Metnum03-Samuel Sitompul

Biodata

Nama: Samuel Albert B C H Sitompul

NPM : 1606907556

Hobi: Membaca Buku

Pertemuan Minggu Pertama Metode Numerik 03 (9 November 2020)

Metode Numerik adalah salah satu mata kuliah yang sangat banyak penerapannya dalam dunia keteknikan. Mata kuliah ini salah satu mata kuliah yang cukup menarik karena penerapannya sangat luas dan bermanfaat. Sejauh ini yang telah saya pelajari sebelum UTS mencakup 3 materi besar yaitu mencari akar-akar, regresi linier, dan turunan numerik.

1. Mencari Akar-Akar

Pada materi ini, saya mempelajari metode-metode untuk mencari akar secara numerik. Beberapa metode yang saya pelajari adalah metode pencarian akar menggunakan Closed methods (Bracketing Method) dan Open Methods.

Metode Closed Methods merupakan metode pencarian akar-akar dengan menggunakan batas atas dan batas bawah untuk mencari akar dan mengukur persentasi error yang didapat untuk mendapat tingkat akurasi dari iterasi. Metode yang saya pelajari ada 3 yaitu Graphical Methods, Bisection Methods, dan False-Position Methods. Graphical Methods Sebuah metode sederhana yang menggunakan grafik untuk memperkirakan akar-akar suatu fungsi. Metode ini dilakukan dengan melakukan plotting dari suatu fungsi ke dalam bentuk grafik. Bisection Methods Metode ini merupakan salah satu jenis metode incremental search method yang menggunakan batas atas dan batas bawah untuk mempersempit area pencarian akar-akar. False-Position Methods Rumus False Position Method Metode ini sangat mirip dengan metode Bisection. Hal yang membedakan metode False-Position dengan Bisection adalah penentuan titik tengah dari batas-batas yang ditentukan. Penentuan titik tengah dari False-Position Method menggunakan persamaan berikut.

Metode Open Methods merupakan metode pencarian yang hanya menggunakan 1 titik untuk menemukan akar-akar. Metode ini dapat menggunakan turunan suatu fungsi untuk menentukan titik pengujian baru yang semakin dekat dengan nilai akar-akar yang diinginakn. Metode yang saya pelajari ada 3 yaitu Fixed-Point Iteration, Newton-Rapshon, dan Secant Method Fixed-Point Iteration Metode ini disebut juga metode iterasi sederhana, adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh: x=g(x) Newton-Raphson Rumus Newton Rapshon Metode ini menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Slop atau gradien didapatkan dengan melakukan turunan dari fungsi tersebut. Persamaan untuk Newton-Raphson adalah sebagai berikut: Secant Method Metode ini merupakan metode modifikasi Newton-Raphson dimana metode Newton-Raphson tidak digunakan (karena f'(x) sulit ditemukan atau tidak mungkin ditemukan). Persaman untuk metode Secant adalah sebagai berikut Rumus Secant

2. Regresi Linier

regresi linear adalah sebuah pendekatan untuk memodelkan hubungan antara variable terikat Y dan satu atau lebih variable bebas yang disebut X. Salah satu kegunaan dari regresi linear adalah untuk melakukan prediksi berdasarkan data-data yang telah dimiliki sebelumnya. Hubungan di antara variable-variabel tersebut disebut sebagai model regresi linear.

Persamaan umum Regresi Linier adalah sebagai berikut:

dimana:

3. Turunan Numerik

Turunan Numerik adalah menentukan hampiran nilai turunan fungsi f yang diberikan dalam bentuk tabel. Terdapat 3 pendekatan dalam menghitung turunan numerik:

Tugas Pertemuan 1: OpenModelica

Setelah pertemuan 1, pak Dai meminta kami untuk mempelajari OpenModelica

Untuk mempelajari OpenModelica, saya menggunakan referensi/tutorial dari YouTube dengan tautan berikut:

https://www.youtube.com/watch?v=SW5Eclf1tRs

https://www.youtube.com/watch?v=m0Ahs8fEN28&t=519s&ab_channel=NSTUFACE

Dari video-video tersebut saya diperkenalkan mengenai interface OpenModelica untuk pemula. Saya juga mempelajari bahwa OpenModelica menggunakan bahasa program Modelica untuk penggunaannya. Bahasa ini mirip dengan bahasa pemograman lain seperti python. Kelebihan yang saya lihat dari OpenModelica ini adalah program ini memiliki tools yang membantu mempermudah kita untuk membuat sistem dalam bentuk grafis atau skema. Model-model ini dapat kita aplikasikan dalam kehidupan nyata seperti membuat sistem elektrikal, magnetik, fluida, perpindahan panas, dsb.

Dalam konteks Metode Numerik, saya mempelajari bahwa OpenModelica dapat membantu kita dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam mata kuliah Metode Numerik dan memvisualisasikan penyelesaian tersebut dalam bentuk grafik, salah satunya adalah penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa atau ODE.

Contoh penyelesaian permasalahan ODE menggunakan OpenModelica adalah persamaan pendulum, yang didefinisikan sebagai berikut:

Dengan menggunakan referensi dari tautan kedua, saya membuat bahasa pemograman untuk menyelesaikan persamaan pendulum tersebut.

model pendulum
 Real y "variable state";
 Real x;
 parameter Real L=1 "pendulum length";
 constant Real g=9.80665;
initial equation
 y=9 "initial value";
equation
 x=der(y);
 der(x)+(g/L)*(y)=0 "differential equation";
annotation(experiment(StartTime = 0, StopTime = 100));
end pendulum;

Penyelesaian dari persamaan tersebut digambarkan dalam bentuk grafik sebagai berikut

Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa seiring berjalannya waktu, pendulum melakukan osilasi. Namun dapat dilihat bahwa pendulum tersebut tidak kembali ketitik semula seiring berjalannya waktu.

Dari pembelajaran ini, saya mempelajari bahwa OpenModelica merupakan tools yang berguna dalam pelajaran Metode Numerik.

Pertemuan Minggu Kedua Metode Numerik 03 (16 November 2020)

Pada pertemuan kedua kali ini, Kami diminta oleh Pak Dai untuk menunjukkan pemahaman kami mengenai tugas minggu lalu, yaitu mempelajari OpenModelica. Lalu kami melakukan simulasi dengan membuat program sederhana didalam OpenModelica untuk menjumlahkan 10 angka pada variabel.

Setelah kelas, Pak Dai memberikan tugas kepada kita untuk membuat simulasi untuk menyelesaikan persamaan aljabar simultan (bisa metode eliminasi gauss, metode gauss seidel, dsb.) Berikut adalah hasil percobaan saya untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar. Untuk simulasi ini, saya menggunakan metode eliminasi gauss untuk menyelesaikan permasalahan aljabar simultan.

Metode eliminasi gauss merupakan salah satu metode dalam menyelesaikan sebuah sistem persamaan dengan mengubah sistem persamaan tersebut kedalam bentuk matrix. Setelah diubah, lalu matrix yang berisi angka dipindah-ruaskan lalu diselesaikan sehingga didapat nilai-nilai dari variabel yang kita cari.

Berikut adalah model simulasi yang saya buat:

Saya mencoba menyelesaikan 5 sistem persamaan linier dengan metode eliminasi gauss dengan perintah "Modelica.Math.Matrices.solve(A,b)". Setelah melakukan pengecekan model, saya menjalankan simulasi dan melakukan plotting seusai simulasi. Berikut adalah hasil plotting tersebut:

dapat dilihat bahwa tiap garis menunjukkan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. Terdapat 5 solusi dari 5 sistem persamaan dengan 5 variabel

Pertemuan Minggu Ketiga Metode Numerik 03 (23 November 2020)

Di pertemuan hari ini, Pak Dai menjelaskan tentang aplikasi metode numerik untuk permasalahan-permasalahan teknik. Salah satunya adalah permasalahan sistem pegas-massa. Lalu pak Dai meminta kami untuk memahami permasalahan pada Figure 12.11 pada e-book Metode Numerik. Dengan mengubah sistem menjadi bentuk matrix, kita mendapatkan bentuk matrix dari sistem tersebut sebagai berikut:

Tugas Pertemuan 3

Setelah kelas, Pak Dai memberikan tugas untuk menyelesaikan soal berikut:

alur berpikir untuk menyelesaikan masalah :

1. Mengubah problem menjadi node dan elemen

2. Menentukan nilai Konstanta kekakuan/stiffness constant dari elemen

3. Menyusun dan menggabungkan matriks elemen-elemen

4. Menyusun dan menggabungkan matriks elemen-elemen

5. Menerapkan kondisi batas dan beban

6. Tahap pencarian solusi

7. Mendapatkan nilai gaya reaksi

8. Mendapatkan gaya Internal dan Normal Stress

Untuk menyelesaikan soal ini perlu dilakukan pengelompokan menjadi node dan elemen seperti pada tabel berikut:

lalu perlu dilakukan perhitungan nilai kekakuan pada elemen. Untuk elemen 1,3,5, dan 6 nilai kekakuannya adalah 4,22 x 10^5 lb/in. sedangkan untuk elemen 2, dan 4 nilai kekakuannya adalah 2,98 x 10^5 lb/in.

setelah itu perlu dilakukan analisis kekakuan pada tiap elemen dalam matriks koordinat global, kemudian dijumlahkan untuk mendapatkan K global. berikut adalah hasil penjumlahan dari nilai kekakuan tiap elemen:

disederhanakan menjadi

setelah mendapat matriks kekakuan, diterapkan kondisi batas dan beban. Untuk node 1 dan 3 adalah fixed, maka U1X=0, U1Y=0, U3X=0, U3Y=0 dan beban diberikan pada node 4 dan 5 sebesar F4Y= -500lb dan F5Y= -500lb

dengan menggunakan Hukum Hooke yaitu F=k.x, maka didapatkan persamaan defleksi menjadi

Persamaan diatas kemudian diselesaikan dengan OpenModelica, berikut saya lampirkan coding yang saya buat

setelah melakukan pengecekan dan simulasi, saya melakukan plotting. berikut hasil plotting simulasi tersebut.

hasil dapat dilihat pada panel di bagian kanan bawah gambar.

Untuk mendapatkan gaya reaksi, persamaannya adalah:

{R}=[K].{U}-{F}

diterapkan matriks-matriks yang sudah diketahui, didapat:

Persamaan diatas dapat diselesaikan oleh openmodelica. berikut adalah coding yang saya buat

hasil simulasi tersebut di plot sebagai berikut:

nilai R tiap node dapat dilihat di bagian kanan bawah gambar

PErtemuan Minggu Keempat (30 November 2020)

Quiz 1

Pada pertemuan minggu ke IV hari ini, Pak Dai mengadakan kuis untuk menguji kemampuan inidvidu kami, para peserta diberikan 2 buah soal kuis dan diminta untuk menuliskan flowchartynya. Berikut merupakan kedua soal kuisnya.

dan berikut merupakan tampilan flowchart pengerjaan sebagai jawaban soal kuis tersebut yang telah saya buat. Mengingat alur pengerjaan kedua soal tersebut hampir sama, maka tampilan flowchart tersebut merepresentasikan keduanya.

Tugas soal no. 4

Soal no.4

Soal No.4

1. Mengubah problem menjadi node dan elemen 2. Menentukan nilai Konstanta kekakuan/stiffness constant dari elemen Elemen 1,2 Elemen 3 Elemen 4,5 4. Menyusun dan menggabungkan matriks elemen-elemen Elemen Local Matrix Global Matrix Elemen 1,2 Elemen 3 Elemen 4,5 4. Menyusun dan menggabungkan matriks elemen-elemen 5. Menerapkan kondisi batas dan beban Kondisi batas untuk node 1, dan 3 adalah fixed External force pada node 2 dan 4 Dengan menerapkan Hukum Hooke, F= k. x, maka dalam persamaan matrix menjadi [F]=[K].[U]. Didapat 6. Tahap pencarian solusi Persamaan matriks diatas dapat diselesaikan dengan OpenModelica, berikut adalah pemograman yang saya buat setelah melakukan pengecekan dan simulasi, saya melakukan plotting terhadap hasil simulasi. berikut hasilnya:

terdapat permasalahan pada software openmodelica yang belum bisa saya temui pemecahannya, sehingga tidak dapat menyelesaikan solusi dari persamaan tersebut.

Pertemuan Minggu Kelima (7 Desember 2020)

pemanfaatan fungsi input automatis unutk mengurangi kesalahan input manual, berikut beberapa gambaran alur proses coding. ==>oleh edward josua, melihat codingnya josiah.

• banyak digunakan fungsi panggil dalam algoritma ini, diantaranya unutk mencari kekakuan , mencari matriks reaksi, serta untuk eliminasi gauss jordan, sehingga fungsi lebih simpel

• kemudain algoritma terdiri dari matriks lokal kemudian di gunakan fungsi stiffness yang dapat menjumlahkan matriks global , lokal. sehingga didaptkan jumlah matriks global. kemudain diterapkan booundary condition, boundary condition sebagai parameter untuk loop function

• kemudian digunakan fungsi gauss jordan untuk menenutkan defleksi, hasil komputasi di bentuk dalam matriks defleksi, kemudain dimasukan kedalamfunsi reaction trusses sehingga didapatkan solusi.

Dari penjelasan Ahmad Mohammad Fahmi,

gambar berikut menunjukan kembali alur proses pemikiran coding dari tugas trusses ini.

• fahmi menjelaskan juga dengan class yang sesuai akan mempermudah penyusunan coding karena akan di gunakan banyak proses looping untuk menghitung nilai defleksinya.

Kesimpulan tugas,

• menerapkan yang di coding oleh fahmi,kemudian menambahkan coding utnuk mengecek hasi sigam Fx Fy Fz, sehingga hasil lebih akurat(perhitungan coding tidak salah).

• menggunakan contoh soal dari pak dai yang di kirim di whatsapp;

• Mengupdate dan menulis di wiki, kemudian memberikan masukan untuk menyempurnakan coding tersebut.

Tugas 05

- Fungsi Matriks Elemen (Stiffness Matrix Element)

  function StiffnessMatrixElement
    input Real [:,6] inisiasi_mat;
    output Real [size(inisiasi_mat,1),6,6] Ke_mat;
   protected
    Real cos_x;
    Real cos_y; 
    Real [6] StiffTrig; 
    Real [6,6] StiffTrans;
    Real [size(inisiasi_mat,1)] k_vec;
  algorithm
    L := {(sqrt(inisiasi_mat[i,2]^2 + inisiasi_mat[i,3]^2 + inisiasi_mat[i,4]^2)) for i in 1:size(inisiasi_mat,1)};
    k_vec := {(inisiasi_mat[i,5] * inisiasi_mat[i,6] / L[i]) for i in 1:size(inisiasi_mat,1)};
    for i in 1:size(inisiasi_mat,1) loop
     StiffTrig := zeros(6);
     StiffTrans := zeros(6,6);
     cos_x := inisiasi_mat[i,2]/L[i];
     cos_y := inisiasi_mat[i,3]/L[i];
     cos_z := inisiasi_mat[i,4]/L[i];
     StiffTrig := {(cos_x)^2,
                   (cos_y)^2,
                   (cos_z)^2,
                   (cos_x*cos_y),
                   (cos_x*cos_z),
                   (cos_y*cos_z)};
     StiffTrans := [  StiffTrig[1],    StiffTrig[4],    StiffTrig[5], -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[5];
                      StiffTrig[4],    StiffTrig[2],    StiffTrig[6], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[2], -1*StiffTrig[6];
                      StiffTrig[5],    StiffTrig[6],    StiffTrig[3], -1*StiffTrig[5], -1*StiffTrig[6], -1*StiffTrig[3];
                      -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[5],    StiffTrig[1],    StiffTrig[4],    StiffTrig[5];
                      -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[2], -1*StiffTrig[6],    StiffTrig[4],    StiffTrig[2],    StiffTrig[6];
                      -1*StiffTrig[5], -1*StiffTrig[6], -1*StiffTrig[3],    StiffTrig[5],    StiffTrig[6],    StiffTrig[3]];
   for m in 1:6 loop
     for n in 1:6 loop
       Ke_mat[i,m,n] := k_vec[i] * StiffTrans[m,n];
     end for;
   end for;
  end for;
 end StiffnessMatrixElement;

- Stiffness Matrix Global
  function StiffnessMatrixGlobal
     input Integer [:,2] n;
     input Integer x;
     input Integer y;
     input Real [y,6,6] Ke_mat; 
     output Real [y,x,x] Kg_mat;
   algorithm
     Kg_mat:=zero(size(ke_mat,1),3*x,3*x);
    for i in 1:size(Ke_mat,1) loop
     Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,3,3];
     Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,3,2];
     Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,3,1];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,2,3];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,2,2];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,2,1];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,1,3];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,1,2];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,1,1];
     Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,6,6];
     Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,6,5];
     Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,6,4];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,5,6];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,5,5];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,5,4];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,4,6];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,4,5];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,4,4];
     Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,6,3];
     Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,6,2];
     Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,6,1];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,5,3];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,5,2];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,5,1];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,4,3];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,4,2];
     Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,4,1];
     Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,3,6];
     Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,3,5];
     Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,3,4];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,2,6];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,2,5];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,2,4];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,1,6];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,1,5];
     Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,1,4];
    end for;
  end StiffnessMatrixGlobal;

- Sum of Stiffness Matrix Global
  function SumStiffnessMatrixGlobal
    input Real [:,:,:] Kg_mat;
    output Real [size(Kg_mat,2),size(Kg_mat,2)] KgTot_mat;
   algorithm
    for a in 1:size(Kg_mat,2) loop
     for b in 1:size(Kg_mat,2) loop
      KgTot_mat[a,b] := sum(Kg_mat [:,a,b]);
     end for;
    end for;
  end SumStiffnessMatrixGlobal;

- Implement Boundary Condition
  function BoundaryStiffnessMatrixGlobal
    input Real [:,:] KgTot_met;
    input Integer[:] Boundary_xyz;
    input Integer[:] Boundary_xy;
    input Integer[:] Boundary_xz;
    input Integer[:] Boundary_yz;
    input Integer[:] Boundary_x;
    input Integer[:] Boundary_y;
    input Integer[:] Boundary_z;
    output Real [size(KgTot_met,1),size(KgTot_met,1)] KgB_met;
   algorithm
    for a in 1:size(KgTot_met,1) loop
     for b in 1:size(KgTot_met,1) loop
      KgB_met[a,b] := KgTot_met [a,b];
     end for;
    end for; 
    if Boundary_xyz[1] <> 0 then
     for i in 1:size(KgTot_met,1) loop
      for a in 1:size(Boundary_xyz,1) loop
       for b in 0:2 loop
        KgB_met[3*(Boundary_xyz[a])-b,i]:=0;
        KgB_met[3*Boundary_xyz[a]-b,3*Boundary_xyz[a]-b]:=1;
       end for;
      end for;
     end for;
    end if;
    if Boundary_xy[1] <> 0 then
     for i in 1:size(KgTot_met,1) loop
      for a in 1:size(Boundary_xy,1) loop
       for b in 1:2 loop
        KgB_met[3*(Boundary_xy[a])-b,i]:=0;
        KgB_met[3*Boundary_xy[a]-b,3*Boundary_xy[a]-b]:=1;
       end for;
      end for;
     end for;
    end if;
    if Boundary_xz[1] <> 0 then
     for i in 1:size(KgTot_met,1) loop
      for a in 1:size(Boundary_xz,1) loop
       for b in 0:2:2 loop
        KgB_met[3*(Boundary_xz[a])-b,i]:=0;
        KgB_met[3*Boundary_xz[a]-b,3*Boundary_xz[a]-b]:=1;
       end for;
      end for;
     end for;
    end if;
    if Boundary_yz[1] <> 0 then
     for i in 1:size(KgTot_met,1) loop
      for a in 1:size(Boundary_yz,1) loop
       for b in 0:1 loop
        KgB_met[3*(Boundary_yz[a])-b,i]:=0;
        KgB_met[3*Boundary_yz[a]-b,3*Boundary_yz[a]-b]:=1;
       end for;
      end for;
     end for;
    end if;
    if Boundary_x[1] <> 0 then
     for i in 1:size(KgTot_met,1) loop
      for a in 1:size(Boundary_x,1) loop
       KgB_met[3*(Boundary_x[a])-2,i]:=0;
       KgB_met[3*Boundary_x[a]-2,3*Boundary_x[a]-2]:=1;
      end for;
     end for;
    end if;
    if Boundary_y[1] <> 0 then
     for i in 1:size(KgTot_met,1) loop
      for a in 1:size(Boundary_y,1) loop
       KgB_met[3*(Boundary_y[a])-1,i]:=0;
       KgB_met[3*Boundary_y[a]-1,3*Boundary_y[a]-1]:=1;
      end for;
     end for;
    end if;
    if Boundary_z[1] <> 0 then
     for i in 1:size(KgTot_met,1) loop
      for a in 1:size(Boundary_z,1) loop
       KgB_met[3*Boundary_z[a],i]:=0;
       KgB_met[3*Boundary_z[a],3*Boundary_z[a]]:=1;
      end for;
     end for;
    end if;
  end BoundaryStiffnessMatrixGlobal;

- Gauss-Jordan
  function GaussJordan
    input Real [:,:] KgB_met;
    input Real [size(KgB_met,1)] load_met;
    output Real [size(KgB_met,1)] U_met;
   protected
    Real float_error = 10e-10;
   algorithm
    U_met:=Modelica.Math.Matrices.solve(KgB_met,load_met);
    for i in 1:size(KgB_met,1) loop
     if abs(U_met[i]) <= float_error then
      U_met[i] := 0;
     end if;
    end for;
  end GaussJordan;

- Reaction Force
  function ReactionForce
     input Integer x;
     input Real [:,:] KgTot_met;
     input Real [size(KgTot_met,1)] U_met;
     input Real [size(KgTot_met,1)] load_met;
     output Real [x] R_met;
     protected Real float_error = 10e-10;
   algorithm
     R_met := (KgTot_met*U_met)-load_met;
    for t in 1:size(KgTot_met,1) loop
     if abs(R_met[t]) <= float_error then
      R_met[t] := 0;
     end if;
    end for;
  end ReactionForce;

- Pengecekan kesetimbangan gaya (resultan gaya = 0)
 function CheckForce
   input Real [:] load;
   input Real [size(load,1)] R;
   output Real [3] F;
  protected Real float_error = 10e-10;
  protected
   Real load_x;
   Real load_y;
   Real load_z;
   Real R_x;
   Real R_y;
   Real R_z;
  algorithm
   load_x := sum({load[i] for i in 1:3:(size(load,1)-2)});
   load_y := sum({load[i] for i in 2:3:(size(load,1)-1)});
   load_z := sum({load[i] for i in 3:3:size(load,1)});
   R_x := sum({R[i] for i in 1:3:(size(load,1)-2)});
   R_y := sum({R[i] for i in 2:3:(size(load,1)-1)});
   R_z := sum({R[i] for i in 3:3:size(load,1)});
   F[1] := load_x + R_x;
   F[2] := load_y + R_y;
   F[3] := load_z + R_z;
  for i in 1:3 loop
   if abs(F[i]) <= float_error then
    F[i] := 0;
   end if;
  end for;
 end CheckForce;

Pertemuan Minggu Keenam (14 Desember 2020), Muhasabah Pribadi

pada pertemuan ini pak dai memberikan arahan kepada para mahasiswa tentang nilai pribadi masing-masing, dimana pada masa seperti ini orang  -orang selalu mempentingkan nilai yang didapat deibandingkan ilmu yang dimiliki.

• Muhasabah*

saya melihat dalam diri saya selama waktu pembelajaran Kuliah Metode Numerik saya selalu mengikuti Konsep berpikir dan alur/ flowchart dalam menyelesaikan sebuah masalah, pada mata kuilah ini materi atau konsep dasar sudah saya pahami dan mengerti seperti tentang truss, konsep statika struktur dari truss dapat saya mangerti.

Namun Karena basic coding saya kurang saya belum begitu bisa untuk menerjemahkan hasil pemikiran saya tersebut dalam bentuk coding, kemudian hal-hal seperti konsep berpikir looping sudah bisa saya pahami sebgainnya namun masih dikarenakan kurangnya basic coding menyebabjan saya kurang bisa menginrtpretasikan pemikiran saya tesebut ke dalam bentuk coding.

Tugas Besar Metode Numerik

Soal

Tujuan

Melakukan optimasi rangka truss sederhana untuk mencari harga optimum dengan memvariasi dimensi dan elastisitas material

Metodologi

Menentukan Material paling optimum

Mencari harga untuk 6 ukuran batang dengan material yang sama yaitu SS304. Mengitung nilai safety factor pada 6 ukuran batang dengan coding awal. Membuat rasio antara safety factor dengan harga total. Membuat persamaan antara rasio (safe/harga) dengan area dengan metode curve fitting. Melakukan optimasi menggunakan metode golden section. Untuk area penampang yang sama:

Mencari harga untuk 4 jenis material dengan area penampang yang sama yaitu 171 mm^2. Mengitung nilai safety factor pada 4 jenis batang dengan coding awal. Membuat rasio antara safety factor dengan harga total. Membuat persamaan antara rasio (safe/harga) dengan jenis material dengan metode curve fitting. Melakukan optimasi menggunakan metode golden section.

Penyelesaian

1. Mendefinisikan Problem

Untuk dapat menyelesaikan permasalahan soal, perlu didefinisikan node dan elemen pada soal

2. Membuat asumsi dan constraint pada problem

Asumsi:
- Diasumsikan tidak ada bending karena bersifat truss
- Safety Factor = 2

Constraint
- Node 1,2,3,4 (lantai dasar) fixed
- Node 13 & 16 = 1000; Node 14 & 15 = 500N

3. Metodologi

Pertama diuji coba untuk jenis material yang sama, lalu mencari area paling optimum untuk setiap jenis material

Kemudian uji coba untuk area penampang yang sama, lalu mencari material paling optimum untuk setiap area

4. Mencari Data Material

- Material SS304

- Material SS201

5. Membuat model numerik

Program Numerik ini dibuat untuk mencari nilai stress, safety factor, serta membantu dalam melakukan curve fitting

model Tugas_Besar_Samuel

//define initial variable
parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points
parameter Integer Trusses=size(C,1); //Number of Trusses
parameter Real Yield= (nilai yield) ; //Yield Strength Material(Pa)
parameter Real Area= (nilai area) ;   //Luas Siku (Dimension=30x30x3mm)
parameter Real Elas= (nilai elastisitas) ;     //Elasticity Material (Pa)
//define connection
parameter Integer C[:,2]=[ 1,5;  // (1)
                          2,6;  // (2)
                          3,7;  // (3)
                          4,8;  // (4)
                          5,6;  // (5)
                          6,7;  // (6)
                          7,8;  // (7)
                          5,8;  // (8)
                          5,9;  // (9)
                          6,10; // (10)
                          7,11; // (11)
                          8,12; // (12)
                          9,10; // (13)
                          10,11;// (14)
                          11,12;// (15)
                          9,12; // (16)
                          9,13; // (17)
                          10,14;// (18)
                          11,15;// (19)
                          12,16;// (20)
                          13,14;// (21)
                          14,15;// (22)
                          15,16;// (23)
                          13,16];//(24)
//define coordinates (please put orderly)
parameter Real P[:,6]=[     0   ,0  ,0,1,1,1;     //node 1
                           0.75,0  ,0,1,1,1;    //node 2
                           0.75,0.6,0,1,1,1;     //node 3
                           0   ,0.6,0,1,1,1;      //node 4
                           
                           0   ,0  ,0.3,0,0,0;   //node 5
                           0.75,0  ,0.3,0,0,0;  //node 6
                           0.75,0.6,0.3,0,0,0;   //node 7
                           0   ,0.6,0.3,0,0,0;    //node 8
                           
                           0   ,0  ,1.05,0,0,0;   //node 9
                           0.75,0  ,1.05,0,0,0;  //node 10  
                           0.75,0.6,1.05,0,0,0;   //node 11
                           0   ,0.6,1.05,0,0,0;    //node 12
                           
                           0   ,0  ,1.8,0,0,0;   //node 13
                           0.75,0  ,1.8,0,0,0;  //node 14
                           0.75,0.6,1.8,0,0,0;   //node 15
                           0   ,0.6,1.8,0,0,0];   //node 16
                           
//define external force (please put orderly)
parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,-1000, 
                           0,0,-500, 
                           0,0,-500, 
                           0,0,-1000}; 
//solution
Real displacement[N], reaction[N];
Real check[3];
Real stress1[Trusses];
Real safety[Trusses];
Real dis[3];
Real Str[3];
protected
 parameter Integer N=3*Points;
 Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3];
 Real err=10e-15, ers=10e-8;
algorithm
//Creating Global Matrix
G:=id;
for i in 1:Trusses loop
 for j in 1:3 loop
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
 end for;       
   //Solving Matrix
   L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
   cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
   cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
   cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
   X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                     cy*cx,cy^2,cy*cz;
                     cz*cx,cz*cy,cz^2];
    //Transforming to global matrix
   g:=zeros(N,N); 
   for m,n in 1:3 loop
     g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
     g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
     g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
     g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
   end for;   
 G_star:=G+g;
 G:=G_star;
end for;
//Implementing boundary
for x in 1:Points loop
 if P[x,4] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[(x*3)-2,a]:=0;
     G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
   end for;
 end if;
 if P[x,5] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[(x*3)-1,a]:=0;
     G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
   end for;
 end if;
 if P[x,6] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[x*3,a]:=0;
     G[x*3,x*3]:=1;
   end for;
 end if;
end for;
//Solving displacement
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);
//Solving reaction
reaction:=(G_star*displacement)-F;
//Eliminating float error
for i in 1:N loop
 reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
 displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
end for;
//Checking Force
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))});
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))});
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)});  
for i in 1:3 loop
 check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
end for;
//Calculating stress in each truss
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
  dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
end for;       
   //Solving Matrix
   L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
   cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
   cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
   cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
   X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                cy*cx,cy^2,cy*cz;
                cz*cx,cz*cy,cz^2];    
   Str:=(X*dis);
   stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
end for;
//Safety factor
for i in 1:Trusses loop
 if stress1[i]>0 then
   safety[i]:=Yield/stress1[i];
 else
   safety[i]:=0;
 end if; 
end for;
end Tugas_Besar_Samuel;

JAWABAN UJIAN AKHIR SEMESTER

• Jawaban 1 dan 2

• Jawaban 1 s/d 3

• Jawaban 1 s/d 6

Kemudian untuk soalno 7 jawaban dalam bentuk coding di open modelica sebagai berikut,

| Main Function

model SoalNo7_samuel
  //initiation= [ elemen#, theta, A, E, L]
  parameter Real [:,5] initiation= [1,      0, 2.011e-4, 1.9e11, 1; //isi sesuai data
                                   2,      0, 2.011e-4, 1.9e11, 1;
                                   3,     45, 2.011e-4, 1.9e11, 1;
                                   4,    135, 2.011e-4, 1.9e11, 1];
  //node = [ i, j]                        
  parameter Integer [3,2] node = [1, 2; //isi sesuai data
                                  2, 3;
                                  1, 4,
                                  2, 4,
                                  3, 4];
  //jumlah node
   parameter Integer n = 4; //isi sesuai data                             
  //titik node boundary
   parameter Integer [:] Boundary = {3,4}; //isi sesuai data

                     //load = [ F1x,   F1y, F2x,F2y,F3x,F3y,F4x,F4y]                                 
   parameter Real [2*n] load = { 0, 1135562,   0,  0,  0,  0,  0,  0}; //isi sesuai data                        
   Real [size(inisiasi,1)] k;
   Real [size(inisiasi,1),4,4] Ke;
   Real [size(inisiasi,1),2*n,2*n] Kg;
   Real [2*n,2*n] KgTot;
   Real [2*n,2*n] KgB;
   Real [2*n] U;
   Real [2*n] R;
  //check force
   Real [2] F; 
equation
 k = {(initiation[i,3] * initiation[i,4] / initiation[i,5]) for i in 1:size(initiation,1)}; 
 Ke = StiffnessMatrixElement(initiation);  
 Kg = StiffnessMatrixGlobal(n, node, Ke);  
 KgTot = SumStiffnessMatrixGlobal(Kg); 
 KgB = BoundaryStiffnessMatrixGlobal(KgTot, Boundary); 
 U = GaussJordan(KgB, load); 
 R = ReactionForce(KgTot, U, load); 
end SoalNo7_samuel;

Kemudian di bentuk juga fungsi panggil yaitu

function MatrixElementStiffness_samuel
 input Real [:,5] initiation_mat;
 output Real [size(initiation_mat,1),4,4] Ke_mat;
 protected
   Real theta;
   Real [3] StiffTrig;
   Real [4,4] StiffTrans;
   Real [size(initiation_mat,1)] k_vec;
   Real float_error = 10e-10;
algorithm
 k_vec := {(initiation_mat[i,3] * initiation_mat[i,4] / initiation_mat[i,5]) for i in 1:size(initiationi_mat,1)};
 // Finding stiffness matrix of each element member
 for i in 1:size(initiation_mat,1) loop
 // Clearing the matrices
 StiffTrig := zeros(3);
 StiffTrans := zeros(4,4);  
 // Converting degrees to radians
 theta := Modelica.SIunits.Conversions.from_deg(initiation_mat[i,2]);
 // {cos^2, sin^2, sincos}
 StiffTrig := {(Modelica.Math.cos(theta))^2,
               (Modelica.Math.sin(theta))^2,
               (Modelica.Math.sin(theta)*Modelica.Math.cos(theta))};  
 // Handle float error elements in StiffTrig
 for t in 1:size(StiffTrig,1) loop
   if abs(StiffTrig[t]) <= float_error then
     StiffTrig[t] := 0;
   end if;
 end for;  
 // Construct stiffness transformation matrix
 StiffTrans := [  StiffTrig[1],    StiffTrig[3], -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[3];
                  StiffTrig[3],    StiffTrig[2], -1*StiffTrig[3], -1*StiffTrig[2];
               -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[3],    StiffTrig[1],    StiffTrig[3];
               -1*StiffTrig[3], -1*StiffTrig[2],    StiffTrig[3],    StiffTrig[2]];  
 // Multiply in stiffness constant of element, add final stiffness matrix to Ke_mat
 for m in 1:4 loop
   for n in 1:4 loop
     Ke_mat[i,m,n] := k_vec[i] * StiffTrans[m,n];
   end for;
 end for;
 end for;
end MatrixElementStiffness_samuel

Kemudian di masukan ke functon matrix global stifness,

function MatrixGlobalStriffness_samuel
 input Integer x;
 input Integer [:,2] n;
 input Real [:,4,4] Ke_mat; 
 output Real [size(Ke_mat,1),2*x,2*x] Kg_mat;  
algorithm
 Kg_mat := zeros(size(Ke_mat,1),2*x,2*x);
 for i in 1:size(Ke_mat,1) loop
   Kg_mat[i,2*n[i,1],2*n[i,1]]:=Ke_mat[i,2,2];
   Kg_mat[i,2*n[i,1]-1,2*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,1,1];
   Kg_mat[i,2*n[i,1],2*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,2,1];
   Kg_mat[i,2*n[i,1]-1,2*n[i,1]]:=Ke_mat[i,1,2];
   Kg_mat[i,2*n[i,2],2*n[i,2]]:=Ke_mat[i,4,4];
   Kg_mat[i,2*n[i,2]-1,2*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,3,3];
   Kg_mat[i,2*n[i,2],2*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,4,3];
   Kg_mat[i,2*n[i,2]-1,2*n[i,2]]:=Ke_mat[i,3,4];
   Kg_mat[i,2*n[i,2],2*n[i,1]]:=Ke_mat[i,4,2];
   Kg_mat[i,2*n[i,2]-1,2*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,3,1];
   Kg_mat[i,2*n[i,2],2*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,4,1];
   Kg_mat[i,2*n[i,2]-1,2*n[i,1]]:=Ke_mat[i,3,2];
   Kg_mat[i,2*n[i,1],2*n[i,2]]:=Ke_mat[i,2,4];
   Kg_mat[i,2*n[i,1]-1,2*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,1,3];
   Kg_mat[i,2*n[i,1],2*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,2,3];
   Kg_mat[i,2*n[i,1]-1,2*n[i,2]]:=Ke_mat[i,1,4];
 end for;  
end MatrixGlobalStiffness_samuel;

hasil matrix global ini kemudian akan di jumlahkan dengan fungsi berikut,

function MatrixGlobalStiffnessSum_samuel
 input Real [:,:,:] Kg_mat;
 output Real [size(Kg_mat,2),size(Kg_mat,2)] KgTot_mat;  
algorithm
  for a in 1:size(Kg_mat,2) loop
   for b in 1:size(Kg_mat,2) loop
     KgTot_mat[a,b] := sum(Kg_mat [:,a,b]);
    end for;
   end for;
end MatrixGlobalStiffnessSum_samuel;

setelah selesai disusun function untuk mengimput boundary condition untuk mencari defleksi,

function MatrixGlobalStiffnessBoundaryCond_samuel
 input Real [:,:] KgTot_met;
 input Integer[:] Boundary_met;
 output Real [size(KgTot_met,1),size(KgTot_met,1)] KgB_met;  
algorithm
 for a in 1:size(KgTot_met,1) loop
   for b in 1:size(KgTot_met,1) loop
     KgB_met[a,b] := KgTot_met[a,b];
   end for;
 end for;  
 for i in 1:size(KgTot_met,1) loop
  for a in 1:size(Boundary_met,1) loop
   for b in 0:1 loop
     KgB_met[2*(Boundary_met[a])-b,i]:=0;
     KgB_met[2*Boundary_met[a]-b,2*Boundary_met[a]-b]:=1;
   end for;
  end for;
 end for; 
end MatrixGlobalStiffnessBoundaryCond_samuel;

digunakan function gauss jordan sehingga dapat dilihat sebagai berikut,

function GaussJordan_samuel
 input Real [:,:] KgB_met;
 input Real [size(KgB_met,1)] load_met;
 output Real [size(KgB_met,1)] U_met;  
 protected 
 Real float_error = 10e-10;
algorithm
 U_met:=Modelica.Math.Matrices.solve(KgB_met,load_met);
 for i in 1:size(KgB_met,1) loop
   if abs(U_met[i]) <= float_error then
    U_met[i] := 0;
   end if;
 end for;
end GaussJordan_samuel;

untuk menentukan reaction force digunakan function berikut,

function ReactionForce_samuel
 input Real [:,:] KgTot_met;
 input Real [size(KgTot_met,1)] U_met;
 input Real [size(KgTot_met,1)] load_met;
 output Real [size(KgTot_met,1)] R_met;
 protected Real float_error = 10e-10;
algorithm
 R_met := KgTot_met*U_met-load_met;  
 for t in 1:size(KgTot_met,1) loop
   if abs(R_met[t]) <= float_error then
     R_met[t] := 0;
   end if;
 end for; 
end ReactionForce_samuel;