Difference between revisions of "Fashal Firdaus Amarullah"

From ccitonlinewiki
Jump to: navigation, search
(→‎UAS)
 
(35 intermediate revisions by 2 users not shown)
Line 771: Line 771:
  
  
−
==Aplikasi Metode NUmerik dalam Kasus Optimisasi==
+
==Pertemuan Minggu 5 : Kelas Pengganti==
 +
 
 +
Pada pertemuan kelas pengganti ini, kami mereview ulang hal apa saja yang sudah adad pada pertemuan sebelumnya. Pada kelas ini kami juga diajarkan kembali tentang sistem trusses menggunakan software open modelica. Pak Dai sebagai dosen metnum juga mengajarkan tentang pelajaran-pelajaran hidup. Beliau banyak memberikan nasihat-nasihat kebaikan pada kehidupan seperti manusia yang harus selalu berserah diri kepada Allah SWt. Beliau juga mengajarkan kita untuk muhasabah diri dengan memberi penilaian kepada diri sendiri tentang kemampuan penguasaan materi trusses menggunakan Open Modelica.
 +
 
 +
==Pertemuan Minggu 6==
 +
 
 +
Pada pertemuan kali ini kami diajarkan tentang optimasi menggunakan Open Modelica. Optimasi sendiri adalah sebuah cara untuk mendapatkan nilai minimum atau maksimum dari suatu permasalahan. Terdapat beberapa aspek yang diperhatikan dalam melakukan optimasi yaitu fungsi objektif dan ada juga konstrain. Pada kali ini Asisten Dosen yaitu Bu Chandra memberikan tutorial untuk melakukan optimasi menggunakan metode Bracket. Pada metode "Bracket Optimization Using Golden Ratio" terdapat satu graik yang mempunyai nilai f(x) global maks dan lokal maks serta terdapat f(x) global minimum dann lokal minimum. 
 +
Pada pertemuan kali ini, Bu chandra  mengajarkan sampai melakukan optimasi grafik tanpa sebuah konstrain.
 +
 
 +
Selanjutkan Bu Chandra mengajarkan langsung, dengan menggunakan Software Open MOdelica. Kita dapat membuat sebuah fungsi pada awalnya:
 +
 
 +
Fungsi panggil
 +
function f_obj3
 +
import Modelica.Math;
 +
input Real x;
 +
output Real y;
 +
algorithm
 +
y:= 2*Math.sin(x)-x^2/10;
 +
end f_obj3;
 +
 
 +
setelah itu kita dapat membuat model optimasi sistem bracket sesuai yang diajarkan
 +
 
 +
model bracket_optimation3
 +
parameter Integer n=8;
 +
Real x1[n];
 +
Real x2[n];
 +
Real xup;
 +
Real xlow;
 +
Real d;
 +
Real f1[n];
 +
Real f2[n];
 +
Real xopt;
 +
Real yopt;
 +
algorithm
 +
xup :=4;
 +
xlow:=0;
 +
for i in (1:n) loop
 +
  d:= (5^(1/2)-1)/2*(xup-xlow);
 +
  x1[i]:= xlow+d;
 +
  x2[i]:= xup-d;
 +
  f1[i]:= f_obj3(x1[i]);
 +
  f2[i]:= f_obj3(x2[i]);
 +
  if f1[i]>f2[i] then
 +
  xup:= xup;
 +
  xlow:= x2[i];
 +
  xopt:= xup;
 +
  yopt:= f1[i];
 +
  else
 +
  xlow:= xlow;
 +
  xup:= x1[i];
 +
  xopt:= xup;
 +
  end if;
 +
  end for;
 +
end bracket_optimation3;
 +
 
 +
 
 +
==Sinopsis Tugas Besar : Aplikasi Metode Numerik dalam Optimasi Design Struktur Rangka Sederhana==
 +
 
 +
[[File:600px-Soaltubes.jpeg|500px]]  [[File:Soaltubes2.jpeg|500px]]
 +
 
 +
Pada tugas besar kali ini kita akan mendesign suatu rangka dengan cost yang yang serendah mungkin tetapi dengan kualitas yang optimum. Terdapat beberapa variabel yang diperhatikan diantaranya :
 +
*1. Harga material
 +
*2. Jenis  material
 +
*3. Luas Cross Section
 +
*4. Penampang yang digunakan
 +
Setelah itu kita akan melakukan optimasi dan membentuk kurva efisiensi harga dengan curve fitting menggunakan Metode numerik.
 +
 
 +
 
 +
Pada tugas besar trusses kali ini saya menggunakan asumsi:
 +
*Area=0.000171
 +
*Material yang digunakan adalah Steel SS201
 +
 
 +
====Hasil Open modelica====
 +
 
 +
Pada proses pemodelan untuk rangka ini dilakukan menggunakan open modelica. pada pemodelan ini terdapat input yang kita sesuaikan yaitu parameter elstisitas,parameter luas penampang, dan bentuk design rangka.
 +
pada tahap berikutnya kita juga harus mendefiniskn point sambungan serta jumlah trusses, point dan jumlah sambungan pada design,lalu diperlukan juga elemen area berupa satuan luas. Berikutnya parameter elastisitas disesuaikan dengan material yang saya pkai yaitu SS201 dengan elastisitas 197,0E+9 N/m^2.
 +
*Brikut Untuk perhitungan Reaction force, displacement, stress, dan safety factor:
 +
 
 +
model Trusses_3D_Tugas_Besar_Safety
 +
 +
//define initial variable
 +
parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points
 +
parameter Integer Trusses=size(C,1); //Number of Trusses
 +
parameter Real Yield=379e6; //Yield Strength (Pa)
 +
parameter Real Area=0.000171;  //Area L Profile (Dimension=0.03, Thickness=0,004) (m2)
 +
parameter Real Elas=197e9;    //Elasticity SS 201  (Pa)
 +
 +
//define connection
 +
parameter Integer C[:,2]=[1,5;
 +
                          2,6;
 +
                          3,7;
 +
                          4,8;
 +
                          5,6;  //1st floor
 +
                          6,7;  //1st floor
 +
                          7,8;  //1st floor
 +
                          5,8;  //1st floor
 +
                          5,9;
 +
                          6,10;
 +
                          7,11;
 +
                          8,12;
 +
                          9,10; //2nd floor
 +
                          10,11;//2nd floor
 +
                          11,12;//2nd floor
 +
                          9,12; //2nd floor
 +
                          9,13;
 +
                          10,14;
 +
                          11,15;
 +
                          12,16;
 +
                          13,14;//3rd floor
 +
                          14,15;//3rd floor
 +
                          15,16;//3rd floor
 +
                        13,16];//3rd floor
 +
                                                             
 +
//define coordinates (please put orderly)
 +
parameter Real P[:,6]=[0.3,-0.375,0,1,1,1;    //1
 +
                        -0.3,-0.375,0,1,1,1;    //2
 +
                        -0.3,0.375,0,1,1,1;    //3
 +
                        0.3,0.375,0,1,1,1;      //4
 +
                           
 +
                        0.3,-0.375,0.6,0,0,0;  //5
 +
                        -0.3,-0.375,0.6,0,0,0;  //6
 +
                        -0.3,0.375,0.6,0,0,0;  //7
 +
                        0.3,0.375,0.6,0,0,0;    //8
 +
                           
 +
                        0.3,-0.375,1.2,0,0,0;  //9
 +
                        -0.3,-0.375,1.2,0,0,0;  //10 
 +
                        -0.3,0.375,1.2,0,0,0;  //11
 +
                        0.3,0.375,1.2,0,0,0;    //12
 +
                           
 +
                        0.3,-0.375,1.8,0,0,0;  //13
 +
                        -0.3,-0.375,1.8,0,0,0;  //14
 +
                        -0.3,0.375,1.8,0,0,0;  //15
 +
                        0.3,0.375,1.8,0,0,0];  //16
 +
                         
 +
//define external force (please put orderly)
 +
parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,0,
 +
                            0,0,-500,
 +
                            0,0,-1000,
 +
                            0,0,-1000,
 +
                            0,0,-500};
 +
 +
//solution
 +
Real displacement[N], reaction[N];
 +
Real check[3];
 +
 +
Real stress1[Trusses];
 +
Real safety[Trusses];
 +
Real dis[3];
 +
Real Str[3];
 +
 
 +
protected
 +
parameter Integer N=3*Points;
 +
Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3];
 +
Real err=10e-10, ers=10e-4;
 +
 +
algorithm
 +
//Creating Global Matrix
 +
G:=id;
 +
for i in 1:Trusses loop
 +
  for j in 1:3 loop
 +
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
 +
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
 +
  end for;
 +
     
 +
    //Solving Matrix
 +
    L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
 +
    cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
 +
    cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
 +
    cz:=(q2[3]-q1[3])/L;
 +
    X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
 +
                      cy*cx,cy^2,cy*cz;
 +
                      cz*cx,cz*cy,cz^2];
 +
 +
    //Transforming to global matrix
 +
    g:=zeros(N,N);
 +
    for m,n in 1:3 loop
 +
      g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
 +
      g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
 +
      g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
 +
      g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
 +
    end for; 
 +
 +
  G_star:=G+g;
 +
  G:=G_star;
 +
end for;
 +
 +
//Implementing boundary
 +
for x in 1:Points loop
 +
  if P[x,4] <> 0 then
 +
    for a in 1:Points*3 loop
 +
      G[(x*3)-2,a]:=0;
 +
      G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
 +
    end for;
 +
  end if;
 +
  if P[x,5] <> 0 then
 +
    for a in 1:Points*3 loop
 +
      G[(x*3)-1,a]:=0;
 +
      G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
 +
    end for;
 +
  end if;
 +
  if P[x,6] <> 0 then
 +
    for a in 1:Points*3 loop
 +
      G[x*3,a]:=0;
 +
      G[x*3,x*3]:=1;
 +
    end for;
 +
  end if;
 +
end for;
 +
 +
//Solving displacement
 +
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);
 +
 +
//Solving reaction
 +
reaction:=(G_star*displacement)-F;
 +
 +
//Eliminating float error
 +
for i in 1:N loop
 +
  reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
 +
  displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
 +
end for;
 +
 +
//Checking Force
 +
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))});
 +
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))});
 +
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)});
 +
 
 +
for i in 1:3 loop
 +
  check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
 +
end for;
 +
 +
//Calculating stress in each truss
 +
for i in 1:Trusses loop
 +
for j in 1:3 loop
 +
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
 +
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
 +
  dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
 +
end for;
 +
     
 +
    //Solving Matrix
 +
    L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
 +
    cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
 +
    cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
 +
    cz:=(q2[3]-q1[3])/L;
 +
    X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
 +
                cy*cx,cy^2,cy*cz;
 +
                cz*cx,cz*cy,cz^2];
 +
   
 +
    Str:=(X*dis);
 +
    stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
 +
end for;
 +
 +
//Safety factor
 +
for i in 1:Trusses loop
 +
  if stress1[i]>0 then
 +
    safety[i]:=Yield/stress1[i];
 +
  else
 +
    safety[i]:=0;
 +
  end if;
 +
end for;
 +
 +
end Trusses_3D_Tugas_Besar_Safety;
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Pada hasil open modelica didapat nilai displacement dan reaction sebagai berikut :
 +
[[File:Difashal.JPG|300px|center]]
 +
[[File:Reaction fashal.JPG|300px|center]]
 +
 
 +
Lalu didapat juga hasil stress dan safety pada open modelica dan kita running satu persatu:
 +
 
 +
[[File:Www (2).JPG|300px|center]]
 +
[[File:Stressfas.JPG|300px|center]]
 +
 
 +
Pada saat melakukan optimasi kita menggunakan 2 metodologi yaitu:
 +
 
 +
Untuk jenis material yang sama:
 +
#Mencari harga untuk 6 ukuran batang dengan material yang sama yaitu s201.
 +
#Mengitung nilai safety factor pada 6 ukuran batang dengan coding awal.
 +
#Membuat rasio antara safety factor dengan harga total.
 +
#Membuat persamaan antara rasio (safe/harga) dengan area dengan metode curve fitting.
 +
 
 +
Untuk area penampang yang sama:
 +
#Mencari harga untuk 4 jenis material dengan area penampang yang sama yaitu 171 mm^2.
 +
 
 +
 
 +
'''Untuk jenis material yang sama'''
 +
 
 +
Data yang dipakai adalah
 +
 
 +
[[File:Lcfashal.JPG|600px|center]]
 +
 
 +
Hasil perhitungan yang didapat adalah
 +
 
 +
[[File:Hasilfashal.JPG|700px|center]]
 +
 
 +
Kemudian kita gunakan open modelica untuk mengoptimasi data yang sudah didapat. pada kali ini saya menggunakan nilai minimum xlo= 0,000111 dan nilai maksimum xhi= 0.000304. Maka didapatlah hasil optimasi seperti berikut:
 +
 
 +
[[File:Hasilfas.JPG|700px|center]]
 +
 
 +
Dari hasil yang didapat , dapat disimpulkan bahwa dengan menggunkan material ss201 luas area yang optimum adalah  dengan 303 mm^2.
 +
 
 +
 
 +
'''Untuk area penampang yang sama '''
 +
 
 +
Data yang dipakai adalah
 +
[[File:Area locked fas.JPG|250px|center]]
 +
 
 +
Hasil perhitungan yang didapat adalah
 +
 
 +
[[File:Arealockedhasilfashal.JPG|600px|center]]
 +
 
 +
Kemudian kita gunakan open modelica untuk mengoptimasi data yang sudah didapat. pada kali ini saya menggunakan nilai minimum xlo=193e+11 dan nilai maksimum xhi= 200e+11. Maka didapatlah hasil optimasi seperti berikut:
 +
 
 +
[[File:HASIL LOACAREAFIX.JPG|400px|center]]
 +
 
 +
Dari hasil yang didapat, dapat disimpulkan bahwa dengan luas area truss sebesar 171 mm^2 , material yang paling cocok untuk bahan dasar rangka adalah material stainless steel sS201 dengan modulus elastisitas sebesar 1.97532x10^11 Pa
 +
 
 +
====Coding Pada OpenModelica yang Digunakan====
 +
 
 +
*'''Optimasi'''
 +
model OptimasiRangka
 +
 +
parameter Real xd[:]={1.93E+11,1.95E+11,1.97E+11,2E+11};
 +
parameter Real yd[size(xd,1)]={4.39477E-5,8.06975E-5,0.00011239,8.72658E-5};
 +
parameter Real xlo=111e-6;
 +
parameter Real xhi=304e-6;
 +
parameter Integer N=10; // maximum iteration
 +
parameter Real es=0.0001; // maximum error
 +
 +
Real f1[N], f2[N], x1[N], x2[N], ea[N], y[3];
 +
Real xopt,  fx;
 +
protected
 +
Real d, xl, xu, xint, R=(5^(1/2)-1)/2;
 +
 +
algorithm
 +
xl := xlo;
 +
xu := xhi;
 +
y  := Curve_Fitting(xd,yd);
 +
 
 +
for i in 1:N loop
 +
  d:= R*(xu-xl);
 +
  x1[i]:=xl+d;
 +
  x2[i]:=xu-d;
 +
  f1[i]:=y[1]*x1[i]^2+y[2]*x1[i]+y[3];
 +
  f2[i]:=y[1]*x2[i]^2+y[2]*x2[i]+y[3];
 +
  xint:=xu-xl;
 +
 
 +
  if f1[i]>f2[i] then
 +
    xl:=x2[i];
 +
    xopt:=x1[i];
 +
    fx:=f1[i];
 +
    else
 +
      xu:=x1[i];
 +
      xopt:=x2[i];
 +
      fx:=f2[i];
 +
  end if;
 +
 
 +
  ea[i]:=(1-R)*abs((xint)/xopt);
 +
  if ea[i]<es then
 +
    break;
 +
  end if;
 +
end for;
 +
end OptimasiRangka
 +
 
 +
*'''Curve Fitting'''
 +
function CurveFitting
 +
 +
input Real X[:];
 +
input Real Y[size(X,1)];
 +
input Integer order=2;
 +
output Real Coe[order+1];
 +
 +
protected
 +
Real Z[size(X,1),order+1];
 +
Real ZTr[order+1,size(X,1)];
 +
Real A[order+1,order+1];
 +
Real B[order+1];
 +
 +
algorithm
 +
 +
for i in 1:size(X,1) loop
 +
  for j in 1:(order+1) loop
 +
  Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j);
 +
  end for;
 +
end for;
 +
ZTr:=transpose(Z);
 +
 +
A:=ZTr*Z;
 +
B:=ZTr*Y;
 +
Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B);
 +
 +
end CurveFitting;
 +
 
 +
*'''Curve Fitting class'''
 +
class Input_Curve_Fitting
 +
 
 +
parameter Real X[6]={111.0E-6,141.0E-6,171.0E-6,231.0E-6,304.0E-6,375.0E-6};
 +
parameter Real Y[6]={237700,318800,381200,512800,683700, 83800};
 +
 
 +
Real coe[3];
 +
 
 +
algorithm
 +
coe:=Curve_Fitting(X,Y,2);
 +
 
 +
end Input_Curve_Fitting;
 +
 
 +
 
 +
== UAS ==
 +
 
 +
Perhatikan Water Tower dengan Reservoir berbentuk Bola pada Gambar diatas. Anda diminta untuk membuat pemodelan numerik untuk mengoptimalkan struktur Water Tower tersebut.
 +
 
 +
1. Buatlah urutan langkah-langkah (prosedur) pemodelan numerik untuk optimasi struktur tersebut.
 +
 
 +
Pada soal ini saya membuat sebuah flowchart untuk memudahkan proses pemodelan numerik untuk melakukan optimasi struktur water tower :
 +
 
 +
[[File:622381.jpg|500px|center]]
 +
 
 +
 
 +
2. Jelaskan tujuan pemodelan numerik soal no 1 diatas, hukum/dalil (fisika) yang dipakai dan asumsi-asumsi yang akan digunakan dalam perhitungan
 +
 
 +
Pada pemodelan numerik yang kita buat betujuan untuk mengetahui struktur dari trusses water tower. Dengan melakukan optimasi kita juga dapat menghitung nilai dari Restrain,displacement,stress dan safety factor yang berguna untuk mengetahui kekuatan dari struktur tersebut.
 +
Untuk asumsi yang digunakan kita dapat menetukan sendiri tapi tetap sesuai dengan dasar -dasar fisika seperti: Panjang Rangka(L), ketinggian(h), dan luas penampangnya.
 +
 
 +
Terdapat beberapa Hukum fisika yang dapa digunakan untuk pada struktur tersebut, seperti hukum 1 newton, flowrate, dan tekanan hidrostatis.
 +
 
 +
 
 +
[[File:622382.jpg|500px|center]]
 +
 
 +
 
 +
3. Untuk pemodelan numerik analisis strukturnya nya gunakan pendekatan 1D truss dgn membagi kolum (tiang) water tower kedalam 3 elemen (1D).
 +
a). Susunlah persamaan aljabar kesetimbangan statik setiap elemen tsb. (matriks kesetimbangan lokal)
 +
b) Matriks kesetimbangan global
 +
 
 +
Untuk menyusun persamaan tiap elemen kita dapat menggunakan F= (AxE/L)xdeltaL
 +
JIka terdapat point yang dihubungkan maka akan terbentuk matiks kekakuan.
 +
 
 +
[[File:622383.jpg|500px|center]]
 +
 
 +
[[File:622384.jpg|500px|center]]
 +
 
 +
 
 +
4.Susun urutan langkah-langkah (pseudocode) perhitungan matriks kesetimbangan global soal no 3 termasuk pengecekan kesalahan (verifikasi) perhitungannya
 +
 
 +
Pada tahap ini kita dapat meinput data yang diketahui terlebih dahulu. Berikutnya kita membuat coding stiffnes matriksnya. Setelah itu, stiffness matriks kita input kedalah global matriks dan kita solve global matriks.Kita juga harus meimprementasikan boundary condition, dan solve discplacemetn matriks.kemudian dari displacementn matrix akan dapat dsplay solutionnya.
 +
 
 +
[[File:622385.jpg|500px|center]]
 +
 
 +
5.  Tulis dan jelaskan fungsi objektif dan constraint untuk optimasi struktur water tower tersebut
 +
 
 +
Fungsi objektif adalah data- data terkati struktur untuk optimasi dari material dan areanya. Contohnya : Gaya reaksi, kesetimbangan statis,, dan usaha optimasi dari struktur.
 +
 
 +
Sedangkan constrain adalah luas penampang dan elastisitas dari struktur tersebut.
 +
 
 +
[[File:Capture no5.JPG|500px|center]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
6. Tuliskan asumsi nilai-nilai parameter dan variable untuk menghitung displacement, restraint dan stress utk model struktur water tower dgn 3 elemnt 1 D diatas
 +
 
 +
Terdapat beberapa asumsi yang saya pakai untuk menghitung optimasi dari struktur ini:
 +
Modulus elastisitasnya: 68 x10^-9 lb/inc
 +
Areanya  : 40
 +
 
 +
[[File:Captur6.JPG|500px|center]]
 +
 
 +
 
 +
7. Gunakan program modelica anda untuk menghitung displacement, restraint dan stress utk model struktur water tower dgn 3 element 1 D berdasarkan asumsi no 6
 +
 
 +
Dari hasil Pemodelan optimasi yang kit lakukan didapat nilai maksimal dari displaceennya adlah 3.6811e+06, lalu Stress maksimumnya adalah 1.17222e+15 dan maksimum reactionnya 4.54681e+16
 +
 
 +
[[File:777.JPG|500px|center]]
 +
 
 +
Hasil Pada Open MOdelica
 +
 
 +
 
 +
[[File:622389.jpg|500px|center]]
 +
 
 +
 
 +
Model yang dipakai pada Open modelica
 +
 
 +
[[File:622387.jpg|500px|center]]
 +
 
 +
[[File:622388.jpg|500px|center]]
 +
 
 +
 
 +
model UAS
 +
    //define initial variable
 +
  parameter Integer Points = size(P, 1);
 +
    //Number of Points
 +
  parameter Integer Trusses = size(C, 1);
 +
    //Number of Trusses
 +
  parameter Real Yield = 214e6;
 +
    //Yield Strength (Pa)
 +
  parameter Real Area = 40;
 +
    //Area L Profile
 +
  parameter Real Elas = 68.9e9;
 +
    //Elasticity Al 6061  (Pa)
 +
    //define connection
 +
  parameter Integer C[:, 2] = [1, 2; 1, 3; 1, 4];
 +
    //define coordinates (please put orderly)
 +
  parameter Real P[:, 6] = [0, 0, 0, 1, 1, 1;          //1
 +
                            6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1;  //2
 +
                            6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1;  //3
 +
                            6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1];  //4
 +
    //define external force (please put orderly)
 +
  parameter Real F[Points * 3] =
 +
{0,0,0,0,3708180,0,0,3708180,0,0,3708180,0};
 +
    //solution
 +
  Real displacement[N], reaction[N];
 +
  Real check[3];
 +
  Real stress1[Trusses];
 +
  Real safety[Trusses];
 +
  Real dis[3];
 +
  Real Str[3];
 +
protected
 +
  parameter Integer N = 3 * Points;
 +
  Real q1[3], q2[3], g[N, N], G[N, N], G_star[N, N], id[N, N] =
 +
identity(N), cx, cy, cz, L, X[3, 3];
 +
  Real err = 10e-10, ers = 10e-4;
 +
algorithm
 +
    //Creating Global Matrix
 +
  G := id;
 +
  for i in 1:Trusses loop
 +
    for j in 1:3 loop
 +
      q1[j] := P[C[i, 1], j];
 +
      q2[j] := P[C[i, 2], j];
 +
    end for;
 +
    L := Modelica.Math.Vectors.length(q2 - q1);
 +
    cx := (q2[1] - q1[1]) / L;
 +
    cy := (q2[2] - q1[2]) / L;
 +
    cz := (q2[3] - q1[3]) / L;
 +
    X := Area * Elas / L * [cx ^ 2, cx * cy, cx * cz; cy * cx, cy ^ 2, cy
 +
* cz; cz * cx, cz * cy, cz ^ 2];
 +
    g := zeros(N, N);
 +
    for m, n in 1:3 loop
 +
      g[3 * (C[i, 1] - 1) + m, 3 * (C[i, 1] - 1) + n] := X[m, n];
 +
      g[3 * (C[i, 2] - 1) + m, 3 * (C[i, 2] - 1) + n] := X[m, n];
 +
      g[3 * (C[i, 2] - 1) + m, 3 * (C[i, 1] - 1) + n] := -X[m, n];
 +
      g[3 * (C[i, 1] - 1) + m, 3 * (C[i, 2] - 1) + n] := -X[m, n];
 +
    end for;
 +
    G_star := G + g;
 +
    G := G_star;
 +
  end for;
 +
//Solving Matrix
 +
//Transforming to global matrix
 +
//Implementing boundary
 +
  for x in 1:Points loop
 +
    if P[x, 4] <> 0 then
 +
      for a in 1:Points * 3 loop
 +
        G[x * 3 - 2, a] := 0;
 +
        G[x * 3 - 2, x * 3 - 2] := 1;
 +
      end for;
 +
    end if;
 +
    if P[x, 5] <> 0 then
 +
      for a in 1:Points * 3 loop
 +
        G[x * 3 - 1, a] := 0;
 +
        G[x * 3 - 1, x * 3 - 1] := 1;
 +
      end for;
 +
    end if;
 +
    if P[x, 6] <> 0 then
 +
      for a in 1:Points * 3 loop
 +
        G[x * 3, a] := 0;
 +
        G[x * 3, x * 3] := 1;
 +
      end for;
 +
    end if;
 +
  end for;
 +
//Solving displacement
 +
  displacement := Modelica.Math.Matrices.solve(G, F);
 +
//Solving reaction
 +
  reaction := G_star * displacement - F;
 +
//Eliminating float error
 +
  for i in 1:N loop
 +
    reaction[i] := if abs(reaction[i]) <= err then 0 else reaction[i];
 +
    displacement[i] := if abs(displacement[i]) <= err then 0 else
 +
displacement[i];
 +
  end for;
 +
//Checking Force
 +
  check[1] := sum({reaction[i] for i in 1:3:N - 2}) + sum({F[i] for i in
 +
1:3:N - 2});
 +
  check[2] := sum({reaction[i] for i in 2:3:N - 1}) + sum({F[i] for i in
 +
2:3:N - 1});
 +
  check[3] := sum({reaction[i] for i in 3:3:N}) + sum({F[i] for i in
 +
3:3:N});
 +
  for i in 1:3 loop
 +
    check[i] := if abs(check[i]) <= ers then 0 else check[i];
 +
  end for;
 +
//Calculating stress in each truss
 +
  for i in 1:Trusses loop
 +
    for j in 1:3 loop
 +
      q1[j] := P[C[i, 1], j];
 +
      q2[j] := P[C[i, 2], j];
 +
      dis[j] := abs(displacement[3 * (C[i, 1] - 1) + j] - displacement[3
 +
* (C[i, 2] - 1) + j]);
 +
    end for;
 +
    L := Modelica.Math.Vectors.length(q2 - q1);
 +
    cx := (q2[1] - q1[1]) / L;
 +
    cy := (q2[2] - q1[2]) / L;
 +
    cz := (q2[3] - q1[3]) / L;
 +
    X := Elas / L * [cx ^ 2, cx * cy, cx * cz; cy * cx, cy ^ 2, cy * cz;
 +
cz * cx, cz * cy, cz ^ 2];
 +
    Str := X * dis;
 +
    stress1[i] := Modelica.Math.Vectors.length(Str);
 +
  end for;
 +
//Solving Matrix
 +
//Safety factor
 +
  for i in 1:Trusses loop
 +
    if stress1[i] > 0 then
 +
      safety[i] := Yield / stress1[i];
 +
    else
 +
      safety[i] := 0;
 +
    end if;
 +
  end for;
 +
end UAS;

Latest revision as of 13:29, 14 January 2021

Profile
573207.jpg
Nama Lengkap Fashal Firdaus Amarullah
NPM 1906301186
Jurusan Teknik Mesin
Alamat Surel fashalamarullah@gmail.com

Nama saya adalah Fashal Firdaus Amarullah sebagai mahasiswa Teknik Mesin angkatan 2019 dan saya adalah salah satu ciptaan terbaik dari Tuhan Yang Maha Esa karena pada prinsipnya Tuhan Yang Maha Esa itu mendesain manusia dengan sebaik-baiknya makhluk. Pada kali ini saya sedang belajar mata kuliah metode numerik. Sebagai mahasiswa saya juga aktif dibeberapa lembaga dan kepanitiaan yang ada di Fakultas Teknik Universitas Indonesia. Saya mengikuti organisasi IMM FTUI sebagai Badan Pengurus bidang Litbang IMM FTUI 2020. Di departemen saya juga aktif di KPD HTW sebagai member. Dilingkup Fakultas Teknik saya menjadi Badan pengurus bidang Relasi BEM FTUI 2020. Saya juga aktif dalam kepanitiaan lingkup Fakultas Teknik sebagai Vice Project Officer Aksioma FTUI 2020 yang merupakan acara tahunan fakultas teknik dalam bidang sosial masyarakat.

Metode Numerik

Metode numerik adalah metode penyelesaian masalah yang diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi hitungan yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Metode ini digunakan karena banyak permasalahan yang tidak dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Metode numerik dapat memecahkan suatu permasalahan menggunakan pendekatan-pendekatan yang bersifat analitik. Biasanya hasil dari perhitungan metode numerik bersifat berupa hampiran atau pendekatan.


Pertemuan Minggu Pertama (11 November 2020)

Saat pertemuan pertama kali ini kami diajarkan oleh Bapak Dr. Ir. Ahmad Indra Siswantara tentang tujuan dari pembelajaran metode numerik,diantaranya:

1. Dapat memahami konsep-konsep dan prinsip-prinsip dasar dalam metode numerik seperti:persamaan diferensial parsial, Persamaan algoritma, pencocokan kurva,aljabar, dan lainnya

2. Dapat menerapkan metode numerik dalam hal terkait persoalan keteknikan

3. Dapat mengerti dan mampu menerapkan pemahaman atau aplikasi terhadap konsep metode numerik

4. Mendapat nilai tambah atau adab sehingga kita menjadi orang yang lebih beradab

Pada pertemuan pertama ini, kami juga diajarkan tentang penggunaan software Open modelica. Selain itu beliau juga banyak mengajarkan tentang nilai-nilai kebaikan dalam kehidupan.

Tugas Minggu Pertama

Pada tugas pertama kami diberikan tugas untuk mempalajari penggunaan software Open Modelica, yaitu sebuah sofware untuk membuat sebuah simulasi dan modelling. Open Modelica biasanya digunakan untuk perhitungan industri pada pabrik dan juga biasa digunakan untuk pemecahan masalah metode numerik. Disini beberapa contoh dari youtobe yang saya sudah tonton:


Selain itu kami juga disuruh membuat sebuah video tutorial penggunaan software open modelica. Berikut video tutorial yang saya buat:


Pertemuan Minggu Kedua (18 November 2020)

Pada pertemuan kedua kali ini, diawali dengan pesan-pesan kehidupan dari Pak Dai. Beliau memberikan saran agar sebagai manusia kita harus terus berkembang setiap harinya dan menjadi lebih baik dari hari ke hari. Pada minggu ini, banyak mereview tentang tugas yang diberikan pada minggu lalu yaitu penggunaan software Open Modelica. Banyak teman-teman kelas yang mempresentasikan tentang tugas mereka pada minggu lalu. Selain itu Pak Dai juga menjelasakan kelebihan dari Software Open MOdelica. Pada Software ini mempunyai fitur-fitur untuk membuat function, model, persamaan, dlll. Software Open Modelica juga dapat digunakan secara free sehingga dapat digunakan oleh semua orang.

Pada Pertemuan kedua kali ini kami juga diajarkan menggunakan open modelica untuk menggabungkan function kedalam class yang sudah dibuat. Setelah kami diajarkan,kemudian saya mencobanya dengan open modelica. Berikut tahapan-tahapannya:

  • 1. Buatlah class baru dengan menggunakan open modelica seperti berikut
MessageImage 1606286289864.jpg
  • 2. Setelah itu buatlah function baru seperti pada gambar berikut
MessageImage 1606286301025.jpg
  • 3. Setelah selesai membuat function , kembali lagi kehalaman class, dan tarik function ke class menggunakan cara seperti digambar
MessageImage 1606286222199.jpg


Tugas Minggu Kedua

Pada Tugas Minggu kedua ini, kami ditugaskan untuk mempelajari penggunaan Open Modelica untuk penyelesaian Aljabar. Berikut Video Tutorial yang saya buat:


Pertemuan Minggu Ketiga (25 November 2020)

Pada pertemuan ketiga kali ini kami membahas tentang penggunaan Open Modelica pada permasalahan engineering. Pada permasalahan engineering, metode numerik dapat membantu menyelesaikan persoalan agar lebih cepat. Beberapa contoh metode numerik yang dapat membantu menyelesaikan permasalaha engineering diantaranya CFD(Computation fluid dynamics, Metode Stokastik, dan FEA ( FInite Element Analaysis). Tahapan untuk menyelesaikan masalah engineering menggunakan metode numerik:

  • 1. Melakukan analisis terhadap masalah engineering
  • 2. Melakukan pemodelan matematis dari masalah yang sudah dianalisis
  • 3. Menerjemahkan pemodelan matematis yang sudah dibuat menjadi metode numerik agar bisa dhitung oleh komputer
  • 4. Melakukan perhitungan metode numerik menggunakan software dan dihasilkanlah solusi dari masalah engineering tersebut

CFD Simulation

simulasi aliran fluida pada pesawat ulang alik

Computational fluid dynamics ( CFD ) adalah cabang dari mekanika fluida yang menggunakan analisis metode numerik dan struktur data untuk menganalisis dan memecahkan masalah yang melibatkan aliran fluida. Dasar fundamental dari hampir semua masalah CFD adalah persamaan Navier-Stokes , yang mendefinisikan banyak aliran fluida pada satu fasa. Persamaan-persamaan ini dapat disederhanakan dengan menghilangkan suku-suku yang mendeskripsikan tindakan kental untuk menghasilkan persamaan Euler . Penyederhanaan lebih lanjut, dengan menghilangkan istilah yang menggambarkan vortisitas menghasilkan persamaan potensial penuh.

Finite Element Method for Trusses

The finite element method (FEM) is a numerical technique used to perform finite element analysis (FEA) of any given physical phenomenon. It is necessary to use mathematics to comprehensively understand and quantify any physical phenomena, such as structural or fluid behavior, thermal transport, wave propagation, and the growth of biological cells. Most of these processes are described using partial differential equations (PDEs). However, for a computer to solve these PDEs, numerical techniques have been developed over the last few decades and one of the most prominent today is the finite element method.

Example for trusses

Soal Trusses 1 fashal.jpg

We can use Finete Element Method to solve this problem. We can make equation with numerical method use Open modelica.

Persamaan 

model Trusses

parameter Integer N=10; //Global matrice = 2*points connected
parameter Real A=8;
parameter Real E=1.9e6;
Real G[N,N]; //global
Real Ginitial[N,N]; //global
Real Sol[N]; //global dispplacement
Real X[N]={0,0,0,0,0,0,0,-500,0,-500};
Real R[N]; //global reaction force
Real SolMat[N,1];
Real XMat[N,1];

//boundary coundition
Integer b1=1;
Integer b2=3;

//truss 1
parameter Real X1=0; //degree between truss
Real k1=A*E/36;
Real K1[4,4]; //stiffness matrice
Integer p1a=1;
Integer p1b=2;
Real G1[N,N];

//truss 2
parameter Real X2=135; //degree between truss
Real k2=A*E/50.912;
Real K2[4,4]; //stiffness matrice
Integer p2a=2;
Integer p2b=3;
Real G2[N,N];

//truss 3
parameter Real X3=0; //degree between truss
Real k3=A*E/36;
Real K3[4,4]; //stiffness matrice
Integer p3a=3;
Integer p3b=4;
Real G3[N,N];

//truss 4
parameter Real X4=90; //degree between truss
Real k4=A*E/36;
Real K4[4,4]; //stiffness matrice
Integer p4a=2;
Integer p4b=4;
Real G4[N,N];

//truss 5
parameter Real X5=45; //degree between truss
Real k5=A*E/50.912;
Real K5[4,4]; //stiffness matrice
Integer p5a=2;
Integer p5b=5;
Real G5[N,N];

//truss 6
parameter Real X6=0; //degree between truss
Real k6=A*E/36;
Real K6[4,4]; //stiffness matrice
Integer p6a=4;
Integer p6b=5;
Real G6[N,N];

/*
for each truss, please ensure pXa is lower then pXb (X represents truss element number)
*/

algorithm

//creating global matrice
K1:=Stiffness_Matrices(X1);
G1:=k1*Local_Global(K1,N,p1a,p1b);

K2:=Stiffness_Matrices(X2);
G2:=k2*Local_Global(K2,N,p2a,p2b);

K3:=Stiffness_Matrices(X3);
G3:=k3*Local_Global(K3,N,p3a,p3b);

K4:=Stiffness_Matrices(X4);
G4:=k4*Local_Global(K4,N,p4a,p4b);

K5:=Stiffness_Matrices(X5);
G5:=k5*Local_Global(K5,N,p5a,p5b);

K6:=Stiffness_Matrices(X6);
G6:=k6*Local_Global(K6,N,p6a,p6b);

G:=G1+G2+G3+G4+G5+G6;
Ginitial:=G;

//implementing boundary condition
for i in 1:N loop
 G[2*b1-1,i]:=0;
 G[2*b1,i]:=0;
 G[2*b2-1,i]:=0;
 G[2*b2,i]:=0;
end for;

G[2*b1-1,2*b1-1]:=1;
G[2*b1,2*b1]:=1;
G[2*b2-1,2*b2-1]:=1;
G[2*b2,2*b2]:=1;

//solving displacement
Sol:=Gauss_Jordan(N,G,X);

//solving reaction force
SolMat:=matrix(Sol);
XMat:=matrix(X);
R:=Reaction_Trusses(N,Ginitial,SolMat,XMat);

end Trusses;


Trusses Problem 2 (Homework)

Soal Trusses 2 fashal.jpg


Discplacement Graphics
Reaction Forces Graphics

Persamaan 

class Trusses_HW

parameter Integer N=8; //Global matrice = 2*points connected
parameter Real A=0.001; //Area m2
parameter Real E=200e9; //Pa
Real G[N,N]; //global
Real Ginitial[N,N]; //global
Real Sol[N]; //global dispplacement
Real X[N]={0,0,-1035.2762,-3863.7033,0,0,-1035.2762,-3863.7033};
Real R[N]; //global reaction force
Real SolMat[N,1];
Real XMat[N,1];

//boundary condition
Integer b1=1;
Integer b2=3;

//truss 1
parameter Real X1=0; //degree between truss
Real k1=A*E/1;
Real K1[4,4]; //stiffness matrice
Integer p1a=1;
Integer p1b=2;
Real G1[N,N];

//truss 2
parameter Real X2=0; //degree between truss
Real k2=A*E/1;
Real K2[4,4]; //stiffness matrice
Integer p2a=2;
Integer p2b=3;
Real G2[N,N];

//truss 3
parameter Real X3=90; //degree between truss
Real k3=A*E/1.25;
Real K3[4,4]; //stiffness matrice
Integer p3a=2;
Integer p3b=4;
Real G3[N,N];

//truss 4
parameter Real X4=90+38.6598; //degree between truss
Real k4=A*E/1.6;
Real K4[4,4]; //stiffness matrice
Integer p4a=1;
Integer p4b=4;
Real G4[N,N];

//truss 5
parameter Real X5=90-38.6598; //degree between truss
Real k5=A*E/1.6;
Real K5[4,4]; //stiffness matrice
Integer p5a=3;
Integer p5b=4;
Real G5[N,N];

/*
for each truss, please ensure pXa is lower then pXb (X represents truss element number)
*/

algorithm

//creating global matrice
K1:=Stiffness_Matrices(X1);
G1:=k1*Local_Global(K1,N,p1a,p1b);

K2:=Stiffness_Matrices(X2);
G2:=k2*Local_Global(K2,N,p2a,p2b);

K3:=Stiffness_Matrices(X3);
G3:=k3*Local_Global(K3,N,p3a,p3b);

K4:=Stiffness_Matrices(X4);
G4:=k4*Local_Global(K4,N,p4a,p4b);

K5:=Stiffness_Matrices(X5);
G5:=k5*Local_Global(K5,N,p5a,p5b);

G:=G1+G2+G3+G4+G5;
Ginitial:=G;

//implementing boundary condition
for i in 1:N loop
 G[2*b1-1,i]:=0;
 G[2*b1,i]:=0;
 G[2*b2-1,i]:=0;
 G[2*b2,i]:=0;
end for;

G[2*b1-1,2*b1-1]:=1;
G[2*b1,2*b1]:=1;
G[2*b2-1,2*b2-1]:=1;
G[2*b2,2*b2]:=1;

//solving displacement
Sol:=Gauss_Jordan(N,G,X);

//solving reaction force
SolMat:=matrix(Sol);
XMat:=matrix(X);
R:=Reaction_Trusses(N,Ginitial,SolMat,XMat);

end Trusses_HW;

Fungsi Panggil

Matrice Transformation 

function Stiffness_Matrices
input Real A;
Real Y;
output Real X[4,4];
Real float_error = 10e-10;

final constant Real pi=2*Modelica.Math.asin(1.0);

algorithm

Y:=A/180*pi;
    
X:=[(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y);

Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2;

-(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y);

-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2];

for i in 1:4 loop
 for j in 1:4 loop
   if abs(X[i,j]) <= float_error then
     X[i,j] := 0;
   end if;
 end for;
end for;

end Stiffness_Matrices;

Global Element Matrice 

function Local_Global
input Real Y[4,4];
input Integer B;
input Integer p1;
input Integer p2;
output Real G[B,B];

algorithm

for i in 1:B loop
 for j in 1:B loop
     G[i,j]:=0;
 end for;
end for;

G[2*p1,2*p1]:=Y[2,2];
G[2*p1-1,2*p1-1]:=Y[1,1];
G[2*p1,2*p1-1]:=Y[2,1];
G[2*p1-1,2*p1]:=Y[1,2];

G[2*p2,2*p2]:=Y[4,4];
G[2*p2-1,2*p2-1]:=Y[3,3];
G[2*p2,2*p2-1]:=Y[4,3];
G[2*p2-1,2*p2]:=Y[3,4];

G[2*p2,2*p1]:=Y[4,2];
G[2*p2-1,2*p1-1]:=Y[3,1];
G[2*p2,2*p1-1]:=Y[4,1];
G[2*p2-1,2*p1]:=Y[3,2];

G[2*p1,2*p2]:=Y[2,4];
G[2*p1-1,2*p2-1]:=Y[1,3];
G[2*p1,2*p2-1]:=Y[2,3];
G[2*p1-1,2*p2]:=Y[1,4];

end Local_Global;

Gauss_Jordan 

function Gauss_Jordan
input Integer N;
input Real A[N,N];
input Real B[N];
output Real X[N];
Real float_error = 10e-10;

algorithm
X:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B);

for i in 1:N loop
  if abs(X[i]) <= float_error then
    X[i] := 0;
  end if;
end for;

end Gauss_Jordan;

Reaction Matrice Equation 

function Reaction_Trusses
input Integer N;
input Real A[N,N];
input Real B[N,1];
input Real C[N,1];
Real X[N,1];
output Real Sol[N];
Real float_error = 10e-10;

algorithm
X:=A*B-C;

for i in 1:N loop
 if abs(X[i,1]) <= float_error then
   X[i,1] := 0;
 end if;
end for;

for i in 1:N loop
 Sol[i]:=X[i,1];
end for;

end Reaction_Trusses;


Pertemuan 4 (02/12/2020)

Kita harus mengetahui hal apa saja yang akan kita lakukan


Quiz Diagram Class dan Flow Chart

Membuat flow chart dan class diagram dari coding trusse problem

Setelah memahami pembahasan,saya menggunakan 5 kelas. Ketika kita menggunakan matrices transfromation, kita ada menambahkan data sudut dari elemen pada truss, kemudia outputnya pun berupa matriks lokal dari kekakuan pegas. ketika persamaan global element matrice didapat, tiap matriks lokal kekukan elemen akan diletkannan dalam susunan matriks global. Didalam class truss berikutnya matriks tiap elemen diolah dengan luas penampang , modulus elastisitaas dan panjang tiap elemen, yang selanjutnya digabungkan menjadi suatu matriks global g, dengan penerapan boundary conditon, selanjutnya diselesaikan dengan gauss jordan untuk mendapatkan nili defleksi dan digunakanlah fungsu reaction untuk menghasilkan gaya reaksi.

Buatlah Flowchart untuk soal berikut

Soal Trusses 2 fashal.jpg

Pembuatan Flowchart

590034.jpg

perhitunganflow chart 

590056.jpg        590036.jpg


Tugas Minggu IV

Mebuat flow chart diagram class dan coding open modelica

Tr 1.jpeg

Pada langkah pertama saya membuat class diagram dan flowchart untuk tugas ini

602513.jpg

Saya membuat FBD untuk mencari data-data yang diperlukan, yaitu node, sudut, luas, modulus elastisitas, dan panjang dari tiap batang. Karena ini merupakan permasalahan 3D, maka sudut akan ada pada arah x, y, dan z.

602515.jpg 
StiffnessMatrixElement
function StiffnessMatrixElement

 input Real [:,9] inisiasi_mat;
 output Real [size(inisiasi_mat,1),6,6] Ke_mat;

 protected
   Real cos_x;
   Real cos_y;
   Real cos_z;
   Real [6] StiffTrig;
   Real [6,6] StiffTrans;
   Real [size(inisiasi_mat,1)] k_vec;

algorithm
 k_vec := {(inisiasi_mat[i,7] * inisiasi_mat[i,8] / inisiasi_mat[i,9]) for i in 1:size(inisiasi_mat,1)};

 // Finding stiffness matrix of each element member
 for i in 1:size(inisiasi_mat,1) loop

 // Clearing the matrices
 StiffTrig := zeros(6);
 StiffTrans := zeros(6,6);
  
 // Converting degrees to radians
 cos_x := inisiasi_mat[i,4];
 cos_y := inisiasi_mat[i,5];
 cos_z := inisiasi_mat[i,6];

 // {cos^2, sin^2, sincos}
 StiffTrig := {(cos_x)^2,
               (cos_y)^2,
               (cos_z)^2,
               (cos_x*cos_y),
               (cos_x*cos_z),
               (cos_y*cos_z)};
  
 // Construct stiffness transformation matrix
 StiffTrans := [  StiffTrig[1],    StiffTrig[4],    StiffTrig[5], -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[5];
                  StiffTrig[4],    StiffTrig[2],    StiffTrig[6], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[2], -1*StiffTrig[6];
                  StiffTrig[5],    StiffTrig[6],    StiffTrig[3], -1*StiffTrig[5], -1*StiffTrig[6], -1*StiffTrig[3];
               -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[5],    StiffTrig[1],    StiffTrig[4],    StiffTrig[5];
               -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[2], -1*StiffTrig[6],    StiffTrig[4],    StiffTrig[2],    StiffTrig[6];
               -1*StiffTrig[5], -1*StiffTrig[6], -1*StiffTrig[3],    StiffTrig[5],    StiffTrig[6],    StiffTrig[3]];
                
 // Multiply in stiffness constant of element, add final stiffness matrix to Ke_mat
 for m in 1:6 loop
   for n in 1:6 loop
     Ke_mat[i,m,n] := k_vec[i] * StiffTrans[m,n];
   end for;
 end for;

end for;
end StiffnessMatrixElement;

Setelah itu dibuat matriks K global 12x12 dari tiap element 

StiffnessMatrixGlobal
function StiffnessMatrixGlobal
 input Integer [:,2] n;
 input Integer x;
 input Integer y;
 input Real [y,6,6] Ke_mat; 
 output Real [y,x,x] Kg_mat;
  
algorithm
 for i in 1:y loop
   for a in 1:x loop
     for b in 1:x loop
       Kg_mat[i,a,b]:=0;
     end for;
   end for;
  end for;
 
 for i in 1:y loop
   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,3,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,3,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,3,1];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,2,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,2,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,2,1];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,1,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,1,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,1,1];

   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,6,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,6,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,6,4];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,5,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,5,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,5,4];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,4,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,4,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,4,4];

   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,6,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,6,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,6,1];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,5,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,5,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,5,1];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,4,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,4,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,4,1];

   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,3,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,3,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,3,4];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,2,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,2,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,2,4];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,1,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,1,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,1,4];
 end for;
end StiffnessMatrixGlobal;

Setelah itu semua matriks global dari tiap element akan dijumlahkan 

SumStiffnessMatrixGlobal
function SumStiffnessMatrixGlobal
 input Integer x;
 input Integer y;
 input Real [y,x,x] Kg_mat;
 output Real [x,x] KgTot_mat;
  
algorithm
  for a in 1:x loop
   for b in 1:x loop
     KgTot_mat[a,b] := sum(Kg_mat [:,a,b]);
    end for;
   end for;

end SumStiffnessMatrixGlobal;

Setelah itu tentukan juga boundariesnya 

BoundaryStiffnessMatrixGlobal
function BoundaryStiffnessMatrixGlobal
 input Integer x;
 input Integer z;
 input Real [x,x] KgTot_met;
 input Integer[z] Boundary_met;
 output Real [x,x] KgB_met;
  
algorithm
 for a in 1:x loop
   for b in 1:x loop
    KgB_met[a,b] := KgTot_met [a,b];
   end for;
  end for; 
  
 for i in 1:x loop
  for a in 1:z loop
   for b in 0:2 loop
     KgB_met[3*(Boundary_met[a])-b,i]:=0;
   end for;
  end for;
 end for;

 for a in 1:z loop
   for b in 0:2 loop
     KgB_met[3*Boundary_met[a]-b,3*Boundary_met[a]-b]:=1;
   end for;
 end for;
   
end BoundaryStiffnessMatrixGlobal;

Untuk mencari displacement-nya digunakan gauss jordan untuk menyelesaikan matriks 

GaussJordan
function GaussJordan
 input Integer x;
 input Real [x,x] KgB_met;
 input Real [x] load_met;
 output Real [x] U_met;
  
 protected
 Real float_error = 10e-10;

algorithm
 U_met:=Modelica.Math.Matrices.solve(KgB_met,load_met);

 for i in 1:x loop
   if abs(U_met[i]) <= float_error then
    U_met[i] := 0;
   end if;
 end for;

end GaussJordan;

Dan untuk melihat reaction nya digunakan code sebagai berikut : 

ReactionForce.mo
function ReactionForce
 input Integer x;
 input Real [x,x] KgTot_met;
 input Real [x] U_met;
 input Real [x] load_met;
 output Real [x] R_met;

algorithm
 R_met := (KgTot_met*U_met)-load_met;
end ReactionForce;

Terakhir dibuat Class untuk memproses data yang sudah dibuat dan melihat hasil U dan R 

QuizSoal1
class QuizSoal1

parameter Real [:,9] inisiasi = [1, 1, 2, -0.8,    0, -0.6, 15e-4, 70e9, 2.5;
                                  2, 1, 3, -0.8, -0.6,    0, 15e-4, 70e9, 2.5;
                                  3, 1, 4, -0.8,    0,  0.6, 15e-4, 70e9, 2.5];
                                   
 parameter Integer [:,2] node = [1, 2;
                                 1, 3;
                                 1, 4];
                                  
 parameter Integer y = size(node,1);
  
 parameter Integer x = 3*(size(node_load,1));
  
 parameter Integer z = size(Boundary,1);
  
 parameter Integer [:] Boundary = {2,3,4};
                               
 parameter Real [:,4] node_load = [1, 0, -5000, 0;
                                   2, 0,     0, 0;
                                   3, 0,     0, 0;
                                   4, 0,     0, 0];
                                    
 parameter Real [x] load = {0,-5000, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};
                                   
 Real [y] k;

 Real [y,6,6] Ke;
  
 Real [y,x,x] Kg;
  
 Real [x,x] KgTot;
  
 Real [x,x] KgB;
  
 Real [x] U;
  
 Real [x] R;
  
equation
 k = {(inisiasi[i,7] * inisiasi[i,8] / inisiasi[i,9]) for i in 1:y};

 Ke = StiffnessMatrixElement(inisiasi);
 
 Kg = StiffnessMatrixGlobal(node, x, y, Ke);
 
 KgTot = SumStiffnessMatrixGlobal(x, y, Kg);
 
 KgB = BoundaryStiffnessMatrixGlobal(x, z, KgTot, Boundary);
 
 U = GaussJordan(x, KgB, load);
 
 R = ReactionForce(x, KgTot, U, load);
end QuizSoal1;


Berikut video tutorial mencari defleksi trusses 3d yang saya buat :


Pertemuan Minggu 5 : Kelas Pengganti

Pada pertemuan kelas pengganti ini, kami mereview ulang hal apa saja yang sudah adad pada pertemuan sebelumnya. Pada kelas ini kami juga diajarkan kembali tentang sistem trusses menggunakan software open modelica. Pak Dai sebagai dosen metnum juga mengajarkan tentang pelajaran-pelajaran hidup. Beliau banyak memberikan nasihat-nasihat kebaikan pada kehidupan seperti manusia yang harus selalu berserah diri kepada Allah SWt. Beliau juga mengajarkan kita untuk muhasabah diri dengan memberi penilaian kepada diri sendiri tentang kemampuan penguasaan materi trusses menggunakan Open Modelica.

Pertemuan Minggu 6

Pada pertemuan kali ini kami diajarkan tentang optimasi menggunakan Open Modelica. Optimasi sendiri adalah sebuah cara untuk mendapatkan nilai minimum atau maksimum dari suatu permasalahan. Terdapat beberapa aspek yang diperhatikan dalam melakukan optimasi yaitu fungsi objektif dan ada juga konstrain. Pada kali ini Asisten Dosen yaitu Bu Chandra memberikan tutorial untuk melakukan optimasi menggunakan metode Bracket. Pada metode "Bracket Optimization Using Golden Ratio" terdapat satu graik yang mempunyai nilai f(x) global maks dan lokal maks serta terdapat f(x) global minimum dann lokal minimum. Pada pertemuan kali ini, Bu chandra mengajarkan sampai melakukan optimasi grafik tanpa sebuah konstrain.

Selanjutkan Bu Chandra mengajarkan langsung, dengan menggunakan Software Open MOdelica. Kita dapat membuat sebuah fungsi pada awalnya:

Fungsi panggil 

function f_obj3
import Modelica.Math;
input Real x;
output Real y;
algorithm
y:= 2*Math.sin(x)-x^2/10;
end f_obj3;

setelah itu kita dapat membuat model optimasi sistem bracket sesuai yang diajarkan 

model bracket_optimation3
parameter Integer n=8;
Real x1[n];
Real x2[n];
Real xup;
Real xlow;
Real d;
Real f1[n];
Real f2[n];
Real xopt;
Real yopt;
algorithm
xup :=4;
xlow:=0;
for i in (1:n) loop
  d:= (5^(1/2)-1)/2*(xup-xlow);
  x1[i]:= xlow+d;
  x2[i]:= xup-d;
  f1[i]:= f_obj3(x1[i]);
  f2[i]:= f_obj3(x2[i]);
  if f1[i]>f2[i] then
  xup:= xup;
  xlow:= x2[i];
  xopt:= xup;
  yopt:= f1[i];
  else
  xlow:= xlow;
  xup:= x1[i];
  xopt:= xup;
  end if;
  end for;
end bracket_optimation3;


Sinopsis Tugas Besar : Aplikasi Metode Numerik dalam Optimasi Design Struktur Rangka Sederhana

600px-Soaltubes.jpeg Soaltubes2.jpeg

Pada tugas besar kali ini kita akan mendesign suatu rangka dengan cost yang yang serendah mungkin tetapi dengan kualitas yang optimum. Terdapat beberapa variabel yang diperhatikan diantaranya :

  • 1. Harga material
  • 2. Jenis material
  • 3. Luas Cross Section
  • 4. Penampang yang digunakan

Setelah itu kita akan melakukan optimasi dan membentuk kurva efisiensi harga dengan curve fitting menggunakan Metode numerik.


Pada tugas besar trusses kali ini saya menggunakan asumsi:

  • Area=0.000171
  • Material yang digunakan adalah Steel SS201

Hasil Open modelica

Pada proses pemodelan untuk rangka ini dilakukan menggunakan open modelica. pada pemodelan ini terdapat input yang kita sesuaikan yaitu parameter elstisitas,parameter luas penampang, dan bentuk design rangka. pada tahap berikutnya kita juga harus mendefiniskn point sambungan serta jumlah trusses, point dan jumlah sambungan pada design,lalu diperlukan juga elemen area berupa satuan luas. Berikutnya parameter elastisitas disesuaikan dengan material yang saya pkai yaitu SS201 dengan elastisitas 197,0E+9 N/m^2.

  • Brikut Untuk perhitungan Reaction force, displacement, stress, dan safety factor:
model Trusses_3D_Tugas_Besar_Safety

//define initial variable
parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points
parameter Integer Trusses=size(C,1); //Number of Trusses
parameter Real Yield=379e6; //Yield Strength (Pa)
parameter Real Area=0.000171;   //Area L Profile (Dimension=0.03, Thickness=0,004) (m2)
parameter Real Elas=197e9;     //Elasticity SS 201  (Pa)

//define connection
parameter Integer C[:,2]=[1,5; 
                          2,6;
                          3,7;
                          4,8;
                          5,6;  //1st floor
                          6,7;  //1st floor
                          7,8;  //1st floor
                          5,8;  //1st floor
                          5,9;
                         6,10;
                         7,11;
                         8,12;
                         9,10; //2nd floor
                         10,11;//2nd floor 
                         11,12;//2nd floor
                          9,12; //2nd floor
                          9,13;
                         10,14;
                         11,15;
                         12,16;
                         13,14;//3rd floor
                         14,15;//3rd floor
                         15,16;//3rd floor
                        13,16];//3rd floor
                                                              
//define coordinates (please put orderly)
parameter Real P[:,6]=[0.3,-0.375,0,1,1,1;     //1
                       -0.3,-0.375,0,1,1,1;    //2
                       -0.3,0.375,0,1,1,1;     //3
                       0.3,0.375,0,1,1,1;      //4
                           
                       0.3,-0.375,0.6,0,0,0;   //5
                       -0.3,-0.375,0.6,0,0,0;  //6
                       -0.3,0.375,0.6,0,0,0;   //7
                       0.3,0.375,0.6,0,0,0;    //8
                            
                       0.3,-0.375,1.2,0,0,0;   //9
                       -0.3,-0.375,1.2,0,0,0;  //10  
                       -0.3,0.375,1.2,0,0,0;   //11
                       0.3,0.375,1.2,0,0,0;    //12
                            
                       0.3,-0.375,1.8,0,0,0;   //13
                       -0.3,-0.375,1.8,0,0,0;  //14
                       -0.3,0.375,1.8,0,0,0;   //15
                       0.3,0.375,1.8,0,0,0];   //16
                          
//define external force (please put orderly)
parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,0, 
                            0,0,-500, 
                            0,0,-1000, 
                            0,0,-1000, 
                            0,0,-500}; 

//solution
Real displacement[N], reaction[N];
Real check[3];

Real stress1[Trusses];
Real safety[Trusses];
Real dis[3];
Real Str[3];
 
protected
parameter Integer N=3*Points;
Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3];
Real err=10e-10, ers=10e-4;

algorithm
//Creating Global Matrix
G:=id;
for i in 1:Trusses loop
 for j in 1:3 loop
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
 end for;
      
   //Solving Matrix
   L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
   cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
   cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
   cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
   X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                     cy*cx,cy^2,cy*cz;
                     cz*cx,cz*cy,cz^2];

   //Transforming to global matrix
   g:=zeros(N,N); 
   for m,n in 1:3 loop
     g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
     g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
     g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
     g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
   end for;  

 G_star:=G+g;
 G:=G_star;
end for;

//Implementing boundary
for x in 1:Points loop
 if P[x,4] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[(x*3)-2,a]:=0;
     G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
   end for;
 end if;
 if P[x,5] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[(x*3)-1,a]:=0;
     G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
   end for;
 end if;
 if P[x,6] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[x*3,a]:=0;
     G[x*3,x*3]:=1;
   end for;
 end if;
end for;

//Solving displacement
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);

//Solving reaction
reaction:=(G_star*displacement)-F;

//Eliminating float error
for i in 1:N loop
 reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
 displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
end for;

//Checking Force
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))});
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))});
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)});
  
for i in 1:3 loop
 check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
end for;

//Calculating stress in each truss
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
  dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
end for;
      
   //Solving Matrix
   L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
   cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
   cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
   cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
   X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                cy*cx,cy^2,cy*cz;
                cz*cx,cz*cy,cz^2];
   
   Str:=(X*dis);
   stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
end for;

//Safety factor
for i in 1:Trusses loop
 if stress1[i]>0 then
   safety[i]:=Yield/stress1[i];
 else
   safety[i]:=0;
 end if; 
end for;

end Trusses_3D_Tugas_Besar_Safety;


Pada hasil open modelica didapat nilai displacement dan reaction sebagai berikut :

Difashal.JPG
Reaction fashal.JPG

Lalu didapat juga hasil stress dan safety pada open modelica dan kita running satu persatu:

Www (2).JPG
Stressfas.JPG

Pada saat melakukan optimasi kita menggunakan 2 metodologi yaitu:

Untuk jenis material yang sama:

  1. Mencari harga untuk 6 ukuran batang dengan material yang sama yaitu s201.
  2. Mengitung nilai safety factor pada 6 ukuran batang dengan coding awal.
  3. Membuat rasio antara safety factor dengan harga total.
  4. Membuat persamaan antara rasio (safe/harga) dengan area dengan metode curve fitting.

Untuk area penampang yang sama:

  1. Mencari harga untuk 4 jenis material dengan area penampang yang sama yaitu 171 mm^2.


Untuk jenis material yang sama

Data yang dipakai adalah

Lcfashal.JPG

Hasil perhitungan yang didapat adalah

Hasilfashal.JPG

Kemudian kita gunakan open modelica untuk mengoptimasi data yang sudah didapat. pada kali ini saya menggunakan nilai minimum xlo= 0,000111 dan nilai maksimum xhi= 0.000304. Maka didapatlah hasil optimasi seperti berikut:

Hasilfas.JPG

Dari hasil yang didapat , dapat disimpulkan bahwa dengan menggunkan material ss201 luas area yang optimum adalah dengan 303 mm^2.


Untuk area penampang yang sama

Data yang dipakai adalah

Area locked fas.JPG

Hasil perhitungan yang didapat adalah

Arealockedhasilfashal.JPG

Kemudian kita gunakan open modelica untuk mengoptimasi data yang sudah didapat. pada kali ini saya menggunakan nilai minimum xlo=193e+11 dan nilai maksimum xhi= 200e+11. Maka didapatlah hasil optimasi seperti berikut:

HASIL LOACAREAFIX.JPG

Dari hasil yang didapat, dapat disimpulkan bahwa dengan luas area truss sebesar 171 mm^2 , material yang paling cocok untuk bahan dasar rangka adalah material stainless steel sS201 dengan modulus elastisitas sebesar 1.97532x10^11 Pa

Coding Pada OpenModelica yang Digunakan

*Optimasi
model OptimasiRangka

parameter Real xd[:]={1.93E+11,1.95E+11,1.97E+11,2E+11};
parameter Real yd[size(xd,1)]={4.39477E-5,8.06975E-5,0.00011239,8.72658E-5};
parameter Real xlo=111e-6;
parameter Real xhi=304e-6; 
parameter Integer N=10; // maximum iteration
parameter Real es=0.0001; // maximum error

Real f1[N], f2[N], x1[N], x2[N], ea[N], y[3];
Real xopt,  fx;
protected
Real d, xl, xu, xint, R=(5^(1/2)-1)/2;

algorithm
xl := xlo; 
xu := xhi;
y  := Curve_Fitting(xd,yd);
 
for i in 1:N loop
 d:= R*(xu-xl);
 x1[i]:=xl+d;
 x2[i]:=xu-d;
 f1[i]:=y[1]*x1[i]^2+y[2]*x1[i]+y[3];
 f2[i]:=y[1]*x2[i]^2+y[2]*x2[i]+y[3];
 xint:=xu-xl;
 
 if f1[i]>f2[i] then
   xl:=x2[i];
   xopt:=x1[i];
   fx:=f1[i];
   else
     xu:=x1[i];
     xopt:=x2[i];
     fx:=f2[i];
 end if;
 
 ea[i]:=(1-R)*abs((xint)/xopt);
 if ea[i]<es then
   break;
 end if;
end for;
end OptimasiRangka

*Curve Fitting
function CurveFitting

input Real X[:];
input Real Y[size(X,1)];
input Integer order=2;
output Real Coe[order+1];

protected
Real Z[size(X,1),order+1];
Real ZTr[order+1,size(X,1)];
Real A[order+1,order+1];
Real B[order+1];

algorithm

for i in 1:size(X,1) loop
 for j in 1:(order+1) loop
 Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j);
 end for;
end for;
ZTr:=transpose(Z);

A:=ZTr*Z;
B:=ZTr*Y;
Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B);

end CurveFitting;
  • Curve Fitting class
class Input_Curve_Fitting

parameter Real X[6]={111.0E-6,141.0E-6,171.0E-6,231.0E-6,304.0E-6,375.0E-6}; 
parameter Real Y[6]={237700,318800,381200,512800,683700, 83800};

Real coe[3];

algorithm 
coe:=Curve_Fitting(X,Y,2);

end Input_Curve_Fitting;


UAS

Perhatikan Water Tower dengan Reservoir berbentuk Bola pada Gambar diatas. Anda diminta untuk membuat pemodelan numerik untuk mengoptimalkan struktur Water Tower tersebut.

1. Buatlah urutan langkah-langkah (prosedur) pemodelan numerik untuk optimasi struktur tersebut.

Pada soal ini saya membuat sebuah flowchart untuk memudahkan proses pemodelan numerik untuk melakukan optimasi struktur water tower :

622381.jpg


2. Jelaskan tujuan pemodelan numerik soal no 1 diatas, hukum/dalil (fisika) yang dipakai dan asumsi-asumsi yang akan digunakan dalam perhitungan

Pada pemodelan numerik yang kita buat betujuan untuk mengetahui struktur dari trusses water tower. Dengan melakukan optimasi kita juga dapat menghitung nilai dari Restrain,displacement,stress dan safety factor yang berguna untuk mengetahui kekuatan dari struktur tersebut. Untuk asumsi yang digunakan kita dapat menetukan sendiri tapi tetap sesuai dengan dasar -dasar fisika seperti: Panjang Rangka(L), ketinggian(h), dan luas penampangnya.

Terdapat beberapa Hukum fisika yang dapa digunakan untuk pada struktur tersebut, seperti hukum 1 newton, flowrate, dan tekanan hidrostatis.


622382.jpg


3. Untuk pemodelan numerik analisis strukturnya nya gunakan pendekatan 1D truss dgn membagi kolum (tiang) water tower kedalam 3 elemen (1D). a). Susunlah persamaan aljabar kesetimbangan statik setiap elemen tsb. (matriks kesetimbangan lokal) b) Matriks kesetimbangan global

Untuk menyusun persamaan tiap elemen kita dapat menggunakan F= (AxE/L)xdeltaL JIka terdapat point yang dihubungkan maka akan terbentuk matiks kekakuan.

622383.jpg
622384.jpg


4.Susun urutan langkah-langkah (pseudocode) perhitungan matriks kesetimbangan global soal no 3 termasuk pengecekan kesalahan (verifikasi) perhitungannya

Pada tahap ini kita dapat meinput data yang diketahui terlebih dahulu. Berikutnya kita membuat coding stiffnes matriksnya. Setelah itu, stiffness matriks kita input kedalah global matriks dan kita solve global matriks.Kita juga harus meimprementasikan boundary condition, dan solve discplacemetn matriks.kemudian dari displacementn matrix akan dapat dsplay solutionnya.

622385.jpg

5. Tulis dan jelaskan fungsi objektif dan constraint untuk optimasi struktur water tower tersebut

Fungsi objektif adalah data- data terkati struktur untuk optimasi dari material dan areanya. Contohnya : Gaya reaksi, kesetimbangan statis,, dan usaha optimasi dari struktur.

Sedangkan constrain adalah luas penampang dan elastisitas dari struktur tersebut.

Capture no5.JPG


6. Tuliskan asumsi nilai-nilai parameter dan variable untuk menghitung displacement, restraint dan stress utk model struktur water tower dgn 3 elemnt 1 D diatas

Terdapat beberapa asumsi yang saya pakai untuk menghitung optimasi dari struktur ini: Modulus elastisitasnya: 68 x10^-9 lb/inc Areanya  : 40

Captur6.JPG


7. Gunakan program modelica anda untuk menghitung displacement, restraint dan stress utk model struktur water tower dgn 3 element 1 D berdasarkan asumsi no 6

Dari hasil Pemodelan optimasi yang kit lakukan didapat nilai maksimal dari displaceennya adlah 3.6811e+06, lalu Stress maksimumnya adalah 1.17222e+15 dan maksimum reactionnya 4.54681e+16

777.JPG

Hasil Pada Open MOdelica


622389.jpg


Model yang dipakai pada Open modelica

622387.jpg
622388.jpg


model UAS
   //define initial variable
 parameter Integer Points = size(P, 1);
   //Number of Points
 parameter Integer Trusses = size(C, 1);
   //Number of Trusses
 parameter Real Yield = 214e6;
   //Yield Strength (Pa)
 parameter Real Area = 40;
   //Area L Profile
 parameter Real Elas = 68.9e9;
   //Elasticity Al 6061  (Pa)
   //define connection
 parameter Integer C[:, 2] = [1, 2; 1, 3; 1, 4];
   //define coordinates (please put orderly)
 parameter Real P[:, 6] = [0, 0, 0, 1, 1, 1;          //1
                           6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1;   //2
                           6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1;   //3
                           6.5, 6.5, 36.5, 1, 1, 1];  //4
   //define external force (please put orderly)
 parameter Real F[Points * 3] = 
{0,0,0,0,3708180,0,0,3708180,0,0,3708180,0};
   //solution
 Real displacement[N], reaction[N];
 Real check[3];
 Real stress1[Trusses];
 Real safety[Trusses];
 Real dis[3];
 Real Str[3];
protected
 parameter Integer N = 3 * Points;
 Real q1[3], q2[3], g[N, N], G[N, N], G_star[N, N], id[N, N] = 
identity(N), cx, cy, cz, L, X[3, 3];
 Real err = 10e-10, ers = 10e-4;
algorithm
   //Creating Global Matrix
 G := id;
 for i in 1:Trusses loop
   for j in 1:3 loop
     q1[j] := P[C[i, 1], j];
     q2[j] := P[C[i, 2], j];
   end for;
   L := Modelica.Math.Vectors.length(q2 - q1);
   cx := (q2[1] - q1[1]) / L;
   cy := (q2[2] - q1[2]) / L;
   cz := (q2[3] - q1[3]) / L;
   X := Area * Elas / L * [cx ^ 2, cx * cy, cx * cz; cy * cx, cy ^ 2, cy 
* cz; cz * cx, cz * cy, cz ^ 2];
   g := zeros(N, N);
   for m, n in 1:3 loop
     g[3 * (C[i, 1] - 1) + m, 3 * (C[i, 1] - 1) + n] := X[m, n];
     g[3 * (C[i, 2] - 1) + m, 3 * (C[i, 2] - 1) + n] := X[m, n];
     g[3 * (C[i, 2] - 1) + m, 3 * (C[i, 1] - 1) + n] := -X[m, n];
     g[3 * (C[i, 1] - 1) + m, 3 * (C[i, 2] - 1) + n] := -X[m, n];
   end for;
   G_star := G + g;
   G := G_star;
  end for;
//Solving Matrix
//Transforming to global matrix
//Implementing boundary
 for x in 1:Points loop
   if P[x, 4] <> 0 then
     for a in 1:Points * 3 loop
       G[x * 3 - 2, a] := 0;
       G[x * 3 - 2, x * 3 - 2] := 1;
     end for;
   end if;
   if P[x, 5] <> 0 then
     for a in 1:Points * 3 loop
       G[x * 3 - 1, a] := 0;
       G[x * 3 - 1, x * 3 - 1] := 1;
     end for;
   end if;
   if P[x, 6] <> 0 then
     for a in 1:Points * 3 loop
       G[x * 3, a] := 0;
       G[x * 3, x * 3] := 1;
     end for;
   end if;
 end for;
//Solving displacement
 displacement := Modelica.Math.Matrices.solve(G, F);
//Solving reaction
 reaction := G_star * displacement - F;
//Eliminating float error
 for i in 1:N loop
   reaction[i] := if abs(reaction[i]) <= err then 0 else reaction[i];
   displacement[i] := if abs(displacement[i]) <= err then 0 else 
displacement[i];
 end for;
//Checking Force
 check[1] := sum({reaction[i] for i in 1:3:N - 2}) + sum({F[i] for i in 
1:3:N - 2});
 check[2] := sum({reaction[i] for i in 2:3:N - 1}) + sum({F[i] for i in 
2:3:N - 1});
 check[3] := sum({reaction[i] for i in 3:3:N}) + sum({F[i] for i in 
3:3:N});
 for i in 1:3 loop
   check[i] := if abs(check[i]) <= ers then 0 else check[i];
 end for;
//Calculating stress in each truss
 for i in 1:Trusses loop
   for j in 1:3 loop
     q1[j] := P[C[i, 1], j];
     q2[j] := P[C[i, 2], j];
     dis[j] := abs(displacement[3 * (C[i, 1] - 1) + j] - displacement[3 
* (C[i, 2] - 1) + j]);
   end for;
   L := Modelica.Math.Vectors.length(q2 - q1);
   cx := (q2[1] - q1[1]) / L;
   cy := (q2[2] - q1[2]) / L;
   cz := (q2[3] - q1[3]) / L;
   X := Elas / L * [cx ^ 2, cx * cy, cx * cz; cy * cx, cy ^ 2, cy * cz; 
cz * cx, cz * cy, cz ^ 2];
   Str := X * dis;
   stress1[i] := Modelica.Math.Vectors.length(Str);
 end for;
//Solving Matrix
//Safety factor
 for i in 1:Trusses loop
   if stress1[i] > 0 then
     safety[i] := Yield / stress1[i];
   else
     safety[i] := 0;
   end if;
 end for;
end UAS;
Retrieved from "http://air.eng.ui.ac.id/index.php?title=Fashal_Firdaus_Amarullah&oldid=55910"