Tugas 2 Muhammad Attaritsabitsah Gibran

Permasalahan 1

Analisis Masalah

---

1. Satelit berevolusi di bumi, bukan di matahari. Karena bumi memiliki bentuk yang oval, maka bumi memiliki nilai eksentrisitas (e = 0,017). Maka asumsi, jalur satelit yang diambil juga memiliki nilai eksentrisitas yang sama.

2. Jarak R adalah jarak dari inti bumi ke satelit. Maka R merupakan kombinasi antara Jari-jari bumi + Ketinggian satelit dari Bumi. R merupakan koordinat polar, . R telah terobservasi di beberapa sudut yaitu -30, 0, dan 30 derajat. Seterusnya R di semua sudut diprediksi. Kemudian setelah itu bisa mendapatkan jarak R terendah.

3. Asumsikan nilai sudut kemiringan bumi diabaikan (yaitu sekitar 23,5 derajat) hal tersebut tidak mempengaruhi nilai (pada perhitungan manual)

Penyelesaian Manual

---

Dalam menyelesaikan soal, saya menggunakan Excel sebagai alat perhitungan manual. Saya mempertimbangkan mengapa demikian karena saya rasa soal yang saya ambil tidaklah mudah. Dengan itu, saya harus mengerjakan soal tersebut agar dapat keep in track. Saya telah menggunakan python awalnya, akan tetapi saya sering kehilangan arah secara tiba-tiba dikarenakan saya tidak bisa melihat hasil di interface tabel seperti Excel yang memudahkan saya membaca hasil soal.

Sebuah lintasan satelit berbentuk elips. Maka dari itu saya menggunakan persamaan elips sebagai acuannya. Referensi yang saya ambil adalah teori hukum pertama Kepler. Telah dijelaskan bahwa lintasan memiliki nilai eksentrisitas.

Saya hanya mengambil interval sudut sebesar 30 derajat. Hal tersebut sebenarnya terlalu sederhana. Seharusnya saya mendapatkan hasil di seluruh sudut. Hal tersebut dapat terealisasi bila menggunakan pemrograman python.

Sebuah elips memiliki persamaan

r = a(1– e^2) / (1+ e cos φ)

a = r (1+ e cos φ)/(1– e^2)

Dimana e adalah nilai eksentrisitas. Nilai e berkisar antara 0<e<1. Jika e = 0, maka elips berbentuk lingkaran sempurna. Kemudian fungsi cos memberikan pengertian nilai yang naik turun yang digambarkan dalam grafik cos.

Saya memasukkan nilai yang telah terobservasi di baris R. Kemudian di baris R terdapat banyak sel kosong, dimaksudkan adalah nilai prediksi dari posisi R satelit.

nilai a adalah nilai R di sudut sebelumnya. Misalnya nilai a di kolom 0 derajat adalah prediksi nilai R di kolom 30 derajat sebelumnya (-30 derajat).

Pada gambar, nilai R tertinggi ada pada sudut 60 derajat. Akan tetapi secara pasti belum tentu. Hal tersebut karena saya mengambil interval 30 derajat. Maka sudut 60 derajat hanyalah pendekatan. R tertinggi secara pasti tidak dapat ditentukan bila tidak mengambil semua data. Maka nilai R tertinggi ada disekitar 60 derajat

Bantuan Programming

---

Saya menemukan bahwa soal ini lebih mudah bila dikerjakan menggunakan metode newton raphson. Karena hal tersebut yang paling mudah dan cepat. Tetapi saya harus menyiapkan modul newtonRaphson terlebih dahulu karena belum ada di library umum. Untuk menyiapkan modul newtonRaphson (spesifiknya newtonRaphson2), saya mendapat sumber dari buku acuan kelas. Berikut modul newtonRaphson2

Modul newtonraphson

modul raphson2 membutuhkan numpy, dan gaussPivot. Untuk numpy saya hanya tinggal menginstall secara biasa, karena merupakan modul yang sudah umum. Sedangkan modul gaussPivot saya harus membuat modul tersebut sendiri, lagi-lagi dari buku acuan kelas. Berikut modul gaussPivot yang juga membutuhkan modul error handling dan swap, karena berhubungan dengan matriks

Modul gausspivot

Modul Error dan Swap

Setelah penyiapan modul newtonraphson, saya bisa memulai menulis coding untuk program ini. Setelah menelisik beberapa referensi kasar, saya dapat menyelesaikan proses programming tersebut.

Pemrograman

Hasil

Pertama-tama saya harus menyimpan nilai yang telah diketahui. Yaitu hasil observasi yang telah ada di soal. Yaitu data jari-jari jalur satelit dan sudutnya (dalam bentuk derajat). Kemudian diberikan fungsi f(x), dimana setiap x adalah sudut-sudut hasil observasi tersebut. Lalu saya dapat nilai C, e, dan sudut a dengan mengolah data tersebut. Kemudian dengan menggunakan metode Newton Raphson. Metode ini menurunkan fungsi, sehingga didapat X(n)- X(n-1) bernilai 0, sehingga akar persamaan f dapat ditarik. Dengan x adalah C, e, dan sudut a awal. Untuk menentukan nilai sudut maksimum dan minimum saya masih belum mengerti konsepnya.

Saya menggunakan alat tambahan matplotlib untuk memplot lintasan satelit. Algoritma tersebut saya dapatkan dari hasil penelusuran.

Komentar

---

Saya cukup puas dengan hasil yang diberikan algoritma tersebut. Akan tetapi hasil dari programming di phyton sedikit berbeda dengan perhitungan manual. Dalam perhitungan manual misalnya, sudut saat R maksimum di kisaran 60-90 derajat. Kemudian di algoritma, nilai R maksimum secara spesifik pada 70 derajat. Sedangkan titik terendah, pada perhitungan manual tidak sesuai dengan perhitungan numerik secara coding.

Evaluasi

---

Saya belum mengerti secara lengkap mengenai newton raphson. Masih banyak sumber yang saya pakai untuk mengerjakan soal tersebut. Maka dari itu saya harus mendalami metode yang saya gunakan, atau secara umumnya pada Bab 4, roots of equation dimana banyak metode-metode lain yang bisa saya gunakan.