Simplified Finite Elements model to represent Mass-Spring structures in dynamic simulation by Rúbia M. Bosse, André Teófilo Beck

<- back to Studi kasus komputasi teknik

Case Study

Terjemahan

Terjemahan

Abstrak

Makalah ini menyajikan pendekatan langkah demi langkah, didaktik untuk membangun model elemen hingga yang disederhanakan (Finite Element/FE)mereproduksi hasil yang diperoleh dengan model mass-spring (MS) atau bangunan geser. Tujuan utamanya adalah untuk mengekspos keterbatasan masing-masing model, dan untuk memfasilitasi perbandingan antara hasil numerik yang diperoleh dengan model yang berbeda,sangat sering oleh penulis yang berbeda. Contoh aplikasi adalah sistem kontrol getaran, analisis model teoritis, mesin pemodelan komponen dan jaringan lunak. Makalah ini menyajikan hipotesis yang diperlukan untuk membangun hierarkis model, membahas pengaruh masing-masing asumsi / penyederhanaan dalam respons struktural. Dengan tujuan ini, komputer kode diimplementasikan untuk menyelesaikan struktur kerangka 2D di bawah beban dinamis dengan model pegas massal dan posisi model elemen hingga mempertimbangkan analisis geometrik nonlinier. Hasil penelitian menunjukkan bahwa hipotesis yang diajukan adalah cukup untuk mereproduksi dalam metode FE respon yang sama dari model MS mengalami impuls dan beban gempa.

1. PENDAHULUAN

Dua metodologi utama yang digunakan untuk mengevaluasi perilaku mekanik struktur seperti bangunan di bawah beban dinamis adalah model Mass-Spring (MS) dan model Finite Element (FE). Penerapan masing-masing teknik ini biasanya tergantung pada jenis struktur, keakuratan analisis yang diminta, dan kompleksitas struktur. Telah diketahui bahwa semua model menghadirkan ketidakpastian terkait kesetiaan untuk mewakili perilaku struktural yang nyata. Dalam hal ini, interpretasi kritis terhadap penyederhanaan dan keterbatasan model teknik diperlukan untuk analisis dan desain yang andal.

Secara umum, model massa-pegas memiliki pendekatan diskrit dan formulasi matematika sederhana. Massa terkonsentrasi dalam titik-massa dan terhubung satu sama lain dengan pegas linier yang mewakili kekuatan elastis internal yang bekerja di antara massa. Model MS sederhana karena menghasilkan sangat sedikit derajat kebebasan, di mana persamaan gerak dapat diselesaikan secara analitis dengan modal superposisi. Ini secara signifikan mengurangi waktu pemrosesan untuk analisis dinamis. Model massa-pegas populer karena secara konsep lebih sederhana dan lebih mudah diimplementasikan daripada model yang lebih konsisten secara fisik berdasarkan metode elemen hingga. Selain itu, model MS sangat fleksibel untuk perubahan topologi.

Formulasi ini biasanya diterapkan untuk mewakili struktur sebagai sistem kontrol getaran, bangunan dalam perilaku global, elemen mesin dan bahan jaringan lunak. Model MS juga sangat berlaku untuk melakukan analisis keandalan dan respon stokastik, di mana biaya komputasi merupakan masalah mendasar, karena struktur perlu dipecahkan secara berulang. Kelemahan utama dari model MS adalah bahwa mereka dianggap tidak tepat untuk memperkirakan perilaku mekanik struktur yang dapat dideformasi. Model MS mengabaikan persamaan konstitutif material, dan menghadirkan sejumlah derajat kebebasan yang mungkin terlalu kecil untuk jenis analisis tertentu.

Beberapa kemajuan telah dibuat dalam model MS untuk meningkatkan representasi realistis dari struktur yang dapat dideformasi. Beberapa penelitian mengusulkan metode baru untuk mendapatkan koefisien kekakuan pegas, yang lain telah menyarankan modifikasi model tradisional (Kuether dan Allen, 2012, Geethu et al., 2015), termasuk misalnya pegas nonlinear dan piezometrik dalam analisis sistem kontrol getaran (Harne, 2013), penggabungan pegas kontak kubik untuk mensimulasikan kehilangan kontak (Huajiang dan Guan, 2016) dan pemecah implisit cepat untuk model MS standar (Liu et al., 2013, Zheng et al., 2017)

Di sisi lain, metode elemen hingga (FE) berasal dari mekanika kontinum dan menjadi salah satu metode yang paling sering digunakan untuk memecahkan masalah sistem mekanik. Metode FE memerlukan penggunaan komputer secara intensif dan biaya komputasinya dapat menjadi penghalang untuk analisis skala besar. Namun, teknik ini mampu mensimulasikan sistem fisik yang kompleks, menyelesaikan masalah multi-dimensi dengan nonlinier (Dhatt, Touzot dan Legrançois, 2012).

Model FE mendiskritisasi struktur dalam elemen-elemen kecil untuk merepresentasikan perilaku berkelanjutan. Metode ini menggunakan pendekatan variabel yang tidak diketahui untuk mengubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan aljabar yang diselesaikan melalui metode numerik. Model FE cocok untuk mengevaluasi respons berbagai struktur, terutama karena undang-undang dasar material dipertimbangkan dalam formulasi matematika. Namun, kemajuan ini ada harganya: semakin halus modelnya, semakin kompleks solusinya, yang mengarah ke biaya komputasi yang besar.

Tantangan yang cukup besar di bidang metode FE adalah pertimbangan perpindahan besar dalam tubuh yang cacat. Upaya penelitian membahas pengembangan formulasi yang mempertimbangkan efek nonlinier dalam bahan konstitutif atau dalam kondisi batas (perpindahan atau rotasi besar). Dalam masalah perpindahan besar, deskripsi Total Lagrangian menunjukkan metode yang efisien untuk menyelesaikan masalah dinamis struktur padat, karena mempertimbangkan konfigurasi referensi yang unik dan tetap: matriks massa tetap konstan dan solusi keseimbangan dinamis diperoleh dengan lebih mudah. Solusi masalah yang mempertimbangkan analisis geometri nonlinear dengan deskripsi Total Lagrangian dapat diverifikasi dalam Mondkar dan Powell (1977), Wood dan Zienkiewicz (1977), Surana (1983), Coda dan Greco (2004). Pendekatan alternatif untuk merepresentasikan analisis nonlinier geometris menggunakan deskripsi Lagrangian total adalah model FE posisional. Dalam teknik ini, parameter nodal adalah koordinat nodal (posisi) dan dimungkinkan untuk menggunakan kinematika Reissner yang tepat dalam evaluasi perpindahan dan rotasi untuk struktur rangka. Contoh aplikasi dari formulasi ini dapat dilihat di Coda dan Paccola (2014), Reis dan Coda (2014), dan Siqueira dan Coda (2016, 2017).

Saat ini, dengan kemajuan teknik komputasi untuk meningkatkan waktu pemrosesan, model FE yang disempurnakan semakin dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah mekanis apa pun. Dalam makalah ini, kami bermaksud untuk mendefinisikan hipotesis yang berlaku untuk model FE untuk membuatnya mewakili hasil yang kompatibel dengan model massa-pegas dengan idealisasi kerangka geser. Ini juga merupakan tujuan untuk mengamati dan mengukur perbedaan yang disebabkan oleh hipotesis ini dalam respon struktur, mengevaluasi keuntungan dan keterbatasan masing-masing model untuk memperkirakan respon struktur yang terkena berbagai sumber beban dinamis.

Untuk melakukan analisis ini, kode komputasi diterapkan untuk kedua model: model FE posisional dan model MS. Contoh-contoh yang disajikan dalam makalah ini berkaitan dengan struktur rangka yang tidak terbungkus yang dapat mewakili bangunan. Contoh 1 dan 2 memperlihatkan struktur satu dan lima lantai yang tereksitasi oleh gaya impuls. Contoh ketiga berkaitan dengan struktur yang sama dari contoh 2 yang bersemangat dengan catatan Gempa Bumi El Centro. Respons dalam domain waktu dan frekuensi dipelajari.

2. MODEL MASS-SPRING

Analisis dinamis menggunakan model massa-pegas diskrit sangat umum dalam literatur dan menyajikan keuntungan sebagai alat sederhana untuk mengevaluasi respons dinamis struktur. Metode analisis ini memerlukan waktu pemrosesan yang sedikit, karena mereduksi struktur menjadi beberapa derajat kebebasan, dan karena jawabannya dapat diperoleh secara analitik dengan metode modal superposisi. Model MS tradisional berurusan dengan analisis linier, yaitu keseimbangan dihitung pada posisi awal, menyajikan matriks kekakuan konstan (Warburton, 1976 dan Paultre, 2010). Dalam makalah ini model bangunan geser dipertimbangkan. Idealisasi ini biasanya digunakan untuk mengevaluasi respons bangunan yang mengalami kegembiraan dinamis. Model bangunan geser biasanya mempertimbangkan bahwa massa kolom dapat diabaikan, dan massa lantai terkonsentrasi di lantai (titik massa). Juga, balok dan pelat dianggap kaku dalam arah longitudinal dan dalam lentur, kolom kaku untuk regangan aksial tetapi fleksibel secara transversal. Idealisasi bangunan geser mengasumsikan bahwa bangunan hanya menyajikan perpindahan horisontal, karena pembengkokan kolom. Mempertimbangkan kerangka bidang gambar 3 lantai yang tidak tertutup pada Gambar 1, model bangunan geser dapat dimodelkan dengan mendefinisikan massa dan pegas yang setara dan membuat matriks yang sesuai untuk solusi persamaan gerak.

POSITIONAL FINITE ELEMENT

Analisis nonlinier geometris digunakan untuk menangani defleksi besar: posisi keseimbangan struktur dicari negara terlantar. Dalam apa yang disebut pendekatan FE posisional, ruang non-dimensi dibuat dan kelengkungan relatif elemen bingkai dihitung untuk konfigurasi awal dan untuk yang cacat (Coda dan Greco 2004). Itu Posisi keseimbangan adalah variabel utama yang tidak diketahui, dan diperoleh dari prinsip total potensial stasioner energi. Formulasi Lagrangian total digunakan, menggunakan konfigurasi referensi yang unik, posisi awal; di dalam konteksnya, matriks massa adalah konstan. Elemen frame dengan empat node dan pendekatan kubik digunakan. Untuk analisis nonlinier geometris, deskripsi rinci tentang kinematika elemen awalnya ditunjukkan dan prinsip energi stasioner digunakan untuk menulis persamaan keseimbangan dinamis. Sistem nonlinier persamaan diselesaikan dengan menggabungkan integrasi waktu Newmark dengan prosedur Newton-Raphson, mengikuti Coda dan Paccola (2014).

4. RESULTS

Dalam paper ini diperlihatkan berberapa hasil analisis yaitu dengan metode Mass-Spring (MS), dan Finite Element (FE) kepada sebuah struktur yang diberikan impuls dan gerakan pada bagian dasar. Tujuan awal dari paper ini adalah untuk mengembangkan model FE yang lebih sederhana yang tetap akurat sama dengan hasil yang diperoleh dari model MS. Tabel 1 memperlihatkan analisa dan hypothesis dari setiap model yang digunakan serta langkah-langkah yang diambil agar model FE yang disederhanakan tetap mempunyai hasil yang sebanding dengan model MS. Tahap sequential merupakan evaluasi dari setiap model pada response structure terhadap waktu dan secara frekuensi.

Tabel 1. Hypothesis dari model MS, FE, dan FES

---

Mass Spring (MS):

1. Sistem diskrit dengan massa yang terkonsentrasi
2. Setiap lantai diwakili oleh 1 degree of freedom
3. Massa dari kolom/tiang vertical ccenderung diabaikan dalam analysis
4. Lantai merupakan benda rigid. Tidak ada deformasi.
5. Hanya mengestimasi pergerakan horizontal
6. Stiffness dari kolom langsung diwakili oleh sebuah pegas linear
7. Sistem diasumsikan berkerja secara linear

Finite Element(FE):

1. Bidang terdiri dari 4 node
2. Terdapat matrix massa
3. System yang terbentuk mempunyai banyak degree of freedom
4. Elementnya bergerak dengan flexible (Vertical, horizontal, serta putaran relatif)
5. Koneksi antara elemen diasumsikan rigid
6. Pergerakan yang besar dianalisa secara nonlinear

Finite Element Simplified (FES):

1. Massa kolom ikut diperhitungkan, hanya saja massa ini dimodelkan dalam batang horizontal dengan distribusi secara merata. Pemodelan ini selain mempengaruhi massa dari batang horizontal, massa ini juga mempengaruhi pada densitas dan inertia.
2. Modulus Elastisitas dari batang horizontal diasumsikan tak hingga, sehingga dapat dianggap rigid.
3. Element dalam batang horizontal terrestriksi pada pergerakan secara vertical dan putaran relatif.
4. Dapat terjadi nonlinear analysis

4.3. Pergerakan Rangka 5-Lantai oleh Gempa Bumi

Kania, Evi, Chandra, Dieter

Contoh terakhir menggunakan struktur yang sama dan sudah dipelajari pada contoh 4.2 didapatkan dari rekaman gempa bumi EL Centro. Di MS model, gempa bumi disimulasikan sebagai gaya ekuivalen yang diterapkan ke setiap derajat kebebasan dari struktur dalam bentuk {F}=[M].{y ̈_earthquake}. Di dalam FE analisis, penggunaan persamaan posisi di sini memberikan keuntungan bahwa gempa bumi dapat dimodelkan dengan sedemikian rupa hingga terlihat lebih rill, penggunaan basis perpindahan dalam pendukung sturuktur, dan simulalsi efek yang terjadi akibat gempa bumi.

Accelerogram dari gempa bumi EL Centro dan berdasarkan rekaman dari basis perpindahan (digunakan dalam analisa FE dan FES) ditunjukan pada gambar 19.

Gambar 20 menjelaskan sebuah perbandingan antara perbedaan-perbedaan yang disebabkan oleh perhitungan massa kolom dalam permodelan FES. Untuk model FE dan FES, hasil dalam hal perpindahan (displacement) terhadap waktu diperoleh untuk total perpindahan dalam kaitannya dengan initial position (i.e.perpindahan relatif pada struktur atas ditambah perpindahan pada struktur pendukungnya, yang disebabkan oleh gempa bumi). Pada studi ini, semua curve hanya menunjukkan perpindahan relatif, yang mana dapat dibandingkan dengan respons dari model MS.

Hasil dari Gambar 20 menunjukkan bahwa dengan adanya gangguan/eksitasi dalam bentuk gempa, respon dari FES pada permasalahan-½ massa kolom terpusat di lantai, memiliki hasil yang sama dengan penggunaan model MS dasar. Hal tersebut membuktikan keakuratan hipotesis yang sudah dibangun untuk menyelaraskan FE models dengan MS models. Pada contoh ini, dimana terdapat eksitasi berupa gempa, pengaruh dari bagian kolom masa dalam analisis adalah lebih tinggi daripada nila yang didapat dengan impulse loads. Jika diasumsikan 50% massa kolom diabaikan untuk FES models, maka hubungan antara MS dan FES models tidak mungkin didapat. Gambar 21-24 menunjuklan perbandingan antara MS models, FES dan FE models.

---

CONCLUDING REMARKS

Makalah ini mengupayakan pendekatan didaktik untuk menunjukkan bagaimana merepresentasikan, dengan diskritisasi elemen hingga, hasilnya diperoleh dengan model massa-pegas. Temuan di sini bermanfaat bagi para peneliti yang menggunakan model elemen hingga, yang membutuhkan untuk mereproduksi atau membandingkan hasilnya dengan yang diperoleh menggunakan model pegas massal.

Pada dasarnya, untuk merepresentasikan struktur pegas massa dengan metode elemen hingga, perlu: 1) mempertimbangkan hanya setengahnya massa total kolom, disatukan dengan massa balok dan pelat; 2) menganggap lantai berfungsi sebagai benda tegar dalam hal derajat kebebasan longitudinal dan lentur dan 3) membatasi derajat lentur kebebasan balok dan pelat.

Hasil penelitian menunjukkan relevansi hipotesis yang disarankan dalam respon struktur sebagai kerangka pesawat (bangunan) dalam analisis dinamis. Juga menjadi jelas bahwa pengaruh masing-masing hipotesis tergantung pada karakteristik mempelajari kasus. Dalam contoh 1 dan 2, pertimbangan balok fleksibel untuk model FES menyebabkan perubahan signifikan pada respon struktur, dibandingkan dengan hasil model MS. Namun, perilaku yang sama ini tidak diverifikasi di Contoh 3, di mana fleksibilitas balok dalam hal beban gempa tidak mempengaruhi respons model FES.

Dalam hal analisis FFT, semua model (MS, FES, dan FE) tepat untuk menentukan frekuensi getaran,terutama frekuensi alami rendah yang biasanya paling relevan untuk karakterisasi dinamis struktur.Contoh 3 menyarankan bahwa dalam kasus beban dinamis yang parah, seperti gempa bumi, pertimbangan di sekitar struktur Massa sangat relevan dalam respons.Hasil seperti yang disajikan dalam makalah ini mengumpulkan informasi dan memenuhi kualifikasi asumsi pemodelan struktural yang biasa. Itu perbedaan yang diperoleh dengan model yang dikembangkan, menyoroti ketidakpastian intrinsik yang terlibat dalam tantangan membuat representasi perilaku struktural yang realistis. Dalam sudut pandang ini, representasi mekanik yang tepat perilaku hanya dapat dicapai dengan analisis kritis dan pengetahuan di sekitar keterbatasan masing-masing model. ini penting untuk ditekankan bahwa banyak struktur menghadirkan respons yang cenderung pada asumsi pegas-massa; dalam aspek ini penggunaan model serbaguna berdasarkan analisis FE yang dapat diterapkan untuk memecahkan masalah sederhana atau kompleks dapat menjamin desain yang lebih akurat