Farhan Fabian Rasyid

Farhan Fabian Rasyid atau yang sering dipangil Farhan merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan Nurokhim dan Siti Sofa. Farhan menyelesaikan pendidikan dasar di SDN 1 Balapulang Kulon, mengenyam pendidikan menengah di SMP Negeri 1 Balapulang dan SMA Negeri 3 Slawi dan sekarang sedang menempuh pendidikan sarjana jurusan Teknik Perkapalan, Departemen Teknik Mesin, Fakultas Teknik Universitas Indonesia. Dari sejak pendidikan dasar, Farhan sangat menggemari berbagai mata pelajaran sains, terutama matematia.Pengetahuan Farhan mengenai hal-hal berbau pemrograman masih sangat rendah, sementara kemampuan di bidang matematika dan fisika baik. Mengenai kemampuan mengoperasikan komputer, Farhan sudah menguasai dasar-dasar yang dibutuhkan untuk bekerja.

Tugas 1 Metode Numerik Farhan Fabian Rasyid

Pada kesempatan kali ini, kita diberikan tugas untuk menyelesaikan sebuah permasalahan matematis sederhana dengan cara biasa atau cara manual. Pada cara manual ini saya mencari nilai f(x) dengan langsung memasukkan nilai x = 1 ke dalam persamaan matematis tersebut, selanjutnya diperoleh hasil 0/0 yang menyatakan error matematika, sehingga perlu dilakukan analisis dari sudut pandang lain. Dari analisis tersebut kita bisa menjabarkan pembilang dan mensederhanakan penyebut agar diperoleh x + 1 pada persamaan akhirnya. Dengan mengganti variabel x dengan angka satu diperoleh hasil matematis sama dengan dua.

Pada kesempatan lain, saya mencoba menggunakan excel untuk menyelesaikan persamaan tersebut, dari hasil perhitungan pada excel dihasilkan nilai error matematika sehingga menurut excel hasil yang didapat tidak valid.

Komentar saya terhadap tugas pertama saya ini adalah sangat kurang effisien mengingat bentuk persamaan yang di uji coba sangat sederhana, bahkan sangat mudah diselesaikan dengan perhitungan matematis sederhana, penggunaan bahasa komputer dengan excel sangat tidak dianjurkan untuk dilakukan mengingat hasilnya juga tidak valid dan terjadi error matematika.

RESUME PERTEMUAN KEDUA KELAS METODE NUMERIK Hari Jum'at, 14 Februari 2020

Pada kesempatan pertemuan kedua ini kita mencoba membahas sedikit tentang tugas yang kemarin sempat diberikan, ternyata penyelesaian menggunakan penyeelsaian matematis sederhana menggunakan metode trial and error. Pada penyelesaian matematis sederhana dihasilkan hasil matematis yang valid, dimana hasil yang valid tersebut dapat diterima sebagai solusi penyelesaian yang dipecahkan. Sementara penyelesaian menggunakan microsoft excel menghasilkan error matematika dengan hasil div by zero. Akan jauh lebih efisien menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan metode hitung aljabar sederhana.

Disamping itu, pak Dai juga banyak menyisipkan nilai-nilai agama dalam perkuliahan metode numerik kali ini dimana kita tidak boleh menggantungkan diri kita kepada orang lain, harus berusaha untuk mandiri, mencoba menyelesaikan permasalahan yang kita hadapi dengan sabar dan baik. Selain itu kita disinggung dengan sikap malas kita terhadap tugas dan kewajiban akademis kita selaku seorang mahasiswa. Pertama kita harus menyadari betul bahwa tugas dan kewajiban yang dibebankan kepada kita sudah barang tentu sesuai dengan kapasitas dan kemampuan kita, dan kewajiban tersebut haruslah diselesaikan dengan baik. Selain dari pada itu, seperti yang dijelaskan Pak Dai, kita hanya bisa berusaha sebaik-baiknya persoalan hasil dan konsekuensi nantinya kita serahkan kepada Allah selaku our maker Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang.

Diinstruksikan juga kepada seluruh mahasiswa untuk mencari suatu permasalahan di bidang engineering yang dapat diselesaikan menggunakan numerical methods. Saya menemukan salah satu permasalahan di bidang aerodynamic pada halaman 277 adaptive runge kutta method dalam example 7.8 mengenai aerodynamic drag force. Soal tersebut berbunyi "The Aerodynamic drag force acting on a certain object in a free fall can be approximated by Fd = av^2e^(-by) where v = velocity of the object in m/s, y = elevation of the object in meters a = 7,54 kg/m and b = 10,53 x 10^-5 /m" Referensi : Jaan Kiusalaas, 2013, Numerical method in engineering with python 3, New York, Cambridge University Press

TUGAS 2 MEREVIEW SOAL TENTANG METODE NUMERIK PADA BIDANG ENGINEERING DAN INITIAL VALUE PROBLEM

Metode Numerik pada bidang engineering Diberikan analisis mengenai aerodynamic drag force The aerodynamic drag force acting on a certain object in free fall can be approximated by FD = av2 e−by where v = velocity of the object in m/s y = elevation of the object in meters a = 7.45 kg/m b = 10.53 × 10−5 m−1 The exponential term accounts for the change of air density with elevation. The differential equation describing the fall is my¨ = −mg + FD where g = 9.806 65 m/s2 and m = 114 kg is the mass of the object. If the object is released at an elevation of 9 km, determine its elevation and speed after a 10-s fall with the adaptive Runge-Kutta method. Solution. The differential equation and the initial conditions are y¨ = −g + a my˙2 exp(−by) = −9.80665 + 7.45 114 y˙2 exp(−10.53 × 10−5y) y(0) = 9000 m y˙(0) = 0 Letting y0 = y and y1 = y˙, the equivalent first-order equations become y˙ =

y˙0 y˙1 + =

y1 −9.80665 + � 65.351 × 10−3 � y2 1 exp(−10.53 × 10−5y0) + y(0) =

9000 m 0 +

Analisis : pada permasalahan ini, kita dihadapkan dengan masalah mengenai drag force pada bidang aeronautical engineering dimana perhitungan tersebut dibutuhkan pada simulasi jatuhnya pesawat terbang dengan kondisi tertentu. Setelah hasil perhitungan analisis, diperoleh bahwa ketinggian maksimum dengan drag force yang sudah ditentukan didapat 9000 meter diatas permukaan air laut. Pembelajaran : kita sebagai manusia dengan akal dan kelebihan yang diberikan Allah SWT sudah sepatutnya memberikan apa yang bisa kita beri untuk kemaslahatan kehidupan bersama. Dan sebagai manusiia dengan makhluk yang tidak ada apa-apanya dibanding Yang Maha Kuasa, sekuat apapun kita berusaha lari dan memperkecil resiko kematian maka akan tibalah kematian tersebut. Dalam kasus diatas bahwa ketinggian 9000 m pada benda jatuh bebas sudah cukup membuat drag aerodynamic force pada level yang sangat berbahaya, bahkan bisa menyebabkan kematin.

REVIEW ANALISIS METODE NUMERIK PADA BAB INITIAL VALUE PROBLEM The driver program for run kut5 is listed next. We specified a per-step error tolerance of 10−2 in integrate. Considering the magnitude of y, this should be enough for five decimal point accuracy in the solution.

1. !/usr/bin/python
   1. example7_8

import numpy as np import math from run_kut5 import * from printSoln import * def F(x,y): F = np.zeros(2) F[0] = y[1] F[1] = -9.80665 + 65.351e-3 * y[1]**2 * math.exp(-10.53e-5*y[0]) return F x = 0.0 xStop = 10.0 y = np.array([9000, 0.0]) h = 0.5 freq = 1 X,Y = integrate(F,x,y,xStop,h,1.0e-2) printSoln(X,Y,freq) input("\nPress return to exit") Running the program resulted in the following output: x y[ 0 ] y[ 1 ] 0.0000e+00 9.0000e+03 0.0000e+00 5.0000e-01 8.9988e+03 -4.8043e+00 2.4229e+00 8.9763e+03 -1.6440e+01 3.4146e+00 8.9589e+03 -1.8388e+01 4.6318e+00 8.9359e+03 -1.9245e+01 5.9739e+00 8.9098e+03 -1.9501e+01 7.6199e+00 8.8777e+03 -1.9549e+01 9.7063e+00 8.8369e+03 -1.9524e+01 1.0000e+01 8.8312e+03 -1.9519e+01 The first step was carried out with the prescribed trial value h = 0.5 s. Apparently the error was well within the tolerance, so that the step was accepted. Subsequent step sizes, determined from Eq. (7.24), were considerably larger. Inspecting the output, we see that att = 10 s the object is moving with the speed v = −y˙ = 19.52 m/s at an elevation of y = 8831 m.

ANALISIS : Pada masalah tersebut kita dihadapkan pada gerak benda pada lintasan parabola dengan kondisi kecepatan awal tertentu, dan persamaan fungsi tertentu terhadap ketinggian.

Pembelajaran : Pada masalah ini kita bisa menggunakan software dengan perhitungan rumit. Pembelajaran yang dapat dipetik adalah untuk dapat mensederhanakan sesuatu kita harus melewati langkah dan pemikiran yang panjang diamana setiap langkahnya haruslah di laksanakan dengan cara yang tepat. Selain dari pada itu kita tidak boleh menyepelekan hal-hal sederhana. Dan setiap manusia di muka bumi ini adalah makhluk yang diutus Allah untuk memberikan manfaat kepada sesamanya.

REVIEW ASISTENSI METODE NUMERIK

Pada hari selasa, 25 Februari 2020 dijelaskan oleh asisten mata kuliah metnum materi tentang runge kutta mehode

Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi f(x, y) pada titik terpilih dalam setiap selang langkah [CON80]. Metode Runge-Kutta adalah metode PDB yang paling popuper karena banyak dipakai dalam praktek. Bentuk umum metoda Range-Kutta orde-n ialah: yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + ... + an kn

dengan a1, a2, ..., an adalah tetapan, dan k1 = hf (xr , yr) k2 = hf (xr + p1h, yr + q11k1) k3 = hf (xr + p2h, yr + q21k1 + q22k2) kn = hf (xr + pn-1h, yr + qn-1,1 k1 + qn-1,2 k2 + ... + qn-1, n-1 kn-1) Nilai ai, pi, qij dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat per langkah, dan persamaan (P.8.24) akan sama dengan metode deret Taylor dari orde setinggi mungkin. Galat per langkah metode Runge-Kutta orde-n  : O(hn+1) Galat longgokan metode Runge-Kutta orde-n  : O(hn) Orde metode = n

1. Metode Runge-Kutta Orde Satu

           Metode Runge-Kutta orde satu berbentuk

k1 = hf (xr , yr)

yr+1 = yr + (a1k1)

Galat per langkah metode R-K orde satu adalah O(h2). Galat longgokan metode R-K orde satu adalah O(h). Yang termasuk ke dalam metode Runge-Kutta orde satu ialah metode Euler: k1 = hf (xr, yr) yr+1 = yr + k1

           (dalam hal ini a1 = 1)

MUHASABAH DAN NILAI MORAL : dalam perhitungan metode runge kutta ini, untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang kompleks dibutuhkan langkah-langkah yang panjang dan rumit. Namun ada salah satu metode untuk menyelesaikan permasalahan tersebut menggunakan metode numerik. Hal ini merupakan salah satu langkah cepat. Namun daripada itu, dalam kehidupan sehari-hari kita tidak bisa mengandalkan cara-cara instan dalam berbagai menyelesaikan berbagai masalah. Dengan langkah-langkah yang terstruktur dan satu-satu langkah kita dapat mengambil banyak pelajaran dan hikmah kehidupan.

TUGAS INITIAL VALUE PROBLEM DAN BOUNDARY VALUE PROBLEM

Initial value problem sendiri merupakan persamaan matematis dengan nilai awal pada satuan tertentu yang diketahui. Dalam fisika atau ilmu lain, pemodelan suatu sistem sering kali berarti memecahkan masalah nilai awal; dalam konteks ini, nilai awal diferensial adalah persamaan yang merupakan persamaan evolusi yang menentukan bagaimana, mengingat kondisi awal, sistem akan berevolusi seiring waktu. Contoh dari initial value problem

Contoh sederhana adalah untuk menyelesaikannya {\ displaystyle y '= 0.85y}y' = 0.85 y dan {\ displaystyle y (0) = 19}y(0) = 19 . Kami mencoba menemukan formula untuk {\ displaystyle y (t)}y(t) yang memenuhi dua persamaan ini.

Mulailah dengan mencatat itu {\ displaystyle y '= {\ frac {dy} {dt}}}y' = \frac{dy}{dt} jadi

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = 0.85y}\frac{dy}{dt} = 0.85 y

Sekarang atur ulang persamaannya sehingga {\ displaystyle y}y di sebelah kiri dan {\ displaystyle t}t di kanan

{\ displaystyle {\ frac {dy} {y}} = 0.85dt}\frac{dy}{y} = 0.85dt

Sekarang mengintegrasikan kedua sisi (ini memperkenalkan konstanta yang tidak diketahui {\ displaystyle B}B ).

{\ displaystyle \ ln | y | = 0.85t + B}\ln | y | = 0.85t + B 

Hilangkan {\ displaystyle \ ln}\ln

{\ displaystyle | y | = e ^ {B} e ^ {0.85t}} | y | = e^Be^{0.85t} 

Membiarkan {\ displaystyle C}C menjadi konstanta baru yang tidak diketahui, {\ displaystyle C = \ pm e ^ {B}}C = \pm e^B jadi

{\ displaystyle y = Ce ^ {0.85t}} y = Ce^{0.85t} 

Sekarang kita perlu mencari nilai {\ displaystyle C}C . Menggunakan {\ displaystyle y (0) = 19}y(0) = 19 seperti yang diberikan di awal dan gantikan 0 untuk {\ displaystyle t}t dan 19 untuk {\ displaystyle y}y

{\ displaystyle 19 = Ce ^ {0.85 \ cdot 0}}{\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}
{\ displaystyle C = 19} C = 19 

ini memberikan solusi akhir {\ displaystyle y (t) = 19e ^ {0.85t}} y(t) = 19e^{0.85t}

Boundary value problem

Masalah nilai batas mirip dengan masalah nilai awal . Masalah nilai batas memiliki kondisi yang ditentukan pada ekstrem ("batas") variabel independen dalam persamaan sedangkan masalah nilai awal memiliki semua kondisi yang ditentukan pada nilai yang sama dari variabel independen (dan nilai itu berada di batas bawah) domain, dengan demikian istilah nilai "awal"). Nilai batas adalah nilai data yang sesuai dengan nilai input, internal, atau output minimum atau maksimum yang ditentukan untuk sistem atau komponen. [2]

Misalnya, jika variabel independen adalah waktu melebihi domain [0,1], masalah nilai batas akan menentukan nilai untuk {\ displaystyle y (t)}y(t) pada keduanya {\ displaystyle t = 0}t=0 dan {\ displaystyle t = 1}t=1 , sedangkan masalah nilai awal akan menentukan nilai {\ displaystyle y (t)}y(t) dan {\ displaystyle y '(t)}y'(t) pada waktu {\ displaystyle t = 0}t=0 .

Menemukan suhu di semua titik batang besi dengan satu ujung dijaga pada nol mutlak dan ujung lainnya di titik beku air akan menjadi masalah nilai batas.

Jika masalah tergantung pada ruang dan waktu, orang dapat menentukan nilai masalah pada titik tertentu untuk semua waktu atau pada waktu tertentu untuk semua ruang. Dalam elektrostatika , masalah umum adalah menemukan fungsi yang menggambarkan potensi listrik suatu wilayah. Jika wilayah tidak mengandung muatan, potensi harus menjadi solusi untuk persamaan Laplace ( fungsi harmonik ). Kondisi batas dalam hal ini adalah kondisi Antarmuka untuk medan elektromagnetik . Jika tidak ada kepadatan arus di wilayah tersebut, juga dimungkinkan untuk menentukan potensi skalar magnetik menggunakan prosedur serupa.