Difference between revisions of "Muhammad Hasfi Rizki Nur"

From ccitonlinewiki
Jump to: navigation, search
(→‎Pertemuan 2 (18 November 2020))
(→‎Ujian Akhir Semester (13 Januari 2021))
 
(40 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 2: Line 2:
  
 
السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُ
 
السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُ
−
== '''Biodata Diri''' ==
+
== Biodata Diri ==
 
[[File:Hasfi.jpg|200px|thumb|right|Muhammad Hasfi Rizki Nur]]
 
[[File:Hasfi.jpg|200px|thumb|right|Muhammad Hasfi Rizki Nur]]
 
Nama: Muhammad Hasfi Rizki Nur
 
Nama: Muhammad Hasfi Rizki Nur
Line 16: Line 16:
 
__TOC__
 
__TOC__
  
−
== '''Pertemuan 1 (11 November 2020)''' ==
+
== Pertemuan 1 (11 November 2020) ==
 
'''Materi pertemuan pertama'''
 
'''Materi pertemuan pertama'''
  
Line 35: Line 35:
 
https://youtu.be/Q8-usKi9NsM
 
https://youtu.be/Q8-usKi9NsM
  
−
== '''Pertemuan 2 (18 November 2020)''' ==
+
== Pertemuan 2 (18 November 2020) ==
−
Pada kegiatan pembelajaran mata kuliah metode numerik hari ini. Pak Dai mengawali dengan mereview tugas yang diberikan pada pertemuan minggu lalu. Review tersebut mengenai software Open Modelica dan perhitungan yang masing - masing mahasiswa lakukan.
+
Pada kegiatan pembelajaran mata kuliah metode numerik hari ini. Bapak Ahmad Indra mengawali dengan mereview tugas yang diberikan pada pertemuan minggu lalu. Review tersebut mengenai software Open Modelica dan perhitungan yang masing - masing mahasiswa lakukan.
 +
 
 +
Berikut ini adalah contoh penerapan aplikasi OpenModelica untuk membuat 4 algoritma metode numerik dalam mencari ''roots of equation'' (akar persamaan) dari:
 +
 
 +
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 +
 
 +
''f(x) = exp^(-x)-(x)''
 +
 
 +
''f'(x) = -exp^(-x)-1''
 +
 
 +
''error maksimum = 0.0000001''
 +
 
 +
</div>
 +
 
 +
===1) Newton Raphson (Terbuka)===
 +
 
 +
model Newton_Raphson_Algorithm
 +
 +
parameter Real g=1; //guess
 +
parameter Integer N=20; //max iteration
 +
parameter Real er=0.0000001; //error maximum
 +
Real a[N];
 +
Real y[N];//function
 +
Real ER[N]; //error
 +
Real sol; //solution
 +
 +
algorithm
 +
 +
a[1]:=g;
 +
y[1]:=a[1]-(exp(-a[1])-a[1])/(-exp(-a[1])-1);
 +
ER[1]:=abs(1-a[1]/y[1]);
 +
 +
for i in 2:N loop
 +
  a[i]:=y[i-1];
 +
  y[i]:=a[i]-(exp(-a[i])-a[i])/(-exp(-a[i])-1);
 +
  ER[i]:=abs(1-y[i-1]/y[i]);
 +
 +
  if ER[i]<er then
 +
  sol:=y[i];
 +
  break;
 +
  end if;
 +
end for;
 +
 +
end Newton_Raphson_Algorithm;
 +
 
 +
===2) Secant (Terbuka)===
 +
 +
model Secant_Algorithm
 +
 +
parameter Real a=0; //guess
 +
parameter Real b=1; //guess
 +
parameter Integer N=10; //max iteration
 +
parameter Real er=0.0000001; //error maximum
 +
Real A[N];
 +
Real B[N];
 +
Real y[N];
 +
Real ER[N];
 +
Real sol; //solution
 +
 +
algorithm
 +
 +
A[1]:=a;
 +
B[1]:=b;
 +
y[1]:=B[1]-(exp(-B[1])-B[1])*(A[1]-B[1])/((exp(-A[1])-A[1])-(exp(-B[1])-B[1]));
 +
ER[1]:=abs(1-B[1]/y[1]);
 +
 +
for i in 2:N loop
 +
  A[i]:=B[i-1];
 +
  B[i]:=y[i-1];
 +
  y[i]:=B[i]-(exp(-B[i])-B[i])*(A[i]-B[i])/((exp(-A[i])-A[i])-(exp(-B[i])-B[i]));
 +
  ER[i]:=abs(1-y[i-1]/y[i]);
 +
 +
  if ER[i]<er then
 +
  sol:=y[i];
 +
  break;
 +
 
 +
  end if;
 +
end for;
 +
 +
end Secant_Algorithm;
 +
 
 +
===3) Bisection (Tertutup)===
 +
 
 +
model Bisection_Algorithm
 +
 +
parameter Real a=0; //guess bawah
 +
parameter Real b=1; //guess atas
 +
parameter Integer N=50; //max iteration
 +
parameter Real er=0.0000001; //error maximum
 +
Real fa=(exp(-a)-a);
 +
Real fb=(exp(-b)-b);
 +
Real A[N];
 +
Real B[N];
 +
Real fy[N];
 +
Real y[N];
 +
Real ER[N];
 +
Real sol; //solution
 +
 +
algorithm
 +
 +
if fa*fb<0 then
 +
 +
A[1]:=a;
 +
B[1]:=b;
 +
y[1]:=(A[1]+B[1])/2;
 +
fy[1]:=exp(-y[1])-y[1];
 +
ER[1]:=1;
 +
 +
for i in 2:N loop
 +
  if fy[i-1]>0 then
 +
  A[i]:=y[i-1];
 +
  B[i]:=B[i-1];
 +
  else
 +
  A[i]:=A[i-1];
 +
  B[i]:=y[i-1];
 +
  end if;
 +
   
 +
  y[i]:=(A[i]+ B[i])/2;
 +
  fy[i]:=exp(-y[i])-y[i];
 +
  ER[i]:=abs(1-y[i-1]/y[i]);
 +
 
 +
  if ER[i]<er then
 +
  sol:=y[i];
 +
  break;
 +
  end if;
 +
 +
end for;
 +
end if;
 +
 +
end Bisection_Algorithm;
 +
 
 +
===4) Regula Falsi (Tertutup)===
 +
 
 +
model Regula_Falsi_Algorithm
 +
 +
parameter Real a=0; //guess bawah
 +
parameter Real b=1; //guess atas
 +
parameter Integer N=20; //max iteration
 +
parameter Real er=0.0000001; //error maximum
 +
Real A[N];
 +
Real B[N];
 +
Real fa[N];
 +
Real fb[N];
 +
Real fy[N];
 +
Real y[N];
 +
Real ER[N];
 +
Real sol; //solution
 +
 +
algorithm
 +
 +
A[1]:=a;
 +
B[1]:=b;
 +
fa[1]:=exp(-A[1])-A[1];
 +
fb[1]:=exp(-B[1])-B[1];
 +
 +
if fa[1]*fb[1]<0 then
 +
 +
y[1]:=(A[1]*fb[1]-B[1]*fa[1])/(fb[1]-fa[1]);
 +
fy[1]:=exp(-y[1])-y[1];
 +
ER[1]:=1;
 +
 +
for i in 2:N loop
 +
  if fy[i-1]>0 then
 +
  A[i]:=y[i-1];
 +
  B[i]:=B[i-1];
 +
  else
 +
  A[i]:=A[i-1];
 +
  B[i]:=y[i-1];
 +
  end if;
 +
 
 +
  fa[i]:=exp(-A[i])-A[i];
 +
  fb[i]:=exp(-B[i])-B[i];
 +
  y[i]:=(A[i]*fb[i]-B[i]*fa[i])/(fb[i]-fa[i]);
 +
  fy[i]:=exp(-y[i])-y[i];
 +
  ER[i]:=abs(1-y[i-1]/y[i]);
 +
 
 +
  if ER[i]<er then
 +
  sol:=y[i];
 +
  break;
 +
  end if;
 +
end for;
 +
end if;
 +
 
 +
end Regula_Falsi_Algorithm;
 +
 
 +
'''Tugas Video'''
 +
 
 +
Berikut video yang sudah saya buat: https://youtu.be/Q8-usKi9NsM
 +
 
 +
== Pertemuan 3 (25 November 2020) ==
 +
Pada awal-awal Pak Dai memaparkan tiga aplikasi metode numerik yang sering digunakan dalam menyelesaikan permasalahan teknik, pertama ada Computation Fluid Dynamics (CFD), lalu FInite Element Analysis (FEA), dan Metode Stokastik. CFD dan FEA berbasis ilmu fisika, kemudian metode stokastik berbasis data dan statistik. Ada lima langkah yang Pak Dai paparkan dalam mengaplikasikan metode numerik ke permasalahan teknik :
 +
 
 +
* Riset masalah tekniknya terlebih dahulu
 +
 
 +
* Menganalisis masalah (mendefinisikan variabel yang mau dicari dan mencari parameter fisikanya)
 +
 
 +
* Membuat model matematika
 +
 
 +
* Membuat model numerik
 +
 
 +
* Setelah itu cari penyelesaian dengan bantuan komputer untuk mendapatkan output yang diinginkan
 +
 
 +
===Soal Latihan Trusses Problem===
 +
 
 +
[[File:Example 3.1 RS.jpg|500px|thumb|centre]]
 +
 
 +
'''Code'''
 +
[[File:Soal Trusses 1 Displacement RS.jpg|700px|thumb|right|Grafik Displacement]]
 +
[[File:Soal Trusses 1 Reaction RS.jpg|700px|thumb|right|Grafik Reaction Forces]]
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| style='border-style: none  none  solid  solid;' |
 +
''Persamaan''
 +
 
 +
model Trusses
 +
 +
parameter Integer N=10; //Global matrice = 2*points connected
 +
parameter Real A=8;
 +
parameter Real E=1.9e6;
 +
Real G[N,N]; //global
 +
Real Ginitial[N,N]; //global
 +
Real Sol[N]; //global dispplacement
 +
Real X[N]={0,0,0,0,0,0,0,-500,0,-500};
 +
Real R[N]; //global reaction force
 +
Real SolMat[N,1];
 +
Real XMat[N,1];
 +
 +
//boundary coundition
 +
Integer b1=1;
 +
Integer b2=3;
 +
 +
//truss 1
 +
parameter Real X1=0; //degree between truss
 +
Real k1=A*E/36;
 +
Real K1[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p1a=1;
 +
Integer p1b=2;
 +
Real G1[N,N];
 +
 +
//truss 2
 +
parameter Real X2=135; //degree between truss
 +
Real k2=A*E/50.912;
 +
Real K2[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p2a=2;
 +
Integer p2b=3;
 +
Real G2[N,N];
 +
 +
//truss 3
 +
parameter Real X3=0; //degree between truss
 +
Real k3=A*E/36;
 +
Real K3[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p3a=3;
 +
Integer p3b=4;
 +
Real G3[N,N];
 +
 +
//truss 4
 +
parameter Real X4=90; //degree between truss
 +
Real k4=A*E/36;
 +
Real K4[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p4a=2;
 +
Integer p4b=4;
 +
Real G4[N,N];
 +
 +
//truss 5
 +
parameter Real X5=45; //degree between truss
 +
Real k5=A*E/50.912;
 +
Real K5[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p5a=2;
 +
Integer p5b=5;
 +
Real G5[N,N];
 +
 +
//truss 6
 +
parameter Real X6=0; //degree between truss
 +
Real k6=A*E/36;
 +
Real K6[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p6a=4;
 +
Integer p6b=5;
 +
Real G6[N,N];
 +
 +
/*
 +
for each truss, please ensure pXa is lower then pXb (X represents truss element number)
 +
*/
 +
 +
algorithm
 +
 +
//creating global matrice
 +
K1:=Stiffness_Matrices(X1);
 +
G1:=k1*Local_Global(K1,N,p1a,p1b);
 +
 +
K2:=Stiffness_Matrices(X2);
 +
G2:=k2*Local_Global(K2,N,p2a,p2b);
 +
 +
K3:=Stiffness_Matrices(X3);
 +
G3:=k3*Local_Global(K3,N,p3a,p3b);
 +
 +
K4:=Stiffness_Matrices(X4);
 +
G4:=k4*Local_Global(K4,N,p4a,p4b);
 +
 +
K5:=Stiffness_Matrices(X5);
 +
G5:=k5*Local_Global(K5,N,p5a,p5b);
 +
 +
K6:=Stiffness_Matrices(X6);
 +
G6:=k6*Local_Global(K6,N,p6a,p6b);
 +
 +
G:=G1+G2+G3+G4+G5+G6;
 +
Ginitial:=G;
 +
 +
//implementing boundary condition
 +
for i in 1:N loop
 +
  G[2*b1-1,i]:=0;
 +
  G[2*b1,i]:=0;
 +
  G[2*b2-1,i]:=0;
 +
  G[2*b2,i]:=0;
 +
end for;
 +
 +
G[2*b1-1,2*b1-1]:=1;
 +
G[2*b1,2*b1]:=1;
 +
G[2*b2-1,2*b2-1]:=1;
 +
G[2*b2,2*b2]:=1;
 +
 +
//solving displacement
 +
Sol:=Gauss_Jordan(N,G,X);
 +
 +
//solving reaction force
 +
SolMat:=matrix(Sol);
 +
XMat:=matrix(X);
 +
R:=Reaction_Trusses(N,Ginitial,SolMat,XMat);
 +
 +
end Trusses;
 +
|}
 +
 
 +
===Tugas Trusses Problem===
 +
 
 +
[[File:Soal Trusses 2 RS.jpg|500px|thumb|center]]
 +
 
 +
'''code'''
 +
[[File:Soal Trusses 2 Displacement RS.jpg|500px|thumb|right|Grafik Displacement]]
 +
[[File:Soal Trusses 2 Reaction RS.jpg|500px|thumb|right|Grafik Reaction Forces]]
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| style='border-style: none  none  solid  solid;' |
 +
''Persamaan''
 +
 
 +
class Trusses_HW
 +
 +
parameter Integer N=8; //Global matrice = 2*points connected
 +
parameter Real A=0.001; //Area m2
 +
parameter Real E=200e9; //Pa
 +
Real G[N,N]; //global
 +
Real Ginitial[N,N]; //global
 +
Real Sol[N]; //global dispplacement
 +
Real X[N]={0,0,-1035.2762,-3863.7033,0,0,-1035.2762,-3863.7033};
 +
Real R[N]; //global reaction force
 +
Real SolMat[N,1];
 +
Real XMat[N,1];
 +
 +
//boundary condition
 +
Integer b1=1;
 +
Integer b2=3;
 +
 +
//truss 1
 +
parameter Real X1=0; //degree between truss
 +
Real k1=A*E/1;
 +
Real K1[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p1a=1;
 +
Integer p1b=2;
 +
Real G1[N,N];
 +
 +
//truss 2
 +
parameter Real X2=0; //degree between truss
 +
Real k2=A*E/1;
 +
Real K2[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p2a=2;
 +
Integer p2b=3;
 +
Real G2[N,N];
 +
 +
//truss 3
 +
parameter Real X3=90; //degree between truss
 +
Real k3=A*E/1.25;
 +
Real K3[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p3a=2;
 +
Integer p3b=4;
 +
Real G3[N,N];
 +
 +
//truss 4
 +
parameter Real X4=90+38.6598; //degree between truss
 +
Real k4=A*E/1.6;
 +
Real K4[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p4a=1;
 +
Integer p4b=4;
 +
Real G4[N,N];
 +
 +
//truss 5
 +
parameter Real X5=90-38.6598; //degree between truss
 +
Real k5=A*E/1.6;
 +
Real K5[4,4]; //stiffness matrice
 +
Integer p5a=3;
 +
Integer p5b=4;
 +
Real G5[N,N];
 +
 +
/*
 +
for each truss, please ensure pXa is lower then pXb (X represents truss element number)
 +
*/
 +
 +
algorithm
 +
 +
//creating global matrice
 +
K1:=Stiffness_Matrices(X1);
 +
G1:=k1*Local_Global(K1,N,p1a,p1b);
 +
 +
K2:=Stiffness_Matrices(X2);
 +
G2:=k2*Local_Global(K2,N,p2a,p2b);
 +
 +
K3:=Stiffness_Matrices(X3);
 +
G3:=k3*Local_Global(K3,N,p3a,p3b);
 +
 +
K4:=Stiffness_Matrices(X4);
 +
G4:=k4*Local_Global(K4,N,p4a,p4b);
 +
 +
K5:=Stiffness_Matrices(X5);
 +
G5:=k5*Local_Global(K5,N,p5a,p5b);
 +
 +
G:=G1+G2+G3+G4+G5;
 +
Ginitial:=G;
 +
 +
//implementing boundary condition
 +
for i in 1:N loop
 +
  G[2*b1-1,i]:=0;
 +
  G[2*b1,i]:=0;
 +
  G[2*b2-1,i]:=0;
 +
  G[2*b2,i]:=0;
 +
end for;
 +
 +
G[2*b1-1,2*b1-1]:=1;
 +
G[2*b1,2*b1]:=1;
 +
G[2*b2-1,2*b2-1]:=1;
 +
G[2*b2,2*b2]:=1;
 +
 +
//solving displacement
 +
Sol:=Gauss_Jordan(N,G,X);
 +
 +
//solving reaction force
 +
SolMat:=matrix(Sol);
 +
XMat:=matrix(X);
 +
R:=Reaction_Trusses(N,Ginitial,SolMat,XMat);
 +
 +
end Trusses_HW;
 +
|}
 +
 
 +
'''Fungsi Panggil'''
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| style='border-style: none  none  solid  solid;' |
 +
''Matrice Transformation''
 +
 
 +
function Stiffness_Matrices
 +
input Real A;
 +
Real Y;
 +
output Real X[4,4];
 +
Real float_error = 10e-10;
 +
 +
final constant Real pi=2*Modelica.Math.asin(1.0);
 +
 +
algorithm
 +
 +
Y:=A/180*pi;
 +
   
 +
X:=[(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y);
 +
 +
Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2;
 +
 +
-(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y);
 +
 +
-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2];
 +
 +
for i in 1:4 loop
 +
  for j in 1:4 loop
 +
    if abs(X[i,j]) <= float_error then
 +
      X[i,j] := 0;
 +
    end if;
 +
  end for;
 +
end for;
 +
 +
end Stiffness_Matrices;
 +
 +
''Global Element Matrice''
 +
 
 +
function Local_Global
 +
input Real Y[4,4];
 +
input Integer B;
 +
input Integer p1;
 +
input Integer p2;
 +
output Real G[B,B];
 +
 +
algorithm
 +
 +
for i in 1:B loop
 +
  for j in 1:B loop
 +
      G[i,j]:=0;
 +
  end for;
 +
end for;
 +
 +
G[2*p1,2*p1]:=Y[2,2];
 +
G[2*p1-1,2*p1-1]:=Y[1,1];
 +
G[2*p1,2*p1-1]:=Y[2,1];
 +
G[2*p1-1,2*p1]:=Y[1,2];
 +
 +
G[2*p2,2*p2]:=Y[4,4];
 +
G[2*p2-1,2*p2-1]:=Y[3,3];
 +
G[2*p2,2*p2-1]:=Y[4,3];
 +
G[2*p2-1,2*p2]:=Y[3,4];
 +
 +
G[2*p2,2*p1]:=Y[4,2];
 +
G[2*p2-1,2*p1-1]:=Y[3,1];
 +
G[2*p2,2*p1-1]:=Y[4,1];
 +
G[2*p2-1,2*p1]:=Y[3,2];
 +
 +
G[2*p1,2*p2]:=Y[2,4];
 +
G[2*p1-1,2*p2-1]:=Y[1,3];
 +
G[2*p1,2*p2-1]:=Y[2,3];
 +
G[2*p1-1,2*p2]:=Y[1,4];
 +
 +
end Local_Global;
 +
 
 +
''Reaction Matrice Equation''
 +
 
 +
function Reaction_Trusses
 +
input Integer N;
 +
input Real A[N,N];
 +
input Real B[N,1];
 +
input Real C[N,1];
 +
Real X[N,1];
 +
output Real Sol[N];
 +
Real float_error = 10e-10;
 +
 +
algorithm
 +
X:=A*B-C;
 +
 +
for i in 1:N loop
 +
  if abs(X[i,1]) <= float_error then
 +
    X[i,1] := 0;
 +
  end if;
 +
end for;
 +
 +
for i in 1:N loop
 +
  Sol[i]:=X[i,1];
 +
end for;
 +
 +
end Reaction_Trusses;
 +
 
 +
|}
 +
 
 +
== Pertemuan 4 (2 Desember 2020) ==
 +
=== '''Kuis: Membuat Flowchart dan Diagram''' ===
 +
 
 +
[[File:hasfi_1_kuis.jpg|600px|thumb|centre]]
 +
[[File:hasfi_2_kuis.jpg|600px|thumb|centre]]
 +
[[File:hasfi_3_kuis.jpg|600px|thumb|centre]]
 +
 
 +
 
 +
=== '''Tugas''' ===
 +
[[File:hasfi_soal_4.jpg|500px|thumb|centre]]
 +
[[File:hasfi_1_p4.jpg|900px|thumb|centre]]
 +
[[File:hasfi_2_p4.jpg|900px|thumb|centre]]
 +
[[File:hasfi_3_p4.jpg|900px|thumb|centre]]
 +
[[File:hasfi_4_p4.jpg|700px|thumb|centre]]
 +
[[File:hasfi_5_p4.jpg|700px|thumb|centre]]
 +
 
 +
 
 +
==Pertemuan 5 (16 Desember 2020)==
 +
 
 +
Pada minggu ini topiknya adalah optimasi sistem menggunakan OpenModelica. Sebelum pertemuan Bu Chandra memberikan contoh kasus optimasi dan juga pesudocode nya. Contoh kasus tersebut adalah optimasi metode bracket. Berikut code dalam penerapan di aplikasi OpenModelica:
 +
 
 +
'''FungsiObjek.mo'''
 +
function FungsiObjek
 +
 
 +
input Real x;
 +
output Real y;
 +
 +
algorithm
 +
 +
y:= 2*Modelica.Math.sin(x)-x^2/10;
 +
 +
end FungsiObjek;
 +
 
 +
'''BracketOptimal.mo'''
 +
model BracketOptimal
 +
 +
parameter Integer n = 8;
 +
Real x1[n];
 +
Real x2[n];
 +
Real xup;
 +
Real xlow;
 +
Real f1[n];
 +
Real f2[n];
 +
Real xopt;
 +
Real yopt;
 +
Real d;
 +
 +
algorithm
 +
xup := 4;
 +
xlow := 0;
 +
 +
for i in 1:n loop
 +
  d:=((5^(1/2)-1)/2) * (xup-xlow);
 +
  x1[i] := xlow+d;
 +
  x2[i] := xup-d;
 +
  f1[i] := FungsiObjek(x1[i]);
 +
  f2[i] := FungsiObjek(x2[i]);
 +
 
 +
  if f1[i]>f2[i] then
 +
    xup := xup;
 +
    xlow := x2[i];
 +
    xopt := xup;
 +
    yopt := f1[i];
 +
    else
 +
      xlow :=xlow;
 +
      xup := x1[i];
 +
      xopt := xup;
 +
  end if;
 +
end for;
 +
 
 +
 +
end BracketOptimal;
 +
 
 +
 
 +
== Tugas Besar (23 Desember 2020) ==
 +
 
 +
'''Soal Tugas Besar'''
 +
 
 +
Untuk tugas besar mata kuliah Metode Numerik terdapat sebuah permodelan rangka kontruksi. Mahasiswa diminta untuk mencari harga pengadaan rangka tersebut secara optimal dengan pertimbangan dimensi dan material.
 +
[[File:Soal Tubes_Hasfi.jpg|600px|thumb|centre]]
 +
 
 +
'''Definisi Node dan Elemen'''
 +
 
 +
Penyelesaian dari soal tugas besar ini harus diawali dengan pendefinisian elemen dan node pada rangka.
 +
[[File:Ranngka_Hasfi.png|600px|thumb|centre]]
 +
 
 +
'''Asumsi dan constraint'''
 +
 
 +
Asumsi yang saya lakukan pada permodelan ini:
 +
*Bersifat trusses (beban akan terdistribusi hanya pada node).
 +
*Safety factor = 2.
 +
*Batas displacement = 0,001 m (sesaat sebelum buckling pada truss paling atas).
 +
*h trusses = 0,6 m (setiap lantai).
 +
 
 +
constraint atau batasan pada kasus ini:
 +
*Node 1,2,3,4 fixed.
 +
*F1 dan F2 terdistribusi ke node sekitaranya.
 +
*Node 13 & 16 = 1000N.
 +
*Node 14 & 15 = 500N.
 +
 
 +
'''Penyelesaian'''
 +
 
 +
Dalam kasus pada soal yaitu mencari dimensi area dan material yang paling optimal untuk pembentukan rangka, maka diperlukan pencarian data dari material dan variasi dimensi yang akan diuji. Saya menggunakan data excel dari teman saya yaitu Josiah, Christopher dan Fahmi sehingga mendapat data sebagai berikut
 +
[[File:Data_1_Hasfi.jpg|600px|thumb|centre]]
 +
 
 +
Penyelesaian dilakukan dengan dua metode yaitu:
 +
#Pencarian material yang optimal dengan satu data dimensi (fixed area)
 +
#Pencarian dimensi yang optimal dengan satu data material (fixed material)
 +
 
 +
'''Code'''
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| style='border-style: none  none  solid  solid;' |
 +
''Stress analysis''
 +
model TugasBesarMuhammadHasfi
 +
//define initial variable
 +
parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points
 +
parameter Integer Trusses=size(C,1); //Number of Trusses
 +
parameter Real Yield= (nilai yield) ; //Yield Strength Material(Pa)
 +
parameter Real Area= (nilai area) ;  //Luas Siku (Dimension=30x30x3mm)
 +
parameter Real Elas= (nilai elastisitas) ;    //Elasticity Material (Pa)
 +
//define connection
 +
parameter Integer C[:,2]=[ 1,5;  // (1)
 +
                          2,6;  // (2)
 +
                          3,7;  // (3)
 +
                          4,8;  // (4)
 +
                          5,6;  // (5)
 +
                          6,7;  // (6)
 +
                          7,8;  // (7)
 +
                          5,8;  // (8)
 +
                          5,9;  // (9)
 +
                          6,10; // (10)
 +
                          7,11; // (11)
 +
                          8,12; // (12)
 +
                          9,10; // (13)
 +
                          10,11;// (14)
 +
                          11,12;// (15)
 +
                          9,12; // (16)
 +
                          9,13; // (17)
 +
                          10,14;// (18)
 +
                          11,15;// (19)
 +
                          12,16;// (20)
 +
                          13,14;// (21)
 +
                          14,15;// (22)
 +
                          15,16;// (23)
 +
                          13,16];//(24)
 +
//define coordinates (please put orderly)
 +
parameter Real P[:,6]=[    0  ,0  ,0,1,1,1;    //node 1
 +
                            0.75,0  ,0,1,1,1;    //node 2
 +
                            0.75,0.6,0,1,1,1;    //node 3
 +
                            0  ,0.6,0,1,1,1;      //node 4
 +
                           
 +
                            0  ,0  ,0.3,0,0,0;  //node 5
 +
                            0.75,0  ,0.3,0,0,0;  //node 6
 +
                            0.75,0.6,0.3,0,0,0;  //node 7
 +
                            0  ,0.6,0.3,0,0,0;    //node 8
 +
                           
 +
                            0  ,0  ,1.05,0,0,0;  //node 9
 +
                            0.75,0  ,1.05,0,0,0;  //node 10 
 +
                            0.75,0.6,1.05,0,0,0;  //node 11
 +
                            0  ,0.6,1.05,0,0,0;    //node 12
 +
                           
 +
                            0  ,0  ,1.8,0,0,0;  //node 13
 +
                            0.75,0  ,1.8,0,0,0;  //node 14
 +
                            0.75,0.6,1.8,0,0,0;  //node 15
 +
                            0  ,0.6,1.8,0,0,0];  //node 16
 +
                           
 +
//define external force (please put orderly)
 +
parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,-1000,
 +
                            0,0,-500,
 +
                            0,0,-500,
 +
                            0,0,-1000};
 +
//solution
 +
Real displacement[N], reaction[N];
 +
Real check[3];
 +
Real stress1[Trusses];
 +
Real safety[Trusses];
 +
Real dis[3];
 +
Real Str[3];
 +
protected
 +
  parameter Integer N=3*Points;
 +
  Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3];
 +
  Real err=10e-15, ers=10e-8;
 +
algorithm
 +
//Creating Global Matrix
 +
G:=id;
 +
for i in 1:Trusses loop
 +
  for j in 1:3 loop
 +
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
 +
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
 +
  end for;     
 +
    //Solving Matrix
 +
    L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
 +
    cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
 +
    cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
 +
    cz:=(q2[3]-q1[3])/L;
 +
    X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
 +
                      cy*cx,cy^2,cy*cz;
 +
                      cz*cx,cz*cy,cz^2];
 +
    //Transforming to global matrix
 +
    g:=zeros(N,N);
 +
    for m,n in 1:3 loop
 +
      g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
 +
      g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
 +
      g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
 +
      g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
 +
    end for; 
 +
  G_star:=G+g;
 +
  G:=G_star;
 +
end for;
 +
//Implementing boundary
 +
for x in 1:Points loop
 +
  if P[x,4] <> 0 then
 +
    for a in 1:Points*3 loop
 +
      G[(x*3)-2,a]:=0;
 +
      G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
 +
    end for;
 +
  end if;
 +
  if P[x,5] <> 0 then
 +
    for a in 1:Points*3 loop
 +
      G[(x*3)-1,a]:=0;
 +
      G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
 +
    end for;
 +
  end if;
 +
  if P[x,6] <> 0 then
 +
    for a in 1:Points*3 loop
 +
      G[x*3,a]:=0;
 +
      G[x*3,x*3]:=1;
 +
    end for;
 +
  end if;
 +
end for;
 +
//Solving displacement
 +
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);
 +
//Solving reaction
 +
reaction:=(G_star*displacement)-F;
 +
//Eliminating float error
 +
for i in 1:N loop
 +
  reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
 +
  displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
 +
end for;
 +
//Checking Force
 +
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))});
 +
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))});
 +
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)}); 
 +
for i in 1:3 loop
 +
  check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
 +
end for;
 +
//Calculating stress in each truss
 +
for i in 1:Trusses loop
 +
for j in 1:3 loop
 +
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
 +
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
 +
  dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
 +
end for;     
 +
    //Solving Matrix
 +
    L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
 +
    cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
 +
    cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
 +
    cz:=(q2[3]-q1[3])/L;
 +
    X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
 +
                cy*cx,cy^2,cy*cz;
 +
                cz*cx,cz*cy,cz^2];   
 +
    Str:=(X*dis);
 +
    stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
 +
end for;
 +
//Safety factor
 +
for i in 1:Trusses loop
 +
  if stress1[i]>0 then
 +
    safety[i]:=Yield/stress1[i];
 +
  else
 +
    safety[i]:=0;
 +
  end if;
 +
end for;
 +
end TugasBesarMuhammadHasfi;
 +
|}
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| style='border-style: none  none  solid  solid;' |
 +
''Curve fitting''
 +
model callcurve
 +
  parameter Real [8] X={1.11e-4,1.41e-4,1.71e-4,2.31e-4,3.04e-4,3.75e-4,7.44e-4,8.64e-4};
 +
  parameter Real [8] Y={273700 ,318800 ,381200 ,512800 ,683700 ,838000 ,1663100,1986400};
 +
  Real [3] Coe;
 +
algorithm
 +
  Coe:=Curve_Fitting(X,Y);
 +
end callcurve;
 +
 
 +
''Function''
 +
function Curve_Fitting
 +
  input Real X[:];
 +
  input Real Y[size(X,1)];
 +
  input Integer order=2;
 +
  output Real Coe[order+1];
 +
protected
 +
  Real Z[size(X,1),order+1];
 +
  Real ZTr[order+1,size(X,1)];
 +
  Real A[order+1,order+1];
 +
  Real B[order+1];
 +
algorithm
 +
  for i in 1:size(X,1) loop
 +
  for j in 1:(order+1) loop
 +
  Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j);
 +
  end for;
 +
  end for;
 +
ZTr:=transpose(Z);
 +
A:=ZTr*Z;
 +
B:=ZTr*Y;
 +
Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B); //Coe:=fill(2,size(Coe,1));
 +
end Curve_Fitting;
 +
|}
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| style='border-style: none  none  solid  solid;' |
 +
''Optimalisasi (metode golden ratio)''
 +
 
 +
model Opt_Gold
 +
  parameter Real[3] y={-834.974,0.356007,2.39937e-5};
 +
  parameter Real xlo=111e-6;
 +
  parameter Real xhi=3.75e-4;
 +
  parameter Integer N=10; // maximum iteration
 +
  parameter Real es=0.0001; // maximum error
 +
  Real f1[N], f2[N], x1[N], x2[N], ea[N];
 +
  Real xopt,  fx;
 +
protected
 +
  Real d, xl, xu, xint, R=(5^(1/2)-1)/2;
 +
algorithm
 +
  xl := xlo;
 +
  xu := xhi;
 +
for i in 1:N loop
 +
  d:= R*(xu-xl);
 +
  x1[i]:=xl+d;
 +
  x2[i]:=xu-d;
 +
  f1[i]:=y[1]*x1[i]^2+y[2]*x1[i]+y[3];
 +
  f2[i]:=y[1]*x2[i]^2+y[2]*x2[i]+y[3];
 +
  xint:=xu-xl;
 +
  if f1[i]>f2[i] then
 +
    xl:=x2[i];
 +
    xopt:=x1[i];
 +
    fx:=f1[i];
 +
    else
 +
      xu:=x1[i];
 +
      xopt:=x2[i];
 +
      fx:=f2[i];
 +
  end if;
 +
ea[i]:=(1-R)*abs((xint)/xopt);
 +
if ea[i]<es then
 +
  break;
 +
end if;
 +
end for;
 +
end Opt_Gold;
 +
|}
 +
 
 +
'''Perhitungan'''
 +
 
 +
'''A. Fixed Elasticity'''
 +
 
 +
Berikut perhitungan dalam menentukan Safety Factor/Cost ratio. Rasio ini diperlukan unuk mengetahui dimensi apa yang optimal dalam pembentukan rangka yang ada. Curve fitting juga diperlukan dalam perhitungan untuk melengkapi data SS304 yang masih belum diketahui.
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
| [[File:Data_2_Hasfi.jpg|1000px|thumb|centre]] || [[File:Data_3_Hasfi.jpg|300px|thumb|centre]]
 +
|}
 +
 
 +
'''B. Fixed Area'''
 +
 
 +
Dalam menentukan material yang optimal digunakan dimensi tetap yaitu 30x30x3mm serta dilakukan curve fitting.
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
| [[File:Data_4_Hasfi.jpg|1000px|thumb|centre]] || [[File:Data_5_Hasfi.jpg|300px|thumb|centre]]
 +
|}
 +
 
 +
'''Kesimpulan'''
 +
*Nilai luas area penampang optimum untuk material SS304 adalah 283,81 mm^2 atau untuk ukuran yang ada di pasaran ukuran optimumnya adalah batang L dengan lebar 6m dan tebal 60mm.
 +
 
 +
*Material optimum yang dapat digunakan untuk luas penampang 270mm^2 adalah material dengan nilai elastisitas 15324000000000 N/m^2 atau material yang paling mendekati adalah SS316L.
 +
 
 +
== Ujian Akhir Semester (13 Januari 2021) ==
 +
 
 +
 
 +
Berikut jawaban Ujian Akhir Semester (UAS) mata kuliah Metode Numerik yang saya kerjakan pada tanggal 13 januari 2021.
 +
 
 +
 
 +
[[File:hasfiuas1.jpg|600px|centre]]
 +
[[File:hasfiuas2.jpg|600px|centre]]
 +
[[File:hasfiuas3.jpg|600px|centre]]
 +
[[File:hasfiuas4.jpg|600px|centre]]
 +
[[File:hasfiuas5.jpg|600px|centre]]
 +
 
 +
 
 +
Jawaban nomor 7 dilakukan menggunakan aplikasi OpenModelica. Berikut code yang saya simulasikan di aplikasi tersebut:
 +
 
 +
 
 +
[[File:hasfiuas6.jpg|800px|centre]]
 +
[[File:hasfiuas7.jpg|800px|centre]]
 +
[[File:hasfiuas8.jpg|800px|centre]]
 +
[[File:hasfiuas9.jpg|800px|centre]]
 +
[[File:hasfiuas10.jpg|800px|centre]]
 +
 
 +
 
 +
Dari simulasi pada aplikasi OpenModelica didapatkan hasil sebagai berikut:
 +
 
 +
 
 +
[[File:hasfiuas11.jpg|300px]][[File:hasfiuas12.jpg|300px]][[File:hasfiuas13.jpg|300px]]

Latest revision as of 16:29, 14 January 2021

بِسْمِ اللهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيْمِ

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُ

Biodata Diri

Muhammad Hasfi Rizki Nur

Nama: Muhammad Hasfi Rizki Nur

NPM : 1806201163

TTL : Jakarta, 26 Oktober 2000

Saya mahasiswa prodi Teknik Mesin Universitas Indonesia angkatan 2018. Saat ini saya sedang menempuh kuliah pada semester kelima.

Alasan saya memilih prodi ini adalah saya tertarik belajar dan bekerja di bidang energi dan ingin memberikan dampak yang baik kepada perkembangan teknologi energi di Indonesia.

Pertemuan 1 (11 November 2020)

Materi pertemuan pertama

Pada pertemuan pertama, Bapak Ahmad Indra memberikan penjelasan bagaiman mengoperasikan situs wiki air dan memberikan 4 poin tujuan pembelajaran Metode Numerik saat ini. Keempat poin tersebut adalah:

  • Mempelajari dan memahami konsep dasar dari pelajaran Metode Numerik.
  • Mampu menerapkan pemahaman konsep kedalam permodelan numerik.
  • Mengaplikasikan metode numerik dengan output yang berasal dari persoalan seputar Teknik Mesin.
  • Mengevaluasi diri sendiri sehingga menjadi orang yang lebih beradab sesuai Sila kedua dari Pancasila.

Tugas Video

Diberikan tugas berupa menjelaskan perangkat lunak OpenModelica dan pengoperasikannya. Berikut video yang sudah saya buat:

https://youtu.be/Q8-usKi9NsM

Pertemuan 2 (18 November 2020)

Pada kegiatan pembelajaran mata kuliah metode numerik hari ini. Bapak Ahmad Indra mengawali dengan mereview tugas yang diberikan pada pertemuan minggu lalu. Review tersebut mengenai software Open Modelica dan perhitungan yang masing - masing mahasiswa lakukan.

Berikut ini adalah contoh penerapan aplikasi OpenModelica untuk membuat 4 algoritma metode numerik dalam mencari roots of equation (akar persamaan) dari:

f(x) = exp^(-x)-(x)

f'(x) = -exp^(-x)-1

error maksimum = 0.0000001

1) Newton Raphson (Terbuka)

model Newton_Raphson_Algorithm

parameter Real g=1; //guess
parameter Integer N=20; //max iteration
parameter Real er=0.0000001; //error maximum
Real a[N]; 
Real y[N];//function
Real ER[N]; //error
Real sol; //solution

algorithm

a[1]:=g;
y[1]:=a[1]-(exp(-a[1])-a[1])/(-exp(-a[1])-1);
ER[1]:=abs(1-a[1]/y[1]);

for i in 2:N loop
  a[i]:=y[i-1];
  y[i]:=a[i]-(exp(-a[i])-a[i])/(-exp(-a[i])-1);
  ER[i]:=abs(1-y[i-1]/y[i]);

  if ER[i]<er then
 sol:=y[i];
 break;
 end if;
end for;

end Newton_Raphson_Algorithm;

2) Secant (Terbuka)

model Secant_Algorithm

parameter Real a=0; //guess
parameter Real b=1; //guess
parameter Integer N=10; //max iteration
parameter Real er=0.0000001; //error maximum
Real A[N];
Real B[N];
Real y[N];
Real ER[N];
Real sol; //solution

algorithm

A[1]:=a;
B[1]:=b;
y[1]:=B[1]-(exp(-B[1])-B[1])*(A[1]-B[1])/((exp(-A[1])-A[1])-(exp(-B[1])-B[1]));
ER[1]:=abs(1-B[1]/y[1]);

for i in 2:N loop
 A[i]:=B[i-1];
 B[i]:=y[i-1];
 y[i]:=B[i]-(exp(-B[i])-B[i])*(A[i]-B[i])/((exp(-A[i])-A[i])-(exp(-B[i])-B[i]));
 ER[i]:=abs(1-y[i-1]/y[i]);

 if ER[i]<er then
 sol:=y[i];
 break;
 
 end if;
end for;

end Secant_Algorithm;

3) Bisection (Tertutup)

model Bisection_Algorithm

parameter Real a=0; //guess bawah
parameter Real b=1; //guess atas
parameter Integer N=50; //max iteration
parameter Real er=0.0000001; //error maximum
Real fa=(exp(-a)-a);
Real fb=(exp(-b)-b);
Real A[N];
Real B[N];
Real fy[N];
Real y[N];
Real ER[N];
Real sol; //solution

algorithm

if fa*fb<0 then

A[1]:=a;
B[1]:=b;
y[1]:=(A[1]+B[1])/2;
fy[1]:=exp(-y[1])-y[1];
ER[1]:=1;

for i in 2:N loop
 if fy[i-1]>0 then
 A[i]:=y[i-1];
 B[i]:=B[i-1];
 else
 A[i]:=A[i-1];
 B[i]:=y[i-1];
 end if;
   
 y[i]:=(A[i]+ B[i])/2;
 fy[i]:=exp(-y[i])-y[i];
 ER[i]:=abs(1-y[i-1]/y[i]);
 
 if ER[i]<er then
 sol:=y[i];
 break;
 end if;

end for;
end if;

end Bisection_Algorithm;

4) Regula Falsi (Tertutup)

model Regula_Falsi_Algorithm

parameter Real a=0; //guess bawah
parameter Real b=1; //guess atas
parameter Integer N=20; //max iteration
parameter Real er=0.0000001; //error maximum
Real A[N];
Real B[N];
Real fa[N];
Real fb[N];
Real fy[N];
Real y[N];
Real ER[N];
Real sol; //solution

algorithm

A[1]:=a;
B[1]:=b;
fa[1]:=exp(-A[1])-A[1];
fb[1]:=exp(-B[1])-B[1]; 

if fa[1]*fb[1]<0 then 

y[1]:=(A[1]*fb[1]-B[1]*fa[1])/(fb[1]-fa[1]);
fy[1]:=exp(-y[1])-y[1];
ER[1]:=1; 

for i in 2:N loop
 if fy[i-1]>0 then
 A[i]:=y[i-1];
 B[i]:=B[i-1];
 else
 A[i]:=A[i-1];
 B[i]:=y[i-1];
 end if;
 
 fa[i]:=exp(-A[i])-A[i];
 fb[i]:=exp(-B[i])-B[i];
 y[i]:=(A[i]*fb[i]-B[i]*fa[i])/(fb[i]-fa[i]);
 fy[i]:=exp(-y[i])-y[i];
 ER[i]:=abs(1-y[i-1]/y[i]);
 
 if ER[i]<er then
 sol:=y[i];
 break;
 end if;
end for;
end if;
 
end Regula_Falsi_Algorithm;

Tugas Video

Berikut video yang sudah saya buat: https://youtu.be/Q8-usKi9NsM

Pertemuan 3 (25 November 2020)

Pada awal-awal Pak Dai memaparkan tiga aplikasi metode numerik yang sering digunakan dalam menyelesaikan permasalahan teknik, pertama ada Computation Fluid Dynamics (CFD), lalu FInite Element Analysis (FEA), dan Metode Stokastik. CFD dan FEA berbasis ilmu fisika, kemudian metode stokastik berbasis data dan statistik. Ada lima langkah yang Pak Dai paparkan dalam mengaplikasikan metode numerik ke permasalahan teknik :

  • Riset masalah tekniknya terlebih dahulu
  • Menganalisis masalah (mendefinisikan variabel yang mau dicari dan mencari parameter fisikanya)
  • Membuat model matematika
  • Membuat model numerik
  • Setelah itu cari penyelesaian dengan bantuan komputer untuk mendapatkan output yang diinginkan

Soal Latihan Trusses Problem

Example 3.1 RS.jpg

Code

Grafik Displacement
Grafik Reaction Forces

Persamaan 

model Trusses

parameter Integer N=10; //Global matrice = 2*points connected
parameter Real A=8;
parameter Real E=1.9e6;
Real G[N,N]; //global
Real Ginitial[N,N]; //global
Real Sol[N]; //global dispplacement
Real X[N]={0,0,0,0,0,0,0,-500,0,-500};
Real R[N]; //global reaction force
Real SolMat[N,1];
Real XMat[N,1];

//boundary coundition
Integer b1=1;
Integer b2=3;

//truss 1
parameter Real X1=0; //degree between truss
Real k1=A*E/36;
Real K1[4,4]; //stiffness matrice
Integer p1a=1;
Integer p1b=2;
Real G1[N,N];

//truss 2
parameter Real X2=135; //degree between truss
Real k2=A*E/50.912;
Real K2[4,4]; //stiffness matrice
Integer p2a=2;
Integer p2b=3;
Real G2[N,N];

//truss 3
parameter Real X3=0; //degree between truss
Real k3=A*E/36;
Real K3[4,4]; //stiffness matrice
Integer p3a=3;
Integer p3b=4;
Real G3[N,N];

//truss 4
parameter Real X4=90; //degree between truss
Real k4=A*E/36;
Real K4[4,4]; //stiffness matrice
Integer p4a=2;
Integer p4b=4;
Real G4[N,N];

//truss 5
parameter Real X5=45; //degree between truss
Real k5=A*E/50.912;
Real K5[4,4]; //stiffness matrice
Integer p5a=2;
Integer p5b=5;
Real G5[N,N];

//truss 6
parameter Real X6=0; //degree between truss
Real k6=A*E/36;
Real K6[4,4]; //stiffness matrice
Integer p6a=4;
Integer p6b=5;
Real G6[N,N];

/*
for each truss, please ensure pXa is lower then pXb (X represents truss element number)
*/

algorithm

//creating global matrice
K1:=Stiffness_Matrices(X1);
G1:=k1*Local_Global(K1,N,p1a,p1b);

K2:=Stiffness_Matrices(X2);
G2:=k2*Local_Global(K2,N,p2a,p2b);

K3:=Stiffness_Matrices(X3);
G3:=k3*Local_Global(K3,N,p3a,p3b);

K4:=Stiffness_Matrices(X4);
G4:=k4*Local_Global(K4,N,p4a,p4b);

K5:=Stiffness_Matrices(X5);
G5:=k5*Local_Global(K5,N,p5a,p5b);

K6:=Stiffness_Matrices(X6);
G6:=k6*Local_Global(K6,N,p6a,p6b);

G:=G1+G2+G3+G4+G5+G6;
Ginitial:=G;

//implementing boundary condition
for i in 1:N loop
 G[2*b1-1,i]:=0;
 G[2*b1,i]:=0;
 G[2*b2-1,i]:=0;
 G[2*b2,i]:=0;
end for;

G[2*b1-1,2*b1-1]:=1;
G[2*b1,2*b1]:=1;
G[2*b2-1,2*b2-1]:=1;
G[2*b2,2*b2]:=1;

//solving displacement
Sol:=Gauss_Jordan(N,G,X);

//solving reaction force
SolMat:=matrix(Sol);
XMat:=matrix(X);
R:=Reaction_Trusses(N,Ginitial,SolMat,XMat);

end Trusses;

Tugas Trusses Problem

Soal Trusses 2 RS.jpg

code

Grafik Displacement
Grafik Reaction Forces

Persamaan 

class Trusses_HW

parameter Integer N=8; //Global matrice = 2*points connected
parameter Real A=0.001; //Area m2
parameter Real E=200e9; //Pa
Real G[N,N]; //global
Real Ginitial[N,N]; //global
Real Sol[N]; //global dispplacement
Real X[N]={0,0,-1035.2762,-3863.7033,0,0,-1035.2762,-3863.7033};
Real R[N]; //global reaction force
Real SolMat[N,1];
Real XMat[N,1];

//boundary condition
Integer b1=1;
Integer b2=3;

//truss 1
parameter Real X1=0; //degree between truss
Real k1=A*E/1;
Real K1[4,4]; //stiffness matrice
Integer p1a=1;
Integer p1b=2;
Real G1[N,N];

//truss 2
parameter Real X2=0; //degree between truss
Real k2=A*E/1;
Real K2[4,4]; //stiffness matrice
Integer p2a=2;
Integer p2b=3;
Real G2[N,N];

//truss 3
parameter Real X3=90; //degree between truss
Real k3=A*E/1.25;
Real K3[4,4]; //stiffness matrice
Integer p3a=2;
Integer p3b=4;
Real G3[N,N];

//truss 4
parameter Real X4=90+38.6598; //degree between truss
Real k4=A*E/1.6;
Real K4[4,4]; //stiffness matrice
Integer p4a=1;
Integer p4b=4;
Real G4[N,N];

//truss 5
parameter Real X5=90-38.6598; //degree between truss
Real k5=A*E/1.6;
Real K5[4,4]; //stiffness matrice
Integer p5a=3;
Integer p5b=4;
Real G5[N,N];

/*
for each truss, please ensure pXa is lower then pXb (X represents truss element number)
*/

algorithm

//creating global matrice
K1:=Stiffness_Matrices(X1);
G1:=k1*Local_Global(K1,N,p1a,p1b);

K2:=Stiffness_Matrices(X2);
G2:=k2*Local_Global(K2,N,p2a,p2b);

K3:=Stiffness_Matrices(X3);
G3:=k3*Local_Global(K3,N,p3a,p3b);

K4:=Stiffness_Matrices(X4);
G4:=k4*Local_Global(K4,N,p4a,p4b);

K5:=Stiffness_Matrices(X5);
G5:=k5*Local_Global(K5,N,p5a,p5b);

G:=G1+G2+G3+G4+G5;
Ginitial:=G;

//implementing boundary condition
for i in 1:N loop
 G[2*b1-1,i]:=0;
 G[2*b1,i]:=0;
 G[2*b2-1,i]:=0;
 G[2*b2,i]:=0;
end for;

G[2*b1-1,2*b1-1]:=1;
G[2*b1,2*b1]:=1;
G[2*b2-1,2*b2-1]:=1;
G[2*b2,2*b2]:=1;

//solving displacement
Sol:=Gauss_Jordan(N,G,X);

//solving reaction force
SolMat:=matrix(Sol);
XMat:=matrix(X);
R:=Reaction_Trusses(N,Ginitial,SolMat,XMat);

end Trusses_HW;

Fungsi Panggil

Matrice Transformation 

function Stiffness_Matrices
input Real A;
Real Y;
output Real X[4,4];
Real float_error = 10e-10;

final constant Real pi=2*Modelica.Math.asin(1.0);

algorithm

Y:=A/180*pi;
    
X:=[(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y);

Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2;

-(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y);

-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2];

for i in 1:4 loop
 for j in 1:4 loop
   if abs(X[i,j]) <= float_error then
     X[i,j] := 0;
   end if;
 end for;
end for;

end Stiffness_Matrices;

Global Element Matrice 

function Local_Global
input Real Y[4,4];
input Integer B;
input Integer p1;
input Integer p2;
output Real G[B,B];

algorithm

for i in 1:B loop
 for j in 1:B loop
     G[i,j]:=0;
 end for;
end for;

G[2*p1,2*p1]:=Y[2,2];
G[2*p1-1,2*p1-1]:=Y[1,1];
G[2*p1,2*p1-1]:=Y[2,1];
G[2*p1-1,2*p1]:=Y[1,2];

G[2*p2,2*p2]:=Y[4,4];
G[2*p2-1,2*p2-1]:=Y[3,3];
G[2*p2,2*p2-1]:=Y[4,3];
G[2*p2-1,2*p2]:=Y[3,4];

G[2*p2,2*p1]:=Y[4,2];
G[2*p2-1,2*p1-1]:=Y[3,1];
G[2*p2,2*p1-1]:=Y[4,1];
G[2*p2-1,2*p1]:=Y[3,2];

G[2*p1,2*p2]:=Y[2,4];
G[2*p1-1,2*p2-1]:=Y[1,3];
G[2*p1,2*p2-1]:=Y[2,3];
G[2*p1-1,2*p2]:=Y[1,4];

end Local_Global;

Reaction Matrice Equation 

function Reaction_Trusses
input Integer N;
input Real A[N,N];
input Real B[N,1];
input Real C[N,1];
Real X[N,1];
output Real Sol[N];
Real float_error = 10e-10;

algorithm
X:=A*B-C;

for i in 1:N loop
 if abs(X[i,1]) <= float_error then
   X[i,1] := 0;
 end if;
end for;

for i in 1:N loop
 Sol[i]:=X[i,1];
end for;

end Reaction_Trusses;

Pertemuan 4 (2 Desember 2020)

Kuis: Membuat Flowchart dan Diagram

Hasfi 1 kuis.jpg
Hasfi 2 kuis.jpg
Hasfi 3 kuis.jpg


Tugas

Hasfi soal 4.jpg
Hasfi 1 p4.jpg
Hasfi 2 p4.jpg
Hasfi 3 p4.jpg
Hasfi 4 p4.jpg
Hasfi 5 p4.jpg


Pertemuan 5 (16 Desember 2020)

Pada minggu ini topiknya adalah optimasi sistem menggunakan OpenModelica. Sebelum pertemuan Bu Chandra memberikan contoh kasus optimasi dan juga pesudocode nya. Contoh kasus tersebut adalah optimasi metode bracket. Berikut code dalam penerapan di aplikasi OpenModelica: 

FungsiObjek.mo
function FungsiObjek
 
input Real x;
output Real y;

algorithm

y:= 2*Modelica.Math.sin(x)-x^2/10;

end FungsiObjek; 

BracketOptimal.mo
model BracketOptimal

parameter Integer n = 8;
Real x1[n];
Real x2[n];
Real xup;
Real xlow;
Real f1[n];
Real f2[n];
Real xopt;
Real yopt;
Real d;

algorithm
xup := 4;
xlow := 0;

for i in 1:n loop
  d:=((5^(1/2)-1)/2) * (xup-xlow);
  x1[i] := xlow+d;
  x2[i] := xup-d;
  f1[i] := FungsiObjek(x1[i]);
  f2[i] := FungsiObjek(x2[i]);
  
  if f1[i]>f2[i] then
    xup := xup;
    xlow := x2[i];
    xopt := xup;
    yopt := f1[i];
    else
      xlow :=xlow;
      xup := x1[i];
      xopt := xup;
  end if;
end for;
 

end BracketOptimal;


Tugas Besar (23 Desember 2020)

Soal Tugas Besar

Untuk tugas besar mata kuliah Metode Numerik terdapat sebuah permodelan rangka kontruksi. Mahasiswa diminta untuk mencari harga pengadaan rangka tersebut secara optimal dengan pertimbangan dimensi dan material.

Soal Tubes Hasfi.jpg

Definisi Node dan Elemen

Penyelesaian dari soal tugas besar ini harus diawali dengan pendefinisian elemen dan node pada rangka.

Ranngka Hasfi.png

Asumsi dan constraint

Asumsi yang saya lakukan pada permodelan ini:

  • Bersifat trusses (beban akan terdistribusi hanya pada node).
  • Safety factor = 2.
  • Batas displacement = 0,001 m (sesaat sebelum buckling pada truss paling atas).
  • h trusses = 0,6 m (setiap lantai).

constraint atau batasan pada kasus ini:

  • Node 1,2,3,4 fixed.
  • F1 dan F2 terdistribusi ke node sekitaranya.
  • Node 13 & 16 = 1000N.
  • Node 14 & 15 = 500N.

Penyelesaian

Dalam kasus pada soal yaitu mencari dimensi area dan material yang paling optimal untuk pembentukan rangka, maka diperlukan pencarian data dari material dan variasi dimensi yang akan diuji. Saya menggunakan data excel dari teman saya yaitu Josiah, Christopher dan Fahmi sehingga mendapat data sebagai berikut

Data 1 Hasfi.jpg

Penyelesaian dilakukan dengan dua metode yaitu:

  1. Pencarian material yang optimal dengan satu data dimensi (fixed area)
  2. Pencarian dimensi yang optimal dengan satu data material (fixed material)

Code

Stress analysis model TugasBesarMuhammadHasfi 

//define initial variable
parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points
parameter Integer Trusses=size(C,1); //Number of Trusses
parameter Real Yield= (nilai yield) ; //Yield Strength Material(Pa)
parameter Real Area= (nilai area) ;   //Luas Siku (Dimension=30x30x3mm)
parameter Real Elas= (nilai elastisitas) ;     //Elasticity Material (Pa)
//define connection
parameter Integer C[:,2]=[ 1,5;  // (1)
                          2,6;  // (2)
                          3,7;  // (3)
                          4,8;  // (4)
                          5,6;  // (5)
                          6,7;  // (6)
                          7,8;  // (7)
                          5,8;  // (8)
                          5,9;  // (9)
                          6,10; // (10)
                          7,11; // (11)
                          8,12; // (12)
                          9,10; // (13)
                          10,11;// (14)
                          11,12;// (15)
                          9,12; // (16)
                          9,13; // (17)
                          10,14;// (18)
                          11,15;// (19)
                          12,16;// (20)
                          13,14;// (21)
                          14,15;// (22)
                          15,16;// (23)
                          13,16];//(24)
//define coordinates (please put orderly)
parameter Real P[:,6]=[     0   ,0  ,0,1,1,1;     //node 1
                           0.75,0  ,0,1,1,1;    //node 2
                           0.75,0.6,0,1,1,1;     //node 3
                           0   ,0.6,0,1,1,1;      //node 4
                           
                           0   ,0  ,0.3,0,0,0;   //node 5
                           0.75,0  ,0.3,0,0,0;  //node 6
                           0.75,0.6,0.3,0,0,0;   //node 7
                           0   ,0.6,0.3,0,0,0;    //node 8
                           
                           0   ,0  ,1.05,0,0,0;   //node 9
                           0.75,0  ,1.05,0,0,0;  //node 10  
                           0.75,0.6,1.05,0,0,0;   //node 11
                           0   ,0.6,1.05,0,0,0;    //node 12
                           
                           0   ,0  ,1.8,0,0,0;   //node 13
                           0.75,0  ,1.8,0,0,0;  //node 14
                           0.75,0.6,1.8,0,0,0;   //node 15
                           0   ,0.6,1.8,0,0,0];   //node 16
                           
//define external force (please put orderly)
parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,-1000, 
                           0,0,-500, 
                           0,0,-500, 
                           0,0,-1000}; 
//solution
Real displacement[N], reaction[N];
Real check[3];
Real stress1[Trusses];
Real safety[Trusses];
Real dis[3];
Real Str[3];
protected
 parameter Integer N=3*Points;
 Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3];
 Real err=10e-15, ers=10e-8;
algorithm
//Creating Global Matrix
G:=id;
for i in 1:Trusses loop
 for j in 1:3 loop
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
 end for;       
   //Solving Matrix
   L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
   cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
   cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
   cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
   X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                     cy*cx,cy^2,cy*cz;
                     cz*cx,cz*cy,cz^2];
    //Transforming to global matrix
   g:=zeros(N,N); 
   for m,n in 1:3 loop
     g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
     g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
     g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
     g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
   end for;   
 G_star:=G+g;
 G:=G_star;
end for;
//Implementing boundary
for x in 1:Points loop
 if P[x,4] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[(x*3)-2,a]:=0;
     G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
   end for;
 end if;
 if P[x,5] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[(x*3)-1,a]:=0;
     G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
   end for;
 end if;
 if P[x,6] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[x*3,a]:=0;
     G[x*3,x*3]:=1;
   end for;
 end if;
end for;
//Solving displacement
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);
//Solving reaction
reaction:=(G_star*displacement)-F;
//Eliminating float error
for i in 1:N loop
 reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
 displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
end for;
//Checking Force
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))});
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))});
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)});  
for i in 1:3 loop
 check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
end for;
//Calculating stress in each truss
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
  dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
end for;       
   //Solving Matrix
   L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
   cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
   cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
   cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
   X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                cy*cx,cy^2,cy*cz;
                cz*cx,cz*cy,cz^2];    
   Str:=(X*dis);
   stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
end for;
//Safety factor
for i in 1:Trusses loop
 if stress1[i]>0 then
   safety[i]:=Yield/stress1[i];
 else
   safety[i]:=0;
 end if; 
end for;
end TugasBesarMuhammadHasfi;

Curve fitting 

model callcurve
 parameter Real [8] X={1.11e-4,1.41e-4,1.71e-4,2.31e-4,3.04e-4,3.75e-4,7.44e-4,8.64e-4};
 parameter Real [8] Y={273700 ,318800 ,381200 ,512800 ,683700 ,838000 ,1663100,1986400};
 Real [3] Coe;
algorithm
 Coe:=Curve_Fitting(X,Y);
end callcurve;

Function 

function Curve_Fitting
  input Real X[:];
  input Real Y[size(X,1)];
  input Integer order=2;
  output Real Coe[order+1];
protected
  Real Z[size(X,1),order+1];
  Real ZTr[order+1,size(X,1)];
  Real A[order+1,order+1];
  Real B[order+1];
algorithm
 for i in 1:size(X,1) loop
  for j in 1:(order+1) loop
  Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j);
  end for;
 end for;
ZTr:=transpose(Z);
A:=ZTr*Z;
B:=ZTr*Y;
Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B); //Coe:=fill(2,size(Coe,1));

end Curve_Fitting;

Optimalisasi (metode golden ratio) 

model Opt_Gold
 parameter Real[3] y={-834.974,0.356007,2.39937e-5};
 parameter Real xlo=111e-6;
 parameter Real xhi=3.75e-4; 
 parameter Integer N=10; // maximum iteration
 parameter Real es=0.0001; // maximum error
 Real f1[N], f2[N], x1[N], x2[N], ea[N];
 Real xopt,  fx;
protected
 Real d, xl, xu, xint, R=(5^(1/2)-1)/2;
algorithm
 xl := xlo; 
 xu := xhi; 
for i in 1:N loop
 d:= R*(xu-xl);
 x1[i]:=xl+d;
 x2[i]:=xu-d;
 f1[i]:=y[1]*x1[i]^2+y[2]*x1[i]+y[3];
 f2[i]:=y[1]*x2[i]^2+y[2]*x2[i]+y[3];
 xint:=xu-xl; 
 if f1[i]>f2[i] then
   xl:=x2[i];
   xopt:=x1[i];
   fx:=f1[i];
   else
     xu:=x1[i];
     xopt:=x2[i];
     fx:=f2[i];
 end if; 
ea[i]:=(1-R)*abs((xint)/xopt);
if ea[i]<es then
  break;
end if;

end for; end Opt_Gold;

Perhitungan

A. Fixed Elasticity

Berikut perhitungan dalam menentukan Safety Factor/Cost ratio. Rasio ini diperlukan unuk mengetahui dimensi apa yang optimal dalam pembentukan rangka yang ada. Curve fitting juga diperlukan dalam perhitungan untuk melengkapi data SS304 yang masih belum diketahui.

Data 2 Hasfi.jpg
Data 3 Hasfi.jpg

B. Fixed Area

Dalam menentukan material yang optimal digunakan dimensi tetap yaitu 30x30x3mm serta dilakukan curve fitting.

Data 4 Hasfi.jpg
Data 5 Hasfi.jpg

Kesimpulan

  • Nilai luas area penampang optimum untuk material SS304 adalah 283,81 mm^2 atau untuk ukuran yang ada di pasaran ukuran optimumnya adalah batang L dengan lebar 6m dan tebal 60mm.
  • Material optimum yang dapat digunakan untuk luas penampang 270mm^2 adalah material dengan nilai elastisitas 15324000000000 N/m^2 atau material yang paling mendekati adalah SS316L.

Ujian Akhir Semester (13 Januari 2021)

Berikut jawaban Ujian Akhir Semester (UAS) mata kuliah Metode Numerik yang saya kerjakan pada tanggal 13 januari 2021.


Hasfiuas1.jpg
Hasfiuas2.jpg
Hasfiuas3.jpg
Hasfiuas4.jpg
Hasfiuas5.jpg


Jawaban nomor 7 dilakukan menggunakan aplikasi OpenModelica. Berikut code yang saya simulasikan di aplikasi tersebut:


Hasfiuas6.jpg
Hasfiuas7.jpg
Hasfiuas8.jpg
Hasfiuas9.jpg
Hasfiuas10.jpg


Dari simulasi pada aplikasi OpenModelica didapatkan hasil sebagai berikut:


Hasfiuas11.jpgHasfiuas12.jpgHasfiuas13.jpg

Retrieved from "http://air.eng.ui.ac.id/index.php?title=Muhammad_Hasfi_Rizki_Nur&oldid=56042"