Difference between revisions of "Muhammad Faridz Athaya"
(5 intermediate revisions by the same user not shown) | |||
Line 541: | Line 541: | ||
Asumsi: | Asumsi: | ||
− | + | *Diasumsikan tidak ada bending karena bersifat truss | |
− | + | *Beban terdistribusi pada node | |
− | + | *Safety Factor = 2 | |
− | + | *Batas displacement 0,001m sebelum terjadi buckling | |
− | + | *Variabel bebas | |
− | Constraint | + | |
− | + | Constraint | |
− | + | *Node 1,2,3,4 (lantai dasar) fixed | |
− | 1. Node 13 & 16 = 1000N | + | *Beban F1 dan F2 terdistribusi ke node sekitaranya, sehingga: |
− | 2. Node 14 & 15 = 500N | + | 1.) Node 13 & 16 = 1000N |
+ | 2.) Node 14 & 15 = 500N | ||
'''3. Mengasumsikan Solusi Pada Masalah''' | '''3. Mengasumsikan Solusi Pada Masalah''' | ||
Line 563: | Line 564: | ||
1. Elasticity Tetap | 1. Elasticity Tetap | ||
+ | Dengan Material Besi Siku SS316 | ||
[[File:Captureasdafsaf.PNG|700px|thumb|center]] | [[File:Captureasdafsaf.PNG|700px|thumb|center]] | ||
Line 572: | Line 574: | ||
'''5. Membuat Model Numerik''' | '''5. Membuat Model Numerik''' | ||
− | + | ''Menghitung Stress, Displacement, Reaction'' | |
model Tugas_Besar_Faridz | model Tugas_Besar_Faridz | ||
Line 582: | Line 584: | ||
parameter Real Elas= 193.0+9; //Elasticity Material (Pa) | parameter Real Elas= 193.0+9; //Elasticity Material (Pa) | ||
//define connection | //define connection | ||
− | parameter Integer C[:,2]=[ 1,5; // (1) | + | parameter Integer C[:,2]=[ 1,5; //(1) |
2,6; // (2) | 2,6; // (2) | ||
3,7; // (3) | 3,7; // (3) | ||
Line 747: | Line 749: | ||
end Tugas_Besar_Faridz; | end Tugas_Besar_Faridz; | ||
− | + | ''Model Curve Fitting'' | |
model callcurve | model callcurve | ||
Line 757: | Line 759: | ||
end callcurve; | end callcurve; | ||
− | + | ''Function'' | |
function Curve_Fitting | function Curve_Fitting | ||
Line 781: | Line 783: | ||
end Curve_Fitting; | end Curve_Fitting; | ||
− | + | ''Optimasi Rangka'' | |
model Optimasi_Rangka | model Optimasi_Rangka | ||
Line 844: | Line 846: | ||
Maka didapatkan data | Maka didapatkan data | ||
[[File:Hasil Komputasi Elasticity Tetap.PNG|700px|thumb|center]] | [[File:Hasil Komputasi Elasticity Tetap.PNG|700px|thumb|center]] | ||
+ | [[File:Elasticity graph.PNG|700px|thumb|center]] | ||
Kemudian dilakukan Optimasi dengan menggunakan Golden Ratio yang kemudian didapatkan data | Kemudian dilakukan Optimasi dengan menggunakan Golden Ratio yang kemudian didapatkan data | ||
[[File:Screenshot (914).png|700px|thumb|center]] | [[File:Screenshot (914).png|700px|thumb|center]] | ||
+ | |||
+ | Dapat disimpulkan bahwa area optimum siku untuk rangka sederhana pada soal dengan menggunakan material SS316 adalah 20x20x3mm | ||
'''Area Tetap''' | '''Area Tetap''' | ||
− | [[File:Area | + | Untuk menentukan material optimum siku dengan dimensi siku 30x30x3mm, dilakukan perhitungan: |
− | [[File:Area | + | |
+ | [[File:Hasil perhitungan area locked.png|400px]] | ||
+ | |||
+ | Kemudian dilakukan curve fitting terhadap data SF/Cost dan dilakukan optimasi: | ||
+ | |||
+ | {|class="wikitable" | ||
+ | | [[File:Curve-fitting dan optimasi area locked.png|200px]] || [[File:Area-Locked Graph.png|500px]] | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Dapat disimpulkan bahwa area optimum siku untuk rangka sederhana pada soal dengan menggunakan dimensi 30x30x3mm adalah SS 304 | ||
+ | |||
+ | == UAS == | ||
+ | |||
+ | [[File:615464.jpg|700px|thumb|center]] | ||
+ | [[File:615465.jpg|700px|thumb|center]] | ||
+ | |||
+ | Model yang digunakan | ||
+ | |||
+ | model UAS_Faridz | ||
+ | //define initial variable | ||
+ | parameter Integer Points = size(P, 1); | ||
+ | //Number of Points | ||
+ | parameter Integer Trusses = size(C, 1); | ||
+ | //Number of Trusses | ||
+ | parameter Real Yield = 214e6; | ||
+ | //Yield Strength (Pa) | ||
+ | parameter Real Area = 25; | ||
+ | //Area L Profile | ||
+ | parameter Real Elas = 68.9e9; | ||
+ | //Elasticity Al 6061 (Pa) | ||
+ | //define connection | ||
+ | parameter Integer C[:, 2] = [1, 2; 1, 3; 1, 4]; | ||
+ | //define coordinates (please put orderly) | ||
+ | parameter Real P[:, 6] = [0, 0, 0, 1, 1, 1; //1 | ||
+ | 6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1; //2 | ||
+ | 6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1; //3 | ||
+ | 6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1]; //4 | ||
+ | //define external force (please put orderly) | ||
+ | parameter Real F[Points * 3] = {0,0,0,0,3708180,0,0,3708180,0,0,3708180,0}; | ||
+ | //solution | ||
+ | Real displacement[N], reaction[N]; | ||
+ | Real check[3]; | ||
+ | Real stress1[Trusses]; | ||
+ | Real safety[Trusses]; | ||
+ | Real dis[3]; | ||
+ | Real Str[3]; | ||
+ | protected | ||
+ | parameter Integer N = 3 * Points; | ||
+ | Real q1[3], q2[3], g[N, N], G[N, N], G_star[N, N], id[N, N] = identity(N), cx, cy, cz, L, X[3, 3]; | ||
+ | Real err = 10e-10, ers = 10e-4; | ||
+ | algorithm | ||
+ | //Creating Global Matrix | ||
+ | G := id; | ||
+ | for i in 1:Trusses loop | ||
+ | for j in 1:3 loop | ||
+ | q1[j] := P[C[i, 1], j]; | ||
+ | q2[j] := P[C[i, 2], j]; | ||
+ | end for; | ||
+ | L := Modelica.Math.Vectors.length(q2 - q1); | ||
+ | cx := (q2[1] - q1[1]) / L; | ||
+ | cy := (q2[2] - q1[2]) / L; | ||
+ | cz := (q2[3] - q1[3]) / L; | ||
+ | X := Area * Elas / L * [cx ^ 2, cx * cy, cx * cz; cy * cx, cy ^ 2, cy * cz; cz * cx, cz * cy, cz ^ 2]; | ||
+ | g := zeros(N, N); | ||
+ | for m, n in 1:3 loop | ||
+ | g[3 * (C[i, 1] - 1) + m, 3 * (C[i, 1] - 1) + n] := X[m, n]; | ||
+ | g[3 * (C[i, 2] - 1) + m, 3 * (C[i, 2] - 1) + n] := X[m, n]; | ||
+ | g[3 * (C[i, 2] - 1) + m, 3 * (C[i, 1] - 1) + n] := -X[m, n]; | ||
+ | g[3 * (C[i, 1] - 1) + m, 3 * (C[i, 2] - 1) + n] := -X[m, n]; | ||
+ | end for; | ||
+ | G_star := G + g; | ||
+ | G := G_star; | ||
+ | end for; | ||
+ | //Solving Matrix | ||
+ | //Transforming to global matrix | ||
+ | //Implementing boundary | ||
+ | for x in 1:Points loop | ||
+ | if P[x, 4] <> 0 then | ||
+ | for a in 1:Points * 3 loop | ||
+ | G[x * 3 - 2, a] := 0; | ||
+ | G[x * 3 - 2, x * 3 - 2] := 1; | ||
+ | end for; | ||
+ | end if; | ||
+ | if P[x, 5] <> 0 then | ||
+ | for a in 1:Points * 3 loop | ||
+ | G[x * 3 - 1, a] := 0; | ||
+ | G[x * 3 - 1, x * 3 - 1] := 1; | ||
+ | end for; | ||
+ | end if; | ||
+ | if P[x, 6] <> 0 then | ||
+ | for a in 1:Points * 3 loop | ||
+ | G[x * 3, a] := 0; | ||
+ | G[x * 3, x * 3] := 1; | ||
+ | end for; | ||
+ | end if; | ||
+ | end for; | ||
+ | //Solving displacement | ||
+ | displacement := Modelica.Math.Matrices.solve(G, F); | ||
+ | //Solving reaction | ||
+ | reaction := G_star * displacement - F; | ||
+ | //Eliminating float error | ||
+ | for i in 1:N loop | ||
+ | reaction[i] := if abs(reaction[i]) <= err then 0 else reaction[i]; | ||
+ | displacement[i] := if abs(displacement[i]) <= err then 0 else displacement[i]; | ||
+ | end for; | ||
+ | //Checking Force | ||
+ | check[1] := sum({reaction[i] for i in 1:3:N - 2}) + sum({F[i] for i in 1:3:N - 2}); | ||
+ | check[2] := sum({reaction[i] for i in 2:3:N - 1}) + sum({F[i] for i in 2:3:N - 1}); | ||
+ | check[3] := sum({reaction[i] for i in 3:3:N}) + sum({F[i] for i in 3:3:N}); | ||
+ | for i in 1:3 loop | ||
+ | check[i] := if abs(check[i]) <= ers then 0 else check[i]; | ||
+ | end for; | ||
+ | //Calculating stress in each truss | ||
+ | for i in 1:Trusses loop | ||
+ | for j in 1:3 loop | ||
+ | q1[j] := P[C[i, 1], j]; | ||
+ | q2[j] := P[C[i, 2], j]; | ||
+ | dis[j] := abs(displacement[3 * (C[i, 1] - 1) + j] - displacement[3 * (C[i, 2] - 1) + j]); | ||
+ | end for; | ||
+ | L := Modelica.Math.Vectors.length(q2 - q1); | ||
+ | cx := (q2[1] - q1[1]) / L; | ||
+ | cy := (q2[2] - q1[2]) / L; | ||
+ | cz := (q2[3] - q1[3]) / L; | ||
+ | X := Elas / L * [cx ^ 2, cx * cy, cx * cz; cy * cx, cy ^ 2, cy * cz; cz * cx, cz * cy, cz ^ 2]; | ||
+ | Str := X * dis; | ||
+ | stress1[i] := Modelica.Math.Vectors.length(Str); | ||
+ | end for; | ||
+ | //Solving Matrix | ||
+ | //Safety factor | ||
+ | for i in 1:Trusses loop | ||
+ | if stress1[i] > 0 then | ||
+ | safety[i] := Yield / stress1[i]; | ||
+ | else | ||
+ | safety[i] := 0; | ||
+ | end if; | ||
+ | end for; | ||
+ | end UAS_Faridz; | ||
+ | |||
+ | Hasil yang didapatkan | ||
+ | |||
+ | Stress | ||
+ | [[File:615470.jpg|700px|thumb|center]] | ||
+ | |||
+ | Reaction | ||
+ | [[File:615471.jpg|700px|thumb|center]] | ||
+ | |||
+ | Displacement | ||
+ | [[File:615472.jpg|700px|thumb|center]] |
Latest revision as of 21:47, 14 January 2021
بِسْمِ اللهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيْمِ
السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُ
Contents
Biodata
Nama : Muhammad Faridz Athaya
NPM : 1806149160
TTL : Jakarta, 12 Oktober 1999
Tempat Tinggal: Jatisampurna
Faridz merupakan mahasiswa semester 5 jurusan teknik mesin di Universitas Indonesia. Selama dua tahun di Universitas Indonesia, Faridz cukup aktif dalam berorganisasi di lingkup Fakultas Teknik. Dimana Faridz memiliki pengalaman organisasi di IMM FTUI dan BEM FTUI di tahun pertama, dan diamanahkan sebagai Ketua IMM FTUI di tahun ini hingga bulan desember nanti. Sebagai seorang mahasiswa, Faridz mempunyai mimpi untuk dapat menginspirasi banyak orang dan membawa kebaikan bagi lingkungannya. Oleh karena itu, Faridz selalu berusaha aktif dan memberikan manfaat lewat organisasi dan belajar dengan tekun agar ilmu yang dipelajari akan bermanfaat bagi agama, bangsa, dan negara di kemudian hari. Insha Allah dengan niat yang tulus dan semangat menebar kebaikan, apa yang diimpikan oleh Faridz akan tercapai
Sebelum UTS
Sebelum UTS kami diajarkan oleh Pak Dr. Ir. Engkos A. Kosasih, M. T., dimana materi yang diajarkan adalah
- Deret Mclaurin & Deret Taylor, dengan metode forward, center, dan backward
- Bracketing Methods dan Open Methods, dimana bracketing methods meliputi graphical methods, bisection methods, dan false-position methods sedangkan open methods meliputi simple fixed-point iteration, newton-raphson methods, secant methods, dan brents methods
- Mencari nilai interpolasi dan regresi linier menggunakan matriks
Minggu 1 (11 November 2020)
Pada pertemuan pertama, Pak Dr. Ir. Ahmad Indra Siswantara memperkenalkan kami dengan situs wiki air dan kami diarahkan juga untuk membuat page kami sendiri di situs tersebut. Dimana nantinya kami harus mengupdate dan mereview setiap pertemuan dengan Pak Dr. Ir. Ahmad Indra Siswantara, beliau juga memberi tahu kepada kami tujuan mempelajari Metode Numerik, yaitu untuk memahami konsep dan prinsip dasar metode numerik, mengerti bagaimana mengaplikasikannya, dan mampu menerapkannya pada persoalan yang berbau keteknikan
Setelah melaksanakan kelas metode numerik pada minggu pertama, kami diberikan tugas untuk membuat video tutorial mengenai pemakaian aplikasi OpenModelica pada suatu pekerjaan. Dimana saya akhirnya memilih untuk mengangkat video tutorial membuat Feedback Control System Sederhana dengan aplikasi OpenModelica sebagai tugas saya. Dalam membuat Feedback Control System Sederhana, saya menggunakan Step sebagai Sourcenya, Feedback, PID dan Second Order yang parameternya bisa dilihat pada gambar di bawah ini
Untuk penjelasan lebih lengkap, dapat dilihat video tutorial saya dalam membuat Feedback Control System Sederhana pada
Minggu 2 (18 November 2020)
Dalam lebih mendalami materi yang sudah disampaikan di minggu kedua, saya menguji matriks 5x5 yang saya buat sendiri dan saya coba menyelesaikannya dengan OpenModelica, berikut matriks yang akan saya uji
Disini saya menggunakan metode Gauss Elimination. OpenModelica memiliki function yang sudah tersedia untuk menyelesaikan matriks X*a = Y, dimana X merupakan matriks 5 x 5 pada ruas kiri persamaan, Y merupakan hasil dari persamaan yang berada pada ruas kanan persamaan, dan a merupakan nilai yang ingin dicari. Function yang tersedia ini bernama solve dan kita dapat menggunakannya dengan mengetik Modelica.Math.Matrices.solve pada algoritma. Untuk memudahkan eksekusi pada class, saya membuat function terlebih dahulu dengan X dan Y sebagai input serta a sebagai output.
Berikut merupakan class yang saya buat untuk mempermudah menyelesaikan permasalahan yang saya uji
Setelah itu, saya mulai simulasikan fungsi yang sudah saya buat dengan memanggil class ke fungsi yang saya buat, sehingga didapatkan jawaban dengan membentuk grafik sebagai berikut
Dari grafik di atas, maka didapatkan nilai a masing-masing adalah:
- a1 = -70.358
- a2 = 53.333
- a3 = -22.368
- a4 = -9.9111
- a5 = 37.0032
Untuk lebih lengkapnya, dapat ditonton melalui video tutorial yang saya buat dan upload di youtube
Minggu 3 (25 November 2020)
Tugas 1 (Example 3.1)
Persamaan model Trusses parameter Integer N=10; //Global matrice = 2*points connected parameter Real A=8; parameter Real E=1.9e6; Real G[N,N]; //global Real Ginitial[N,N]; //global Real Sol[N]; //global dispplacement Real X[N]={0,0,0,0,0,0,0,-500,0,-500}; Real R[N]; //global reaction force Real SolMat[N,1]; Real XMat[N,1]; //boundary coundition Integer b1=1; Integer b2=3; //truss 1 parameter Real X1=0; //degree between truss Real k1=A*E/36; Real K1[4,4]; //stiffness matrice Integer p1a=1; Integer p1b=2; Real G1[N,N]; //truss 2 parameter Real X2=135; //degree between truss Real k2=A*E/50.912; Real K2[4,4]; //stiffness matrice Integer p2a=2; Integer p2b=3; Real G2[N,N]; //truss 3 parameter Real X3=0; //degree between truss Real k3=A*E/36; Real K3[4,4]; //stiffness matrice Integer p3a=3; Integer p3b=4; Real G3[N,N]; //truss 4 parameter Real X4=90; //degree between truss Real k4=A*E/36; Real K4[4,4]; //stiffness matrice Integer p4a=2; Integer p4b=4; Real G4[N,N]; //truss 5 parameter Real X5=45; //degree between truss Real k5=A*E/50.912; Real K5[4,4]; //stiffness matrice Integer p5a=2; Integer p5b=5; Real G5[N,N]; //truss 6 parameter Real X6=0; //degree between truss Real k6=A*E/36; Real K6[4,4]; //stiffness matrice Integer p6a=4; Integer p6b=5; Real G6[N,N]; /* for each truss, please ensure pXa is lower then pXb (X represents truss element number) */ algorithm //creating global matrice K1:=Stiffness_Matrices(X1); G1:=k1*Local_Global(K1,N,p1a,p1b); K2:=Stiffness_Matrices(X2); G2:=k2*Local_Global(K2,N,p2a,p2b); K3:=Stiffness_Matrices(X3); G3:=k3*Local_Global(K3,N,p3a,p3b); K4:=Stiffness_Matrices(X4); G4:=k4*Local_Global(K4,N,p4a,p4b); K5:=Stiffness_Matrices(X5); G5:=k5*Local_Global(K5,N,p5a,p5b); K6:=Stiffness_Matrices(X6); G6:=k6*Local_Global(K6,N,p6a,p6b); G:=G1+G2+G3+G4+G5+G6; Ginitial:=G; //implementing boundary condition for i in 1:N loop G[2*b1-1,i]:=0; G[2*b1,i]:=0; G[2*b2-1,i]:=0; G[2*b2,i]:=0; end for; G[2*b1-1,2*b1-1]:=1; G[2*b1,2*b1]:=1; G[2*b2-1,2*b2-1]:=1; G[2*b2,2*b2]:=1; //solving displacement Sol:=Gauss_Jordan(N,G,X); //solving reaction force SolMat:=matrix(Sol); XMat:=matrix(X); R:=Reaction_Trusses(N,Ginitial,SolMat,XMat); end Trusses; |
Homework
Persamaan class Trusses_HW parameter Integer N=8; //Global matrice = 2*points connected parameter Real A=0.001; //Area m2 parameter Real E=200e9; //Pa Real G[N,N]; //global Real Ginitial[N,N]; //global Real Sol[N]; //global dispplacement Real X[N]={0,0,-1035.2762,-3863.7033,0,0,-1035.2762,-3863.7033}; Real R[N]; //global reaction force Real SolMat[N,1]; Real XMat[N,1]; //boundary condition Integer b1=1; Integer b2=3; //truss 1 parameter Real X1=0; //degree between truss Real k1=A*E/1; Real K1[4,4]; //stiffness matrice Integer p1a=1; Integer p1b=2; Real G1[N,N]; //truss 2 parameter Real X2=0; //degree between truss Real k2=A*E/1; Real K2[4,4]; //stiffness matrice Integer p2a=2; Integer p2b=3; Real G2[N,N]; //truss 3 parameter Real X3=90; //degree between truss Real k3=A*E/1.25; Real K3[4,4]; //stiffness matrice Integer p3a=2; Integer p3b=4; Real G3[N,N]; //truss 4 parameter Real X4=90+38.6598; //degree between truss Real k4=A*E/1.6; Real K4[4,4]; //stiffness matrice Integer p4a=1; Integer p4b=4; Real G4[N,N]; //truss 5 parameter Real X5=90-38.6598; //degree between truss Real k5=A*E/1.6; Real K5[4,4]; //stiffness matrice Integer p5a=3; Integer p5b=4; Real G5[N,N]; /* for each truss, please ensure pXa is lower then pXb (X represents truss element number) */ algorithm //creating global matrice K1:=Stiffness_Matrices(X1); G1:=k1*Local_Global(K1,N,p1a,p1b); K2:=Stiffness_Matrices(X2); G2:=k2*Local_Global(K2,N,p2a,p2b); K3:=Stiffness_Matrices(X3); G3:=k3*Local_Global(K3,N,p3a,p3b); K4:=Stiffness_Matrices(X4); G4:=k4*Local_Global(K4,N,p4a,p4b); K5:=Stiffness_Matrices(X5); G5:=k5*Local_Global(K5,N,p5a,p5b); G:=G1+G2+G3+G4+G5; Ginitial:=G; //implementing boundary condition for i in 1:N loop G[2*b1-1,i]:=0; G[2*b1,i]:=0; G[2*b2-1,i]:=0; G[2*b2,i]:=0; end for; G[2*b1-1,2*b1-1]:=1; G[2*b1,2*b1]:=1; G[2*b2-1,2*b2-1]:=1; G[2*b2,2*b2]:=1; //solving displacement Sol:=Gauss_Jordan(N,G,X); //solving reaction force SolMat:=matrix(Sol); XMat:=matrix(X); R:=Reaction_Trusses(N,Ginitial,SolMat,XMat); end Trusses_HW; |
Fungsi Panggil
Matrice Transformation
function Stiffness_Matrices input Real A; Real Y; output Real X[4,4]; Real float_error = 10e-10; final constant Real pi=2*Modelica.Math.asin(1.0); algorithm Y:=A/180*pi; X:=[(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y); Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2; -(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y); -Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2]; for i in 1:4 loop for j in 1:4 loop if abs(X[i,j]) <= float_error then X[i,j] := 0; end if; end for; end for; end Stiffness_Matrices;
Global Element Matrice
function Local_Global input Real Y[4,4]; input Integer B; input Integer p1; input Integer p2; output Real G[B,B]; algorithm for i in 1:B loop for j in 1:B loop G[i,j]:=0; end for; end for; G[2*p1,2*p1]:=Y[2,2]; G[2*p1-1,2*p1-1]:=Y[1,1]; G[2*p1,2*p1-1]:=Y[2,1]; G[2*p1-1,2*p1]:=Y[1,2]; G[2*p2,2*p2]:=Y[4,4]; G[2*p2-1,2*p2-1]:=Y[3,3]; G[2*p2,2*p2-1]:=Y[4,3]; G[2*p2-1,2*p2]:=Y[3,4]; G[2*p2,2*p1]:=Y[4,2]; G[2*p2-1,2*p1-1]:=Y[3,1]; G[2*p2,2*p1-1]:=Y[4,1]; G[2*p2-1,2*p1]:=Y[3,2]; G[2*p1,2*p2]:=Y[2,4]; G[2*p1-1,2*p2-1]:=Y[1,3]; G[2*p1,2*p2-1]:=Y[2,3]; G[2*p1-1,2*p2]:=Y[1,4]; end Local_Global;
Reaction Matrice Equation
function Reaction_Trusses input Integer N; input Real A[N,N]; input Real B[N,1]; input Real C[N,1]; Real X[N,1]; output Real Sol[N]; Real float_error = 10e-10; algorithm X:=A*B-C; for i in 1:N loop if abs(X[i,1]) <= float_error then X[i,1] := 0; end if; end for; for i in 1:N loop Sol[i]:=X[i,1]; end for; end Reaction_Trusses;
Minggu 4 (2 Desember 2020)
Kuis:
Membuat Flowchart untuk penyelesaian soal nomor 4
Tugas Minggu 4
Dalam mengerjakan soal tersebut, saya pertama membuat flow chart dan class diagramnya terlebih dahulu
Kemudian, saya membuat FBD terlebih dahulu untuk mencari data-data yang diperlukan, yaitu node, sudut, luas, modulus elastisitas, dan panjang dari tiap batang yang nantinya akan menjadi data yang mempermudah saya dalam menyelesaikan permasalahannya lewat OpenModelica
Nilai k dapat didapatkan dengan rumus k=AE/L. Setelah mendapat nilai k setiap batang, nilai tersebut akan digunakan untuk membuat matriks K elemental (Ke) setiap batang.
Kemudian matriks 6x6 tersebut akan dibuat menjadi matriks 12x12 sesuai dengan jumlah batang (3) * jumlah node (4). Ini disebut matriks kekakuan global (Kg).
Kemudian untuk mendapatkan matriks kekakuan global total (KgTot), saya menjumlahkan matriks kekakuan global setiap batang
Pada soal ini, node 2,3, dan 4 merupakan pinned. Sehingga diberikan boundary pada matriks kekakuan global sebagai berikut U2X=U2Y=U2Z=U3X=U3Y=U3Z=U4X=U4Y=U4Z=0.
Untuk mencari displacement-nya digunakan gauss jordan untuk menyelesaikan matriks dengan F sebagai external load
Sedangkan untuk mencari reaction menggunakan persamaan R=Kg*U - F.
Setelah semua function telah dibuat, maka dibuat class
Setelah disimulasikan dihasilkan nilai Displacement (U) dan nilai R
Selengkapnya dapat dilihat dalam video berikut
Minggu 5
Pada pertemuan kelas pengganti, kami mereview ulang hal apa saja yang sudah kami terima dan serap selama perkuliahan Metode Numerik. Di kelas ini kami juga kembali mereview dan diajarkan tentang sistem trusses menggunakan OpenModelica dengan metode sharing dengan teman-teman yang mengerti.
Minggu 6 (16 Desember 2020)
Pada pertemuan minggu ke-6, kami diajarkan mengenai optimasi dengan menggunakan aplikasi OpenModelica. Optimasi merupakan cara untuk mendapatkan nilai minimum atau maksimum dari suatu permasalahan. Terdapat beberapa aspek yang diperhatikan dalam melakukan optimasi yaitu fungsi objektif dan ada juga konstrain. Pada kali ini Asisten Dosen yaitu Bu Chandra memberikan tutorial untuk melakukan optimasi menggunakan metode Bracket. Pada metode "Bracket Optimization Using Golden Ratio" terdapat satu graik yang mempunyai nilai f(x) global maks dan lokal maks serta terdapat f(x) global minimum dann lokal minimum. Pada pertemuan kali ini, Bu chandra mengajarkan sampai melakukan optimasi grafik tanpa sebuah konstrain.
Berikutnya kami diberikan contoh penggunaan optimasi pada OpenModelica sebagai berikut
Fungsi panggil
function f_obj3 import Modelica.Math; input Real x; output Real y; algorithm y:= 2*Math.sin(x)-x^2/10; end f_obj3;
setelah itu kita dapat membuat model optimasi sistem bracket sesuai yang diajarkan
model bracket_optimation3 parameter Integer n=8; Real x1[n]; Real x2[n]; Real xup; Real xlow; Real d; Real f1[n]; Real f2[n]; Real xopt; Real yopt; algorithm xup :=4; xlow:=0; for i in (1:n) loop d:= (5^(1/2)-1)/2*(xup-xlow); x1[i]:= xlow+d; x2[i]:= xup-d; f1[i]:= f_obj3(x1[i]); f2[i]:= f_obj3(x2[i]); if f1[i]>f2[i] then xup:= xup; xlow:= x2[i]; xopt:= xup; yopt:= f1[i]; else xlow:= xlow; xup:= x1[i]; xopt:= xup; end if; end for; end bracket_optimation3;
Tugas Besar: Aplikasi Numerik dalam Optimasi Design Struktur Rangka Sederhana
Pada tugas besar kali ini kita akan mendesign suatu rangka dengan cost yang yang serendah mungkin tetapi dengan kualitas yang optimum. Terdapat beberapa variabel yang diperhatikan diantaranya :
- 1. Harga material
- 2. Jenis material
- 3. Luas Cross Section
- 4. Penampang yang digunakan
Setelah itu kita akan melakukan optimasi dan membentuk kurva efisiensi harga dengan curve fitting menggunakan Metode numerik.
Flowchart Pengerjaan Tugas Besar
1. Mendefinisikan Masalah
2. Menentukan Asumsi Kondisi
Asumsi:
- Diasumsikan tidak ada bending karena bersifat truss
- Beban terdistribusi pada node
- Safety Factor = 2
- Batas displacement 0,001m sebelum terjadi buckling
- Variabel bebas
Constraint
- Node 1,2,3,4 (lantai dasar) fixed
- Beban F1 dan F2 terdistribusi ke node sekitaranya, sehingga:
1.) Node 13 & 16 = 1000N 2.) Node 14 & 15 = 500N
3. Mengasumsikan Solusi Pada Masalah
Untuk mencapai tujuan hal dapat dilakukan:
1. Mencari area paling optimum dengan membandingkan dimensi siku untuk menentukan dimensi siku paling optimum (Elastisitas menjadi variabel tetap, Area menjadi variabel bebas)
2. Mencari material paling optimum dengan membandingkan performance material pada area yang sama (Area menjadi variabel tetap, Elastisitas menjadi variabel bebas)
4. Research Data Profil Besi Siku
1. Elasticity Tetap Dengan Material Besi Siku SS316
2. Area Tetap
5. Membuat Model Numerik
Menghitung Stress, Displacement, Reaction
model Tugas_Besar_Faridz //define initial variable parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points parameter Integer Trusses=size(C,1); //Number of Trusses parameter Real Yield= 290.0e+6; //Yield Strength Material(Pa) parameter Real Area= 171.0e-6;//Luas Siku (Dimension=30x30x3mm) parameter Real Elas= 193.0+9; //Elasticity Material (Pa) //define connection parameter Integer C[:,2]=[ 1,5; //(1)
2,6; // (2) 3,7; // (3) 4,8; // (4) 5,6; // (5) 6,7; // (6) 7,8; // (7) 5,8; // (8) 5,9; // (9) 6,10; // (10) 7,11; // (11) 8,12; // (12) 9,10; // (13) 10,11;// (14) 11,12;// (15) 9,12; // (16) 9,13; // (17) 10,14;// (18) 11,15;// (19) 12,16;// (20) 13,14;// (21) 14,15;// (22) 15,16;// (23) 13,16];//(24)
//define coordinates (please put orderly) parameter Real P[:,6]=[ 0 ,0 ,0,1,1,1; //node 1
0.75,0 ,0,1,1,1; //node 2 0.75,0.6,0,1,1,1; //node 3 0 ,0.6,0,1,1,1; //node 4 0 ,0 ,0.3,0,0,0; //node 5 0.75,0 ,0.3,0,0,0; //node 6 0.75,0.6,0.3,0,0,0; //node 7 0 ,0.6,0.3,0,0,0; //node 8 0 ,0 ,1.05,0,0,0; //node 9 0.75,0 ,1.05,0,0,0; //node 10 0.75,0.6,1.05,0,0,0; //node 11 0 ,0.6,1.05,0,0,0; //node 12 0 ,0 ,1.8,0,0,0; //node 13 0.75,0 ,1.8,0,0,0; //node 14 0.75,0.6,1.8,0,0,0; //node 15 0 ,0.6,1.8,0,0,0]; //node 16
//define external force (please put orderly) parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,-1000, 0,0,-500, 0,0,-500, 0,0,-1000};
//solution Real displacement[N], reaction[N]; Real check[3]; Real stress1[Trusses]; Real safety[Trusses]; Real dis[3]; Real Str[3]; protected
parameter Integer N=3*Points; Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3]; Real err=10e-15, ers=10e-8;
algorithm //Creating Global Matrix G:=id; for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop q1[j]:=P[C[i,1],j]; q2[j]:=P[C[i,2],j]; end for; //Solving Matrix L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1); cx:=(q2[1]-q1[1])/L; cy:=(q2[2]-q1[2])/L; cz:=(q2[3]-q1[3])/L; X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz; cy*cx,cy^2,cy*cz; cz*cx,cz*cy,cz^2]; //Transforming to global matrix g:=zeros(N,N); for m,n in 1:3 loop g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n]; g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n]; g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n]; g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n]; end for; G_star:=G+g; G:=G_star;
end for; //Implementing boundary for x in 1:Points loop
if P[x,4] <> 0 then for a in 1:Points*3 loop G[(x*3)-2,a]:=0; G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1; end for; end if; if P[x,5] <> 0 then for a in 1:Points*3 loop G[(x*3)-1,a]:=0; G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1; end for; end if; if P[x,6] <> 0 then for a in 1:Points*3 loop G[x*3,a]:=0; G[x*3,x*3]:=1; end for; end if;
end for; //Solving displacement displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F); //Solving reaction reaction:=(G_star*displacement)-F; //Eliminating float error for i in 1:N loop
reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i]; displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
end for; //Checking Force check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))}); check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))}); check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)}); for i in 1:3 loop
check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
end for; //Calculating stress in each truss for i in 1:Trusses loop for j in 1:3 loop
q1[j]:=P[C[i,1],j]; q2[j]:=P[C[i,2],j]; dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
end for;
//Solving Matrix L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1); cx:=(q2[1]-q1[1])/L; cy:=(q2[2]-q1[2])/L; cz:=(q2[3]-q1[3])/L; X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz; cy*cx,cy^2,cy*cz; cz*cx,cz*cy,cz^2]; Str:=(X*dis); stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
end for; //Safety factor for i in 1:Trusses loop
if stress1[i]>0 then safety[i]:=Yield/stress1[i]; else safety[i]:=0; end if;
end for; end Tugas_Besar_Faridz;
Model Curve Fitting
model callcurve
parameter Real [12] X={564.0e-6,231.0e-6,864.0e-6,684.0e-6,475.0e-6,304.0e-6,171.0e-6,1.2e-3,1.7e-3,111.0e-6,141.0e-6,744.0e-6}; parameter Real [12] Y={1343500,564000,2064500,1506500,1115500,725000,414000,2919000,4048000,305000,347500,1598500}; Real [3] Coe;
algorithm
Coe:=Curve_Fitting(X,Y);
end callcurve;
Function
function Curve_Fitting
input Real X[:]; input Real Y[size(X,1)]; input Integer order=2; output Real Coe[order+1];
protected
Real Z[size(X,1),order+1]; Real ZTr[order+1,size(X,1)]; Real A[order+1,order+1]; Real B[order+1];
algorithm
for i in 1:size(X,1) loop for j in 1:(order+1) loop Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j); end for; end for;
ZTr:=transpose(Z); A:=ZTr*Z; B:=ZTr*Y; Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B); //Coe:=fill(2,size(Coe,1)); end Curve_Fitting;
Optimasi Rangka
model Optimasi_Rangka parameter Real xd[:]={564.0e-6,231.0e-6,864.0e-6,684.0e-6,475.0e-6,304.0e-6,171.0e-6,1.2e-3,1.7e-3,111.0e-6,141.0e-6,744.0e-6}; parameter Real yd[size(xd,1)]={5.05298e-5,4.88023e-5,5.036893e-5,5.05333e-5,5.04207e-5,4.96523e-5,4.75e-5,4.97833e-5,4.87359e-5,4.48627e-5,4.64403e-5,5.04956e-5}; parameter Real xlo=111e-6; parameter Real xhi=1.7e-3; parameter Integer N=10; // maximum iteration parameter Real es=0.0001; // maximum error
Real f1[N], f2[N], x1[N], x2[N], ea[N], y[3]; Real xopt, fx; protected Real d, xl, xu, xint, R=(5^(1/2)-1)/2;
algorithm xl := xlo; xu := xhi; y := Curve_Fitting(xd,yd);
for i in 1:N loop
d:= R*(xu-xl); x1[i]:=xl+d; x2[i]:=xu-d; f1[i]:=y[1]*x1[i]^2+y[2]*x1[i]+y[3]; f2[i]:=y[1]*x2[i]^2+y[2]*x2[i]+y[3]; xint:=xu-xl; if f1[i]>f2[i] then xl:=x2[i]; xopt:=x1[i]; fx:=f1[i]; else xu:=x1[i]; xopt:=x2[i]; fx:=f2[i]; end if; ea[i]:=(1-R)*abs((xint)/xopt); if ea[i]<es then break; end if;
end for; end Optimasi_Rangka;
7. Komputasi & Optimasi
- Nilai Stress
- Nilai Reaction
- Nilai Displacement
Elasticity Tetap
Hasil Curve Fitting
Maka didapatkan data
Kemudian dilakukan Optimasi dengan menggunakan Golden Ratio yang kemudian didapatkan data
Dapat disimpulkan bahwa area optimum siku untuk rangka sederhana pada soal dengan menggunakan material SS316 adalah 20x20x3mm
Area Tetap
Untuk menentukan material optimum siku dengan dimensi siku 30x30x3mm, dilakukan perhitungan:
Kemudian dilakukan curve fitting terhadap data SF/Cost dan dilakukan optimasi:
Dapat disimpulkan bahwa area optimum siku untuk rangka sederhana pada soal dengan menggunakan dimensi 30x30x3mm adalah SS 304
UAS
Model yang digunakan
model UAS_Faridz
//define initial variable parameter Integer Points = size(P, 1); //Number of Points parameter Integer Trusses = size(C, 1); //Number of Trusses parameter Real Yield = 214e6; //Yield Strength (Pa) parameter Real Area = 25; //Area L Profile parameter Real Elas = 68.9e9; //Elasticity Al 6061 (Pa) //define connection parameter Integer C[:, 2] = [1, 2; 1, 3; 1, 4]; //define coordinates (please put orderly) parameter Real P[:, 6] = [0, 0, 0, 1, 1, 1; //1 6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1; //2 6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1; //3 6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1]; //4 //define external force (please put orderly) parameter Real F[Points * 3] = {0,0,0,0,3708180,0,0,3708180,0,0,3708180,0}; //solution Real displacement[N], reaction[N]; Real check[3]; Real stress1[Trusses]; Real safety[Trusses]; Real dis[3]; Real Str[3];
protected
parameter Integer N = 3 * Points; Real q1[3], q2[3], g[N, N], G[N, N], G_star[N, N], id[N, N] = identity(N), cx, cy, cz, L, X[3, 3]; Real err = 10e-10, ers = 10e-4;
algorithm
//Creating Global Matrix G := id; for i in 1:Trusses loop for j in 1:3 loop q1[j] := P[C[i, 1], j]; q2[j] := P[C[i, 2], j]; end for; L := Modelica.Math.Vectors.length(q2 - q1); cx := (q2[1] - q1[1]) / L; cy := (q2[2] - q1[2]) / L; cz := (q2[3] - q1[3]) / L; X := Area * Elas / L * [cx ^ 2, cx * cy, cx * cz; cy * cx, cy ^ 2, cy * cz; cz * cx, cz * cy, cz ^ 2]; g := zeros(N, N); for m, n in 1:3 loop g[3 * (C[i, 1] - 1) + m, 3 * (C[i, 1] - 1) + n] := X[m, n]; g[3 * (C[i, 2] - 1) + m, 3 * (C[i, 2] - 1) + n] := X[m, n]; g[3 * (C[i, 2] - 1) + m, 3 * (C[i, 1] - 1) + n] := -X[m, n]; g[3 * (C[i, 1] - 1) + m, 3 * (C[i, 2] - 1) + n] := -X[m, n]; end for; G_star := G + g; G := G_star; end for;
//Solving Matrix //Transforming to global matrix //Implementing boundary
for x in 1:Points loop if P[x, 4] <> 0 then for a in 1:Points * 3 loop G[x * 3 - 2, a] := 0; G[x * 3 - 2, x * 3 - 2] := 1; end for; end if; if P[x, 5] <> 0 then for a in 1:Points * 3 loop G[x * 3 - 1, a] := 0; G[x * 3 - 1, x * 3 - 1] := 1; end for; end if; if P[x, 6] <> 0 then for a in 1:Points * 3 loop G[x * 3, a] := 0; G[x * 3, x * 3] := 1; end for; end if; end for;
//Solving displacement
displacement := Modelica.Math.Matrices.solve(G, F);
//Solving reaction
reaction := G_star * displacement - F;
//Eliminating float error
for i in 1:N loop reaction[i] := if abs(reaction[i]) <= err then 0 else reaction[i]; displacement[i] := if abs(displacement[i]) <= err then 0 else displacement[i]; end for;
//Checking Force
check[1] := sum({reaction[i] for i in 1:3:N - 2}) + sum({F[i] for i in 1:3:N - 2}); check[2] := sum({reaction[i] for i in 2:3:N - 1}) + sum({F[i] for i in 2:3:N - 1}); check[3] := sum({reaction[i] for i in 3:3:N}) + sum({F[i] for i in 3:3:N}); for i in 1:3 loop check[i] := if abs(check[i]) <= ers then 0 else check[i]; end for;
//Calculating stress in each truss
for i in 1:Trusses loop for j in 1:3 loop q1[j] := P[C[i, 1], j]; q2[j] := P[C[i, 2], j]; dis[j] := abs(displacement[3 * (C[i, 1] - 1) + j] - displacement[3 * (C[i, 2] - 1) + j]); end for; L := Modelica.Math.Vectors.length(q2 - q1); cx := (q2[1] - q1[1]) / L; cy := (q2[2] - q1[2]) / L; cz := (q2[3] - q1[3]) / L; X := Elas / L * [cx ^ 2, cx * cy, cx * cz; cy * cx, cy ^ 2, cy * cz; cz * cx, cz * cy, cz ^ 2]; Str := X * dis; stress1[i] := Modelica.Math.Vectors.length(Str); end for;
//Solving Matrix //Safety factor
for i in 1:Trusses loop if stress1[i] > 0 then safety[i] := Yield / stress1[i]; else safety[i] := 0; end if; end for;
end UAS_Faridz;
Hasil yang didapatkan
Stress
Reaction
Displacement