyelesaikan persamaan yang sama seperti di buku panduan dengan hasil yang sama pula.

Hasil yang didapatkan dari simulasi di atas adalah sebagai berikut

a1 = 7.3575

a2 = 10.0552

a3 = 12.5077

Pertemuan 3 (Senin, 23 November 2020) PR

Pada pertemuan ini Pak Dai juga memberikan PR kepada kami untuk menyelesaikan soal berikut:

Pada tugas ini diberikan juga penjelasan mengenai bagaimana persamaan akhir menggunakan Hukum Hooke, dimana matriks adalah sebagai berikut:

Pada penyelesaiannya dapat menggunakan OpenModelica sebagai berikut

Dan juga saya berikan plotting menggunakan Open Modelica

Soal mempertanyakan mengenai nilai gaya reaksi terhadap gambar, maka diperlukan perhitungan untuk mendapatkan nilai gaya reaksi.

Menggunakan OpenModelica dapat menyelesaikan persamaan tersebut, menggunakan program sebagai berikut

Serta dengan hasil plottingnya

Relain itu tugas ini juga membutuhkan perhitungan normal stress dan gaya internal pada gambar. Pada perhitungan normal stress diperlukan transformasi dari hasil defleksi ditinjau dari koordinat global menjadi transformasi lokal, dimana menggunakan persamaan berikut

Pada análisis stress Elemen 5, maka node yang dianalisis adalah node 2 dan 5. Sehingga persamaan matriks defleksi pada koordinat lokal menjadi

Menggunakan OpenModelica dengan program sebagai berikut untuk dapat menyelesaikan permasalahan

Didapatkan juga hasil plotting

Maka didapatkan

U2x = -0.00976 inch

U6x= -0.01209 inch

Dan untuk internal force didapatkan melalui persamaan

didapatkan nilai internal force elemen 5 sebesar 696 lb

Pertemuan Ke4 (30 November 2020)

Berikut merupakan hasil jawaban Soal No 4 dan No 8 saya

Jawaban Soal Quiz

Berikut merupakan penyelesaian dari flowchart Nomor 4

1. Mendefinisikan Node & Elemen

Kita perlu mendefinisikan setiap elemen dan node nya untuk mendapatkan derajat yang digunakan pada elemen dan node tersebut

2. Membuat Model Matematika

Dikarenakan kita mencari defleksi dari gambar yang tersedia, maka akan digunakan persamaan persamaan berikut

a. Hukum Hooke

b. Internal Force

c. Normal Stress

Selain itu kita juga perlu untuk menentukan nilai kekakuan dari setiap elemen

3. Membuat Model Numerik

Setelah mendefinisikan elemen dan node, sert menentukan model matematika yang akan kita gunakan, kita dapat membuat model numerik dari gambar. Untuk menentukan matriks kekakuan elemen dapat menggunakan Persamaan matriks berikut.

a. Analisis Elemen

Karena elemen 1,2 sejajar dengan sumbu X global maka nilai θ = 0, dan didapatkan hasil analisis elemen 1,2

Elemen 1 dan posisi Elemen 1 di matriks global

Elemen 2 dan posisi Elemen 2 di matriks global

Dikarenakan elemen 3 sejajar dengan sumbu Y global maka nilai θ = 90, dan didapatkan hasil analisis elemen 3

Elemen 3 dan posisi Elemen 3 di matriks global

Untuk analisis Elemen 4,5 dapat dihitung terlebih dahulu derajatnya dari data yang telah disediakan gambar, maka didapatkan θ4 = 51,34 dan θ5 = 128,66. Maka dapat didapatkan hasil analisis elemen 4,5

Elemen 4 dan posisi Elemen 4 di matriks global

Elemen 4 dan posisi Elemen 4 di matriks global

4. Menghitung Defleksi (Koordinat Global)

Setelah mendapatkan seluruh matriks global elemen 1,2,3,4,5 maka kita dapat menggabungkan seluruh matriks tersebut menjadi matriks global [K](G), melalui persamaan berikut.

yang menghasilkan

Kondisi batas yang diperlihatkan gambar membuat kondisi node 1 dan 3 adalah fixed dan kondisi tersebut menyatakan bahwa node 2 dan 4 diberikan beban eksternal sehingga

Dengan menerapkan Hukum Hooke F= k.x, maka dalam persamaan matrix menjadi [F]=[K(G)].[U¬(e)], sehingga didapatkan dan disederhanakan menjadi:

Pertemuan 5 (Senin, 7 Desember 2020)

Pada pertemuan kali ini, kelas membahas tentang tugas yang diberikan minggu lalu. Tugas kemarin merupakan pembahasan mengenai gaya reaksi pada elemen beam penyusun statika struktur. Kemudian dilanjutkan dengan pembahasan tugas dari beberapa rekan saya. Pertemuan ini menjelaskan hasil dari tugas rekan kami, Ahmad Mohammad Fahmi, mensenai coding yang ia buat pada tugas minggu lalu tentang Plane Truss dan Space Truss.

Diskusi berlangsung cutup interaktif dengan penjelasan dari Fahmi sendiri mengenai hasil tugas ia. Namun, masih banyak hal yang belum saya sepenuhnya mengerti, walau begitu tetap meneruskan progress diskusi pada platform ini. Soal baru diberikan kepada kami dari Pak Dai sebagai berikut

Mempelajari Coding 3D Fahmi

Pada algoritma Ahmad Muhammad Fahmi, metode yang digunakan untuk penyelesaian sama dengan flowchart yang sudah saya buat untuk Quiz. Penyelesaian kedua soal ini memiliki parameter input:

1. A (Luas Permukaan)

2. E (Modulus Elastisitas)

3. node

4. load

Pada algoritma ini dibuat terlebih dahulu beberapa function untuk mempermudah pemanggilan pada class. Disini terdapat function yaitu Stiffness Matrix Global, Sum Stiffness Matrix Global, Boundary Stiffness Matrix Global, Gauss Jordan, Reaction Force, dan Check Force.

Pengaplikasian Coding Terhadap Soal

Berikut

Stiffness Matrix Element Function function StiffnessMatrixElement input Real [:,6] inisiasi_mat; output Real [size(inisiasi_mat,1),6,6] Ke_mat; protected Real cos_x; Real cos_y; Real cos_z; Real [6] StiffTrig; Real [6,6] StiffTrans; Real [size(inisiasi_mat,1)] L; Real [size(inisiasi_mat,1)] k_vec; algorithm L := {(sqrt(inisiasi_mat[i,2]^2 + inisiasi_mat[i,3]^2 + inisiasi_mat[i,4]^2)) for i in 1:size(inisiasi_mat,1)}; k_vec := {(inisiasi_mat[i,5] * inisiasi_mat[i,6] / L[i]) for i in 1:size(inisiasi_mat,1)}; // Finding stiffness matrix of each element member for i in 1:size(inisiasi_mat,1) loop // Clearing the matrices StiffTrig := zeros(6); StiffTrans := zeros(6,6); // Converting degrees to radians cos_x := inisiasi_mat[i,2]/L[i]; cos_y := inisiasi_mat[i,3]/L[i]; cos_z := inisiasi_mat[i,4]/L[i]; // {cos^2, sin^2, sincos} StiffTrig := {(cos_x)^2, (cos_y)^2, (cos_z)^2, (cos_x*cos_y), (cos_x*cos_z), (cos_y*cos_z)}; // Construct stiffness transformation matrix StiffTrans := [ StiffTrig[1], StiffTrig[4], StiffTrig[5], -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[5]; StiffTrig[4], StiffTrig[2], StiffTrig[6], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[2], -1*StiffTrig[6]; StiffTrig[5], StiffTrig[6], StiffTrig[3], -1*StiffTrig[5], -1*StiffTrig[6], -1*StiffTrig[3]; -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[5], StiffTrig[1], StiffTrig[4], StiffTrig[5]; -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[2], -1*StiffTrig[6], StiffTrig[4], StiffTrig[2], StiffTrig[6]; -1*StiffTrig[5], -1*StiffTrig[6], -1*StiffTrig[3], StiffTrig[5], StiffTrig[6], StiffTrig[3]]; // Multiply in stiffness constant of element, add final stiffness matrix to Ke_mat for m in 1:6 loop for n in 1:6 loop Ke_mat[i,m,n] := k_vec[i] * StiffTrans[m,n]; end for; end for; end for; end StiffnessMatrixElement;

Stiffness Matrix Global Function function StiffnessMatrixGlobal input Integer x; input Integer [:,2] n; input Real [:,6,6] Ke_mat; output Real [size(Ke_mat,1),3*x,3*x] Kg_mat; algorithm Kg_mat := zeros(size(Ke_mat,1),3*x,3*x); for i in 1:size(Ke_mat,1) loop Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,3,3]; Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,3,2]; Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,3,1]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,2,3]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,2,2]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,2,1]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,1,3]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,1,2]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,1,1]; Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,6,6]; Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,6,5]; Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,6,4]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,5,6]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,5,5]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,5,4]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,4,6]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,4,5]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,4,4]; Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,6,3]; Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,6,2]; Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,6,1]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,5,3]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,5,2]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,5,1]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,4,3]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,4,2]; Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,4,1]; Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,3,6]; Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,3,5]; Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,3,4]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,2,6]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,2,5]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,2,4]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,1,6]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,1,5]; Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,1,4]; end for; end StiffnessMatrixGlobal;

Sum Stiffness Matrix Element Function function SumStiffnessMatrixGlobal input Real [:,:,:] Kg_mat; output Real [size(Kg_mat,2),size(Kg_mat,2)] KgTot_mat; algorithm for a in 1:size(Kg_mat,2) loop for b in 1:size(Kg_mat,2) loop KgTot_mat[a,b] := sum(Kg_mat [:,a,b]); end for; end for; end SumStiffnessMatrixGlobal;

Boundary Stiffness Matrix Global Function function BoundaryStiffnessMatrixGlobal input Real [:,:] KgTot_met; input Integer[:] Boundary_xyz; input Integer[:] Boundary_xy; input Integer[:] Boundary_xz; input Integer[:] Boundary_yz; input Integer[:] Boundary_x; input Integer[:] Boundary_y; input Integer[:] Boundary_z; output Real [size(KgTot_met,1),size(KgTot_met,1)] KgB_met; algorithm for a in 1:size(KgTot_met,1) loop for b in 1:size(KgTot_met,1) loop KgB_met[a,b] := KgTot_met [a,b]; end for; end for; if Boundary_xyz[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_xyz,1) loop for b in 0:2 loop KgB_met[3*(Boundary_xyz[a])-b,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_xyz[a]-b,3*Boundary_xyz[a]-b]:=1; end for; end for; end for; end if; if Boundary_xy[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_xy,1) loop for b in 1:2 loop KgB_met[3*(Boundary_xy[a])-b,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_xy[a]-b,3*Boundary_xy[a]-b]:=1; end for; end for; end for; end if; if Boundary_xz[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_xz,1) loop for b in 0:2:2 loop KgB_met[3*(Boundary_xz[a])-b,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_xz[a]-b,3*Boundary_xz[a]-b]:=1; end for; end for; end for; end if; if Boundary_yz[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_yz,1) loop for b in 0:1 loop KgB_met[3*(Boundary_yz[a])-b,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_yz[a]-b,3*Boundary_yz[a]-b]:=1; end for; end for; end for; end if; if Boundary_x[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_x,1) loop KgB_met[3*(Boundary_x[a])-2,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_x[a]-2,3*Boundary_x[a]-2]:=1; end for; end for; end if; if Boundary_y[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_y,1) loop KgB_met[3*(Boundary_y[a])-1,i]:=0; KgB_met[3*Boundary_y[a]-1,3*Boundary_y[a]-1]:=1; end for; end for; end if; if Boundary_z[1] <> 0 then for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_z,1) loop KgB_met[3*Boundary_z[a],i]:=0; KgB_met[3*Boundary_z[a],3*Boundary_z[a]]:=1; end for; end for; end if; end BoundaryStiffnessMatrixGlobal;

Gauss Jordan Function function GaussJordan input Real [:,:] KgB_met; input Real [size(KgB_met,1)] load_met; output Real [size(KgB_met,1)] U_met; protected Real float_error = 10e-10; algorithm U_met:=Modelica.Math.Matrices.solve(KgB_met,load_met); for i in 1:size(KgB_met,1) loop if abs(U_met[i]) <= float_error then U_met[i] := 0; end if; end for; end GaussJordan;

Reaction Force Function function ReactionForce input Real [:,:] KgTot_met; input Real [size(KgTot_met,1)] U_met; input Real [size(KgTot_met,1)] load_met; output Real [size(KgTot_met,1)] R_met; protected Real float_error = 10e-10; algorithm R_met := KgTot_met*U_met-load_met; for t in 1:size(KgTot_met,1) loop if abs(R_met[t]) <= float_error then R_met[t] := 0; end if; end for; end ReactionForce;

Check Force Function function CheckForce input Real [:] load; input Real [size(load,1)] R; output Real [3] F; protected Real float_error = 10e-10; protected Real load_x; Real load_y; Real load_z; Real R_x; Real R_y; Real R_z; algorithm load_x := sum({load[i] for i in 1:3:(size(load,1)-2)}); load_y := sum({load[i] for i in 2:3:(size(load,1)-1)}); load_z := sum({load[i] for i in 3:3:size(load,1)}); R_x := sum({R[i] for i in 1:3:(size(load,1)-2)}); R_y := sum({R[i] for i in 2:3:(size(load,1)-1)}); R_z := sum({R[i] for i in 3:3:size(load,1)}); F[1] := load_x + R_x; F[2] := load_y + R_y; F[3] := load_z + R_z; for i in 1:3 loop if abs(F[i]) <= float_error then F[i] := 0; end if; end for; end CheckForce;

Berikut merupakan class yang digunakan untuk memanggil function diatas dan menyelesaikan Example 3.3

Class class QuizSoal1 //inisiasi = [ elemen#, dX, dY, dZ, A, E] parameter Real [:,6] inisiasi = [1, 6, 0, -3, 1.56, 10.6e6; //isi sesuai data 2, 0, 0, -6, 1.56, 10.6e6; 3, 0, 6, -3, 1.56, 10.6e6; 4, -6, 0, -3, 1.56, 10.6e6; 5, -6, 6, 0, 1.56, 10.6e6; 6, 0, 6, 3, 1.56, 10.6e6]; //node = [ i, j] parameter Integer [size(inisiasi,1),2] node = [1, 2; //isi sesuai data 1, 3; 1, 4; 2, 3; 2, 4; 3, 4]; //jumlah node parameter Integer n = 4; //isi sesuai data //titik node boundary xyz parameter Integer [:] Boundary_xyz = {1}; //isi sesuai data //titik node boundary xy parameter Integer [:] Boundary_xy = {4}; //isi sesuai data //titik node boundary xz parameter Integer [:] Boundary_xz = {0}; //isi sesuai data //titik node boundary yz parameter Integer [:] Boundary_yz = {0}; //isi sesuai data //titik node boundary x parameter Integer [:] Boundary_x = {3}; //isi sesuai data //titik node boundary y parameter Integer [:] Boundary_y = {0}; //isi sesuai data //titik node boundary z parameter Integer [:] Boundary_z = {0}; //isi sesuai data //load = [ F1x, F1y, F1z,..., Fnx, Fny, Fnz] parameter Real [3*n] load = {0, 0, 0, //isi sesuai data 0, -200, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}; Real [size(inisiasi,1)] L; Real [size(inisiasi,1)] k; Real [size(inisiasi,1),6,6] Ke; Real [size(inisiasi,1),3*n,3*n] Kg; Real [3*n,3*n] KgTot; Real [3*n,3*n] KgB; Real [3*n] U; Real [3*n] R; //check force Real [3] F; equation L = {(sqrt(inisiasi[i,2]^2 + inisiasi[i,3]^2 + inisiasi[i,4]^2)) for i in 1:size(inisiasi,1)}; k = {(inisiasi[i,5] * inisiasi[i,6] / L[i]) for i in 1:size(inisiasi,1)}; Ke = StiffnessMatrixElement(inisiasi); Kg = StiffnessMatrixGlobal(n, node, Ke); KgTot = SumStiffnessMatrixGlobal(Kg); KgB = BoundaryStiffnessMatrixGlobal(KgTot, Boundary_xyz, Boundary_xy, Boundary_xz, Boundary_yz, Boundary_x, Boundary_y, Boundary_z); U = GaussJordan(KgB, load); R = ReactionForce(KgTot, U, load); F = CheckForce(load,R); end QuizSoal1;

Berikut merupakan hasil dan grafik yang didapat

Pertemuan Ke6 (13 Desember 2020)

Pada pertemuan ini, Pak Dai memperykuat pemahaman tentang ilmu yang kami dapat selama di Mata Kuliah Metode Numerik. Dilanjutkan dengan permintaan dari Pak Dai untuk para peserta melakukan muhasabah terhadap ilmu yang telah didapatkan selama kelas ini berjalan.

Pertemuan Ke7 (21 Desember 2020)

Tugas Besar

Pada tugas besar ini kami diminta untuk mencari optimasi pemilihan material untuk rangka berikut. Optimasi pemilihan material bergantung kepada 2 hal yaitu optimasi elastisitas dan optimasi luas penampang.

Flow Chart

Untuk mempermudah pengerjaan dari tugas besar ini, dibuatlah sebuah flowchart agar dapat lebih mudah untuk dimengerti.

1. Definisi Permasalahan

2. Asumsi dan Kondisi

3. Research Data Besi Siku

4. Permodelan Numerik

5. Komputasi

6. Optimasi 1 Area Locked

7. Optimasi 2 Elasticity Locked

8. Penentuan Material