User talk:Athoillah.azadi

RESUME MATA KULIAH KOMPUTASI TEKNIK

Oleh : ATHOILLAH AZADI

---

KONSEP AKAL DAN BERAKAL

Manusia diciptakan Tuhan dengan kesempurnaan tersendiri dibandingkan dengan makhluk lainya, dimana dibekali akal dan budi. Secara linguistik, kata akal  (al-‘aql) dalam bahasa Inggris diterjemahkan menjadi reason, intelligence, intellect, understanding, dan intellectual powers. Banyaknya kata yang digunakan untuk menerjemahkan kata al-‘aql menunjukkan kompleksitas makna kata asal tersebut.

Akal bagi manusia dipergunakan untuk memikirkan dan memahami makna setiap ciptaan Tuhan, baik yang ada pada diri manusia maupun yang ada di luar diri manusia (lingkungan hingga alam semesta) dengan tujuan untuk mencapai kedamaian maupun kenyamanan dalam hidup. Dalam pandangan Islam, manusia diwajibkan mempergunakan akal fikirannya untuk menggali secara luas, dalam, dan tinggi segala ciptaan Tuhan untuk tujuan masa sekarang (duniawi) maupun tujuan masa depan yang lebih kekal (akhirat).

Kata "akal" dan aneka bentuknya dalam jumlah yang sedemikian banyak mengisyaratkan pentingnya peranan akal. Bahkan kedudukan itu diperkuat oleh ketetapan al-Qur’an tentang pencabutan/pembatasan wewenang mengelola dan membelanjakan harta-walau milik seseorang bagi yang tidak memiliki akal/pengetahuan (Q.S. An-Nisa ayat 5). Bahkan pengabaian akal berpotensi mengantar seseorang tersiksa di dalam neraka (Q.S. Al-Mulk ayat 11).

Melalui akal, lahir kemampuan menjangkau pemahaman sesuatu yang pada gilirannya mengantar pada dorongan berakhlak luhur. Ini dapat dinamai al-‘aql al-wazi’, yakni akal pendorong.Akal juga digunakan untuk memperhatikan dan menganalisis sesuatu guna mengetahui rahasia-rahasia yang terpendam untuk memperoleh kesimpulan ilmiah dan hikmah yang dapat ditarik dari analisis tersebut. Kerja akal di sini membuahkan ilmu pengetahuan sekaligus perolehan hikmah yang mengantar pemiliknya mengetahui dan mengamalkan apa yang diketahuinya. Ini dinamai al’aql al-mudrik, yakni akal penjangkau (pengetahuan).

Di samping kedua fungsi di atas, masih ada lagi yang melebihi keduanya, yaitu yang mencakup keduanya, tapi dalam bentuk yang sempurna dan matang sehingga tidak ada lagi kekurangan atau kekeruhan. Memang, bisa saja ada akal yang menghasilkan pengetahuan, tetapi (masih berpotensi mengandung) kekurangan hikmah. Demikian juga bisa jadi ada hikmah yang dilahirkan oleh mereka yang tidak berpengetahuan.

Telaah manfaat keberakalan dan pemanfaatan akal pada setiap fenomena kehidupan akan menjadikan manusia memiliki kelebihan dan keutamaan dibandingkan dengan manusia lainnya yang tidak menggunakan akal, diantaranya : keluasan pandangan; kepandaian memilih dan memutuskan perkara yang memberi manfaat dan tidak bermanfaat; mampu memilih perkara yang memberikan dampak kekekalan meskipun sulit proses/jalan yang dihadapi; kemampuan menaksir harga diri dan rugi-untungnya memanfaatkan waktu apakah telah dimanfaatkan untuk sesuatu yang berguna ataukah sia-sia; memiliki kemampuan berbantah dengan diri sendiri sehingga setiap melangkah dan ingin memutuskan sesuatu akan mempertimbangkan baik-buruk maupun manfaat-kesia-siaan; memiliki kemampuan introspeksi diri dengan mengingat kekurangan dalam diri; memiliki kemampuan untuk tidak larut pada kesedihan akan segala hal yang bersifat duniawi seperti tidak tercapainya cita-cita akan sesuatu hal; memiliki kecerdasan sosial untuk memilih lingkungan pergaulan dengan sesama orang berakal; memiliki kecerdasan tidak memandang remeh setiap persoalan dan kesalahan; memiliki pemahaman akan kehidupan dan kebahagiaan sejati dimana orang berakal paham bahwa kehidupan yang baik, benar, dan mulia adalah hidup yang bermanfaat bagi manusia lain dan lingkungannya; memiliki keringuan pada tiga hal yaitu kerinduan akan pasca kehidupan dunia, kerinduan akan ketenangan jiwa, serta kerinduan akan pencarian makna hidup sesungguhnya.

---

KONSEP KEBENARAN

Manusi a sebagai mahluk pencari kebenaran dalam perenungannya akan menemukan tiga bentuk eksistensi yaitu agama, ilmu pengetahuan dan filsafat. Agama mengantarkan pada kebenaran sejati sedangkan ilmu pengetahuan dan filsafat membuka jalan untuk mencari kebenaran sejati tersebut. Sebagai mahluk yang dinamis manusia selalu berusaha menemukan kebenaran. Beberapa cara ditempuh untuk memperoleh kebenaran, antara lain dengan menggunakan rasio seperti para rasionalis dan melalui pengalaman atau empiris. Pengalaman-pengalaman yang diperoleh manusia membuahkan prinsip-prinsip yang lewat penalaran rasional, kejadian-kejadian yang berlaku di alam itu dapat dimengerti.

Ilmu pengetahuan dipahami sebagai suatu kemampuan berpikir dengan menggunakan rasio dalam objek yang menjadi sasaran kebenaran itu sendiri yang belum pasti melekat dalam objek. Terkadang hanya dapat dibenarkan oleh persepsi-persepsi (dzon) belaka. Dari fakta tersebut kebenaran itu berarti dapat didefinisikan berdasarkan dengan paradigma yang dipakai. Kebenaran dapat berarti kebenaran diri, kebenaran bersama, dan kebenaran yang sejati. Kebenaran diri merupakan kebenaran yang bersifat relatif menurut persepsi, sudut pandang, serta intensitas pandang tiap manusia yang sangat mungkin berbeda-beda. Kebenaran bersama adalah kebenaran yang disepakati secara bersama-sama dengan tujuan untuk memperoleh kebaikan dan kemaslahatan bersama. Kebenaran sejati/hakiki adalah kebenaran yang berasal langsung dari Tuhan, contohnya Al Qur’an, kebenaran ini pun ketika diterjemahkan tiap manusia (ditafsirkan) dapat berbeda-beda tergantung tingkat pengetahuan dan pemahamannya. Contoh lain, sebagai warga negara Indonesia, kita sepakati (kebenaran bersama) bahwa Pancasila adalah sebuah kebenaran, meskipun begitu pemahaman setiap orang atau kelompok tentang konsep Pancasila sangatlah mungkin berbeda-beda. Oleh karena itu kebenaran terhadap suatu hal yang diyakini oleh seseorang atau kelompok masyarakat tidak boleh menjadikannya sebagai kebenaran mutlak apalagi menyalahkan orang lain yang tidak sepaham, sehingga dibutuhkan kedewasaan untuk saling menghargai pada kebenaran menurut persepsi masing-masing, sejauh dalam memahami kebenaran tersebut output yang dihasilkan adalah sebuah KEBAIKAN dan KEDAMAIAN bagi bersama, masyarakat, dan lingkungan yang lebih luas (bangsa dan dunia).

Dalam mencari setiap kebenaran yang sejati/hakiki maka terdapat 4 hal yang menghalangi manusia dari memahami kebenaran sejati tersebut, yaitu :

1. Kehormatan/kedudukan, pencarian kebenaran apabila dibalik pencarian tersebut memiliki tendensi pada naiknya martabat, kehormatan, dan kedudukan di masyarakat maka akan menghalangi diperolehnya kebenaran yang sejati.

2. Materi, baik harta maupun pengetahuan, ketika menjadi niat dalam mencari kebenaran, maka kebenaran yang didapatkan adalah kebenaran yang semu, atau malah kebohongan.

3. Ikut-ikutan, atau taklid pada orang-orang tertentu, yaitu ketika dalam mencari kebenaran sejati melalui persepsi dan kebenaran tokoh/orang tertentu, maka kebenaran yang diperoleh akan tercemari dan tertutupi pada pengkultusan dan pembenaran terhadap persepsi tokoh tersebut.

4. Berbuat maksiat, pencarian kebenaran membutuhkan kemurnian dan kebersihan hati dan fikiran, sehingga dengan berbuat maksiat maka telah tertutuplah jalan dalam mencari kebenaran sejati.

---

TUJUAN PELAJARAN

Mata kuliah komputasi teknik didefinisikan sebagai cara untuk memahami respons sebuah sistem mekanik yang kompleks jika diberi beban dengan menggunakan pendekatan komputasi, salah satunya finite element maupun finite volume. Beban di sini dapat berarti sebuah beban yang sekali datang, beban kejut, maupun beban gradual terus menerus. Sebuah benda yang diam atau tidak mengalami percepatan pun bisa jadi mengalami beban. Respons sesuatu terhadap beban sendiri sesungguhnya tidak linier, rumus-rumus eksak yang ada kebanyakan merupakan linearisasi dari kondisi sesungguhnya yang belum tentu selalu benar. Mata kuliah komputasi teknik membahas metode lain memecahkan masalah-masalah yang sesungguhnya tidak dapat dihitung menggunakan cara eksak yang cenderung linier. Namun demikian, metode ini pun memiliki batasan, yaitu seluruh perhitungan dianggap sesuatu yang berhingga dan berdigit (finite), padahal kuasa Tuhan menciptakan alam semesta adalah tak berhingga, atau infinite. Setelah mengikuti mata kuliah komputasi teknik, mahasiswa diharapkan memenuhi dua kriteria yang ditetapkan, yaitu:

1. Memahami dan mampu mempraktekkan konsep aritmatika, flow-chart, dan model matematika, algoritma, parsial, differensial, error, dll

2. Menjadi lebih tahu diri mahasiswa melalui tingkat pemahaman, konsep infinite yang dipraktekkan dalam pelajaran kaitannya untuk memahami konsep keimanan pada Tuhan.

---

KONSEP INFINITE

Definisi dari simbol tak hingga (Infinity) adalah sebuah konsep abstrak yang menggambarkan sesuatu yang tanpa batas dan relevan dalam sejumlah bidang, terutama matematika dan fisika. Tak hingga (Infinity) itu dalam daftar simbol matematika yang telah diorganisir menurut jenis simbolnya termasuk ke dalam daftar simbol bukan huruf yang lain dan merupakan kategori bilangan. Namun, ada beberapa yang berpendapat bahwa tak hingga bukan benar-benar bilangan. Tak berlaku seperti bilangan yang biasa kita gunakan. Bilangan yang kita gunakan seluruhnya memiliki akhir, tetapi tak hingga tidak memilikinya. Beberapa orang juga ada yang berpendapat bahwa tak hingga ialah tiap bilangan (kecuali 0) yang dibagi oleh 0 sehingga bernilai tak hingga.

Dalam wikipedia, bahwa tak hingga atau ananta yang sering ditulis ∞, ialah bilangan yang lebih besar dari pada tiap-tiap yang kemungkinan dapat dibayangkan. Oleh Aria Turn, tak hingga atau infinity yang dinotasikan ∞  (diambil dari kata latin “infinitas” yang artinya tak terbatas/ unbounded) adalah sebuah konsep BUKAN bilangan atau angka seperti yang disangka banyak orang. Dalam matematika ∞ adalah “sesuatu” yang lebih besar dari bilangan manapun tetapi sesuatu itu BUKAN bilangan,  dengan kata lain tidak ada bilangan yang lebih besar dari ∞. Karena ∞ bukan sebuah bilangan maka ∞ tidak ganjil, tidak genap, dan tidak juga prima.

Tak hingga juga dapat didefinisikan sebagai bilangan yang tak dapat terhitung besarnya atau tak terbatas dan bilangan itu bukan bilangan real, maka dari itu digunakanlah simbol tak hingga (∞) sebagai tanda nilai yang tak terhitung besarnya.

Penggunaan simbol tak terhingga

Simbol tak terhingga itu merupakan suatu “angka” yang dapat dioperasionalkan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, namun hasilnya tidak berubah selain daripada dirinya sendiri. “Angka” itu merupakan angka yang bukan angka, tetapi dianggap sebagai perwakilan sebuah angka namun tidak memiliki prinsip sebagai angka (baca: nilai). Sebagai prinsip, simbol tak-terhingga ini menjadi satu bentuk sebagai paradoks ditengah-tengah angka yang terhingga.

Penggunaan Simbol Infinity Tak Terhingga ∞ dalam Matematika

Dalam matematika, simbol infinity digunakan lebih sering untuk mewakili potensi infinity, daripada untuk mewakili kuantitas yang sebenarnya tak terbatas seperti nomor urut dan nomor kardinal (yang menggunakan notasi lainnya). Misalnya, dalam notasi matematika untuk penjumlahan dan batasan seperti  dalam Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Deret Geometri atau Deret Ukur, Rumus Trigonometri Invers (arckosinus, arctangen, arckotangen, arcsekan, arckosekan), Teorema Dasar Kalkulus dan masih banyak lagi.

Tak Terhingga ∞ sebagai Manifestasi Tuhan

Setiap individu mempunyai bayangan mengenai Tuhan, Allah Swt. Ia dapat bersifat sementara, lama, kabur, jelas, berulang, atau bahkan bayangan yang langsung gaib ketika dilihat. Adanya alam semesta beserta seluruh isinya merupakan bukti adanya Tuhan yang menciptakannya. Keajaiban alam semesta menunjukkan kebesaran Allah. Tiada satupun yang ada di alam ini dapat hadir tanpa adanya Allah. Segala sesuatu di alam ini, yang merupakan perkembangan kehidupan alam semesta sejak pertama kali diciptakan hingga hari akhirnya merupakan manifestasi adanya Allah. Marilah kita menggambarkan hal di atas dengan bahasa matematika, dengan konsep barisan dan deret. Lihatlah persamaan-persamaan berikut:

1/2=1− 1/2

1/4=1/2−1/4

1/8=1/4−1/8

1/2 n =(1/2n−1)- (1/2n)

Jika kedua kolom pada sisi kiri kita tambahkan tentunya kan sama dengan penjumlahan kolom pada sisi kanan, sehingga diperoleh

½+ ¼+ 1/6+ … + ½^n = 1- ½

Andaikata kita membuat n menjadi sedemikian besar hingga kita pun tidak dapat menghitungnya maka 1/2n akan menjadi sangatlah kecil atau mendekati nol dibandingkan dengan kesatuan. Bahkan sebenarnya, setelah proses pembesaran nilai n berjalan cukup lama namun jumlah akhir seluruhnya dari deret bilangan itu akan hanya sedikit lebih besar dari nol dibandingkan dengan kesatuan. Hal ini telah dibuktikan pada kalkulus matematika dengan konsep limit tak terhingga yaitu:

lim n ∞ 1/(2^n) = 0

Oleh karena itu dapatlah dikatakan bahwa jika nilai n sebesar tak terhingga, maka deret bilangannya menjadi

½+ ¼+ 1/16+ … + ½^n = 1

Dengan penalaran serupa dapat pula ditunjukkan bahwa:

½ = ¼+ 1/8+ 1/16+ …

¼ = 1/8+ 1/16+ 1/32 + …

1/8 = 1/16+ 1/32 + 1/64 +…

1/16 = 1/32 + 1/64 + 1/128 + …

atau

1/(2^n) = 1/(2^(n+1))+ 1/(2^(n+2))+ 1/(2^(n+3))+…

Hasil dari penjumlahan di atas membuktikan bahwa kesatuan itu sama dengan jumlah bagian-bagian dari barisan bilangan ini :

½ , ¼, 1/6, …, 1/(2^n)

Jika n semakin besar tak terhingga maka setiap bagian dalam barisan bilangan ini akan sama dengan penjumlahan semua bagian yang mengikutinya dalam barisan bilangan tersebut. Pemikiran demikian membuktikan secara matematis bahwa suatu keseluruhan (Kesatuan) dapat dikembangkan menjadi sederet bilangan bagian dan deret bilangan itu dapat dijadikan deret bilangan yang tak terhinga ataupun terbatas menurut kehendak kita, karena persamaan

½ + ¼+ 1/6+ … + 1/(2^n) = 1 - 1/(2^n)

akan berlaku untuk semua n bilangan natural (asli). Tetapi jika n dibuat menjadi tak terhingga, maka jumlah dari bagian yang terbatas dari akhir deret bilangan, yaitu

1/(2^n) = 1/(2^(n+1))+ 1/(2^(n+2))+ 1/(2^(n+3))+…

tidak akan mempengaruhi nilai akhir secara keseluruhannya. Dengan kata lain, sebuah deret bilangan akhir itu tidak akan mengubah nilai keseluruhannya, karena nilainya mendekati nol dibandingkan dengan kesatuan.

Dengan teorema kalkulus limit dibuktikan bahwa

lim n ∞ 1/(2^n) = lim n ∞ (1/(2^(n+1))+ 1/(2^(n+2))+ 1/(2^(n+3))+…)

= lim n ∞ 1/(2^(n+1)) + lim n ∞ 1/(2^(n+2))+ lim n ∞ 1/(2^(n+3))+…

= lim n ∞ 1/2(2^n) + lim n ∞ 1/(2^2 (2^n))+ lim n ∞ 1/(2^3(2^n))+…

= ½ (lim n ∞ 1/(2^n)) + ¼ (lim n ∞ 1/(2^n)) + 1/8 (lim n ∞ 1/(2^n)) +…

= ½ (0) + ¼ (0) + 1/8 (0) + …

= 0

Artinya, masing-masing nol itu adalah nol hanya jika dibandingkan dengan kesatuan. Jika nilai itu berdiri sendiri maka ia adalah nilai ganda dari nol. Seperti halnya nilai 12 adalah nilai ganda dari 14 , yaitu 12 = 2(14), dan 14 adalah nilai ganda dari 18 , dan seterusnya. Jadi secara komparatif dapatlah dikatakan bahwa nol juga merupakan nilai.

Deret bilangan

½ + ¼+ 1/6+ … + 1/(2^n) + … = 1

sangatlah sederhana tetapi sangat berguna. Ia menunjukkan bahwa suatu keseluruhan dapat dikembangkan menjadi sejumlah bagian dan masing- masing bagian itu merupakan bagian dari kesatuan, tetapi kesatuan itu berada di luar semua bagian-Nya namun mencakup semua bagian-Nya. Kita tidak menyatakan bahwa Allah atau Kenyataan itu serupa dengan deret bilangan itu. Dia sudah jelas diperluas menjadi banyak deret bilangan. Cukuplah dikatakan bahwa Dia mampu, jika ingin, untuk memberikan keinginan-Nya yang tak terhingga kepada semua makhluk-Nya dan tetap merupakan suatu keutuhan yang tak akan pudar sebanyak apapun Allah menciptakan makhluk-Nya dan sampai kapanpun. Dengan deret bilangan di atas dapatlah ditafsirkan bahwa Allah hanya memerlukan untuk mengatakan dari makhluk-Nya untuk menyatakan “jadilah” dan sesuatu itupun terjadi, sebagaimana dalam ayat-ayat al Qur’an, diantaranya adalah:

“Sesungguhnya keadaan-Nya apabila Dia menghendaki sesuatu hanyalah berkata kepadanya: "Jadilah!" maka terjadilah ia.” (QS:36:82)

“Sesungguhnya perkataan Kami terhadap sesuatu apabila Kami menghendakinya, Kami hanya mengatakan kepadanya: "kun (jadilah)", maka jadilah ia.” (QS:16:40)

“Allah berfirman (dengan perantaraan Jibril): "Demikianlah Allah menciptakan apa yang dikehendaki-Nya. Apabila Allah berkehendak menetapkan sesuatu, maka Allah hanya cukup berkata kepadanya: "Jadilah", lalu jadilah dia.” (QS:3:47)

“Dia-lah yang menghidupkan dan mematikan, maka apabila Dia menetapkan sesuatu urusan, Dia hanya bekata kepadanya: "Jadilah", maka jadilah ia.” (QS:40:68)

---

PENJELASAN PERTANYAAN BERAPA NILAI (X^2-1)/(X-1)? JIKA X=1

Persamaan ((x^2-1))/((x-1)) adalah tidak terdefinisi saat x=1, karena 0/0 adalah tak tentu (indeterminate). Tapi, jika dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x)=((x^2-1))/((x-1)) adalah terdefinisi saat x≠1, dan tidak terdefinisi saat x=1, dengan domain definisi adalah R \ {1}. Dari pada menyelesaikannya untuk x = 1, mari kita coba mendekatinya lebih dekat dan lebih dekat:

---

x (x^2 − 1)/ (x − 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Sekarang kita tahu bahwa saat x mendekati 1 maka ((x^2-1))/((x-1)) mendekati 2. Jika kita dekati dari sisi sebelahnya, nilainya juga mendekati 2.

x (x^2 − 1)/ (x − 1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

… …

Sekarang kita mempunyai 2 kondisi: Saat x=1 kita tidak tahu jawabannya (indeterminate) Tapi dapat dilihat bahwa nilainya mendekati 2

Saat kita akan menjawab 2 tidak bisa, jadi dalam matematika disebut limit, yaitu Limit fungsi f(x) mendekati 1. Sehingga dapat ditulis menjadi:

lim(x→1)⁡=〖(x^2-1)/(x-1)〗=lim(x→1)⁡〖((x-1)(x+1))/(x-1)〗=lim(x→1) (x+1)=2

Jadi itu adalah cara khusus untuk mengatakan, "mengabaikan apa yang terjadi ketika kita sampai di sana, tetapi ketika kita semakin dekat dan semakin dekat jawabannya semakin dekat ke 2".

Jadi, sebenarnya, kita tidak bisa mengatakan apa nilai di x = 1. Tetapi kita dapat mengatakan bahwa ketika kita mendekati 1, batasnya adalah 2.

Referensi

Firdaus, 2015. Konsep Al-Rububiyah (Ketuhanan) dalam Alquran. Jurnal Diskursus Islam Volume 3 Nomor 1, Tahun 2015, Hal: 102-118.

J. Ronald, 2015. Implikasi “Tak terhingga” Dalam Matematika dan Filsafat. https://jimmyronald.wordpress.com/2015/09/02/tak-terhingga-dalam-keterbatasan/

Rudy Rucker. Infinity. https://www.britannica.com/science/infinity-mathematics. https://www.mathsisfun.com/calculus/limits.html.

Sitti Trinurmi, Hakekat Dan Tujuan Hidup Manusia Dan Hubungannya Dengan Tujuan Pendidikan Islam.

http://jurnal.ar-raniry.ac.id/index.php/bayan/article/download/875/689