Metnum03-Wildan Firdaus

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

BIODATA DIRI

Nama : Wildan Firdaus

NPM  : 1906435574

Fakultas/ Jurusan : Teknik/ Teknik Mesin

Kelas Metode Numerik 03

Pertemuan Metode Numerik 1 : 09 November 2020

Metode numerik merupakan teknik penyelesaian permsalahan matematis dengan menggunakan operasi hitungan yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Metode ini digunakan karena banyak permasalahan matematis tidak dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Jikapun terdapat penyelesaiannya secara analitik, proses penyelesaiaannya sering kali cukup rumit dan memakan banyak waktu sehingga tidak efisien. Sebelum UTS kami mempelajari berbagai materi pokok mengenai metode numerik yaitu mencari akar akar persamaan non linear, turunan numerik, regresi dan interpolasi.

1. Mencari akar akar persamaan non linear

Pada materi ini saya mempelajari cara cara menghitung akar persamaan non liner secara numerik dengan 2 metode yaitu close methods dan open methods. Closed Methods merupakan metode pencarian akar-akar dengan menggunakan batas atas dan batas bawah untuk mencari akar dan mengukur persentasi error yang didapat untuk mendapat tingkat akurasi dari iterasi. Metode yang saya pelajari ada 3 yaitu Graphical Methods, Bisection Methods, dan False-Position Methods. Sedangkan Open Methods merupakan metode pencarian yang hanya menggunakan 1 titik untuk menemukan akar-akar. Metode ini dapat menggunakan turunan suatu fungsi untuk menentukan titik pengujian baru yang semakin dekat dengan nilai akar-akar yang diinginakn. Metode yang saya pelajari ada 3 yaitu Fixed-Point Iteration, Newton-Rapshon, dan Secant Method

2. Turunan numerik

Turunan Numerik adalah menentukan nilai turunan fungsi f yang diberikan dalam bentuk tabel. Terdapat 3 pendekatan dalam menghitung turunan numerik:

3. Regresi

Regresi linear adalah sebuah pendekatan untuk memodelkan hubungan antara variable terikat Y dan satu atau lebih variable bebas yang disebut X. Salah satu kegunaan dari regresi linear adalah untuk melakukan prediksi berdasarkan data-data yang telah dimiliki sebelumnya. Hubungan di antara variable-variabel tersebut disebut sebagai model regresi linear.

4. Interpolasi

Interpolasi adalah metode menghasilkan titik-titik data baru dalam suatu jangkauan dari beberapa data-data yang diketahui.

PR 1 Belajar OpenModelica

Pada tugas minggu ini saya menggunakan materi interpolasi dalam penerapan metode numerik menggunakan aplikasi open modelica. Saya menggunakan interpolasi untuk mencari data properties udara berupa massa jenis, kapasitas panas, viskositas dinamik, viskositas kinematik, konduktivitas termal, difusivitas termal dan prandtl number untuk udara dengan temperatur 100 derajat celcius atau setara dengan 373 derajat kelvin. Data data yang dikaetahu adalah sebagai berikut :

Dari data yang ada pada tabel tersebut kita akan menggunakan properties pada temperatur 350K dan 400K untuk melakukan interpolasi. Data tersebut kita input ke aplikasi modelica dengan tambahan kata "parameter real" di depan.

Setelah itu kita input data yang akan di hitung menggunakan kata "real" didepan data yang akan kita cari, lalu masukan persamaan yang akan digunakan untuk menghitung interpolasi berikut. Persamaan nya berupa (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

Setelah itu kita simulasikan untuk mendapatkan hasil dari persamaan tersebut , sehingga mendapatkan angka sebagai berikut

Untuk penjelasan lebih lengkapnya saya cantumkan dalam video berikut :

https://www.youtube.com/watch?v=Sr8kFdFIm_o

Pertemuan Metode Numerik 2 : 16 November 2020

Pada pertemuan kedua kami semua diperintahkan untuh mencoba melakukan simulasi simpel yaitu menjumlahkan suatu variabel dengan angka 10 ( y = x + 10 ). Hal yang pertama dilakukan adalah menginput parameter real yaitu berupa nilai x = 2, setelah itu kita menginput real yaitu berupa variabel yang nilai nya akan ditentukan, kemudian dilanjutkan dengan menginput equation atau persamaan y = 10 + x.

Setelah itu kita melakukan simulasi dan dihasilkan hasil sebagai berikut :

Setelah disimulasi kita masih bisa mengubah variabel x dengan nilai berapapun, dan melalukan simulasi ulang / resimulate sehingga akan menghasilkan nilai yang berbeda. Contohnya saya akan mengubah variabel x = 15 dan saya tunjukan pada gambar berikut

PR 2 Aljabar Simultan dengan OpenModelica

Pada petemuan kedua pak Dai memberikan PR kepada mahasiswa yaitu membuat class dengan type function untuk menyelesaikan persamaan aljabar simultan (metoda gauss elimination, gauss seidel ataupun metoda lain dan sebuah class untuk menjalankan fungsi tersebut. Dari PR yang diberikan saya akan mencoba menggunakan metode gauss elimination untuk mendapatkan solusi dari persamaan berikut dengan menggunakan aplikasi openmodelica

   w + 2x - y + z = 6

  -w + x + 2y - z = 3

  2w - x + 2y + 2z= 14

   w + x - y  + 2z= 11

Dari persamaan berikut saya modelkan ke aplikasi openmodelica menggunakan bantuan fungsi solve

Setelah itu saya membuat class dengan dengan meng input koefisien persamaan diatas kedalam bentuk matrix

Setelah itu dilakukan simulasi sehingga mendapatkan hasil sebagai berikut

Pertemuan Metode Numerik 3 : 23 November 2020

Pada pertemuan ketiga pak DAI memerintahkan semua mahasiswa untuk mencoba membuktikan hasil deltaX dari suatu sistem pegas yang ada didalam buku Steven C Chapra pada sub bab 12.4 dengan free body diagram sistem sebagai berikut :

Karena sistem berada dalam kondisi statis maka m d^2x/dt^2 = 0. Sehingga menghasilkan persamaan sebagai berikut

Data yang diketahui dari soal adalah sebagai berikut

  k = 10N/m
  m1 = 2kg 
  m2 = 3kg
  m3 = 2.5

Dengan mensubstitusi semua besaran yang diketahui ke persamaan total maka akan didapatkan matrix sebagai berikut

Dari persamaan berikut saya modelkan ke aplikasi openmodelica menggunakan bantuan fungsi solve dengan persamaan dasar W = K * x

Dari matrix yang telah didapat, input ke dalam class openmodelica

Setelah itu semua disimulasi akan mendapatkan nilai x1, x2 dan x3 sebagai berikut

Dan hasil dari perhitungan di buku adalah sebagai berikut

Dari kedua hasil perhitungan diatas dapat disimpulkan bahwa hasil dari perhitungan di buku dan open modelica mempunyai hasilyang sama.

PR 3 Menghitung Dispalcement dan Gaya Reaksi pada Balconi Truss dengan OpenModelica

Pada petemuan kedua pak Dai memberikan PR kepada mahasiswa yaitu menghitung dispalcement dan gaya reaksi pada balconi truss dengan OpenModelica.

Dari PR yang diberikan saya akan mencoba menggunakan aljabar simultan untuk mencari nilai displacement dan gaya reaksi disetiap join. Hal yang pertama dilakukan adalah menentukan node, sudut terhadap sumbu X positif dan element pada setiap batang.

Setelah itu kita menentukan kekakuan setiap batang dengan rumus k = AE/L. Untuk hal itu kita harus menentukan luas penampang dan panjang setiap batang. Dari soal sudah diketahui modulus elastisitas setiap batang E = luas penampang setiap batang sebesar 8inch persegi dan panjang batang 1, 3, 4 dan 6 adalah 3 feet atau sebesar 36 inch dan sudut antara batang 4 dengan batang 2 dan 5 adalah 45 derajat. Oleh karena itu kita dapat menghitung panjang batang 2 dan 5 dengan 36/cos45 = 50.9 inch. Sehingga k untuk batang 1, 3, 4 dan 6 adalah

dan K untuk batang 2 dan 5 adalah :

Setelah itu kita membuat persamaan K dalam bentuk matrix untuk setiap elemen.Dengan rumus sebagai berikut

Analisa Batang 1, 3 dan 6

K matrix untuk element digunakan dengan cara menginput setiap sudut yang terbentuk pada batng ke dalam marix. Karena batang 1,3 dan 6 pada mempunyai K = 4,22 x 10^5 dan sudut 0 terhadap sumbu X maka ketiga pada batang tersebut mempunyai matrix K sebagai berikut :

Lalu diaplikasikan ke batang 1, 3 dan 6

Lalu ketiga matrix tersebut diinput ke dalam matrix global sesuai dengan posisi U

Analisa Batang 4

Batang 4 mempunyai K = 4,22 x 10^5 dan sudut 90 derajat terhadap sumbu X maka ketiga pada batang tersebut mempunyai matrix K sebagai berikut :

Lalu matrix tersebut diinput ke dalam matrix global sesuai dengan posisi U

Analisa Batang 2

Batang 2 mempunyai K = 2,98 x 10^5 dan sudut 135 derajat terhadap sumbu X maka ketiga pada batang tersebut mempunyai matrix K sebagai berikut :

Lalu matrix tersebut diinput ke dalam matrix global sesuai dengan posisi U

Analisa Batang 5

Batang 5 mempunyai K = 2,98 x 10^5 dan sudut 45 derajat terhadap sumbu X maka ketiga pada batang tersebut mempunyai matrix K sebagai berikut :

Lalu matrix tersebut diinput ke dalam matrix global sesuai dengan posisi U

Kemudian kita menjumlahkan semua matrix K global tersebut menjadi matrix K global total

Sehingga akan menjadi hasil seperti berikut

Tentukan kondisi batas dan kondisi pembebanan pada struktur. Dari struktur kita dapat mengetahui bahwa U1x, U1y, U3x, U3y = 0 dan beban sebesar 500 kearah bawah pada titik tumpuan 4 dan 5 ke arah sumbu Y. Karena nilai U1x, U1y, U3x, U3y = 0 maka kita bisa mengeliminasi baris dan kolom 1, 2, 6 dan 7, sehingga nantinya akan didapatkan matrix berukuran 6 x 6.

Setelah itu kita akan menghitung nilai U menggunakan simulasi pada aplikasi OpenModelica. Saya menggunakan konsep eliminasi gauss jordan dengan menginput nilai K dan F untuk mendapatkan nilai U. Berikut adalah fungsi dan class nya

Hasil dari simulasi OpenModelica adalah

  U2x = -0.0035545 inch

  U2y = -0.0102659 inch

  U4x = 0.00118483 inch
   
  U4y = -0.0114507 inch

  U5x = 0.00236967 inch

  U5y = -0.0195458 inch

Karena nilai U1x, U1y, U3x, U3y = 0, komponen U jika disusun akan menjadi seperti berikut

Setelah nilai U didapatkan, kita dapat menghitung besarnya gaya reaksi disetiap titik tumpuan dengan rumus R = Kglobal*U - F dalam bentuk matrix

Setelah itu kita akan menyelesaikan persamaan matrix tersebut menggunakan Openmodelica menggunakan class sebagai berikut

Sehingga menghasilkan nilai R sebagai berikut

Pada hasil dibuku nilai nilai R tersebut mengalami pembulatan, sehingga hasilnya menjadi seperti berikut

Pertemuan Metode Numerik 4 : 30 November 2020 Quiz 1

Pada pertemuan kali ini kami semua diberikan soal quiz oleh pak Dai . Soalnya adalah seperti berikut

Pertama kami diminta untuk membuat flowchart untuk proses pengerjaan soal. Flowchart yang digunakan untuk kedua soal ini sama, yaitu:

Pertama yang harus dilakukan adalah membuat tabel, berisi nama element, node, dan sudut setiap batang terhadap sumbu X positif. Setelah itu menentukan nilai kekakuan pada setiap batang.

Setelah itu kita membuat K lokal untuk setiap batang menggunakan fungsi dan class pada OpenModelica

Setelah didapatkan nilai K lokal, kita konversi menjadi K global pada setiap batang. Kemudian nilai K pada setiap batang ini dijumlahkan menjadi K global total. Disini saya menggunakan perhitungan manual menggunakan bantuan excel, sehingga menghasilkan sebagai berikut.

Setelah dimasukan kondisi batas Ux1, Uy1, Ux3, Uy3 = 0. Maka matrixnya akan menjadi berukuran 4 x 4

Sehingga untuk U dan R nya menjadi seperti berikut :

NO.8

Pertama yang harus dilakukan adalah membuat tabel, berisi nama element, node, dan sudut setiap batang terhadap sumbu X positif. Setelah itu menentukan nilai kekakuan pada setiap batang.

Setelah itu kita membuat K lokal untuk setiap batang menggunakan fungsi dan class pada OpenModelica

Setelah didapatkan nilai K lokal, kita konversi menjadi K global pada setiap batang. Kemudian nilai K pada setiap batang ini dijumlahkan menjadi K global total. Disini saya menggunakan perhitungan manual menggunakan bantuan excel, sehingga menghasilkan sebagai berikut.

Setelah dimasukan kondisi batas UxB, UyB, UzB, UxC, UyC, UzC, UxD, UyD, UzD= 0. Maka matrixnya akan menjadi berukuran 3 x 3

Sehingga untuk U dan R nya menjadi seperti berikut :

Pertemuan Metode Numerik 5 : 07 Desember 2020

Pada pertemuan kali ini, kami membahas tentang soal quiz yang pada minggu sebelumnya diberikan. kita mempelajari soal ini dan diterapkan pada openmodelica untuk lebih memahami aplikasi dari OpenModelica dalam penyelesaian persoalan teknik real. pada pertemuan ini Ahmad Mohammad Fahmi menjelaskan pengerjaan kuis tersebut dengan modelling buatan nya. beberapa hal yang fahmi jelaskan adalah

-melakukan proses loooping

-membuat data dalam bentuk array

-menggunakan fungsi if

-class dan function dalam modelica

setelah itu, pak Dai memberi tugas kepada kami semua untuk memahami program fahmi dan mencobanya, sert memberi feedback berupa saran dan kritikan terkait modelling fahmi.

PR 4 Menghitung Displacement dan Gaya Reaksi pada Balconi Truss dengan OpenModelica

1. Membahas flowchart dan perhitungan modelica Tahap awal yang diperlukan untuk mengerjakan soal truss 2 dimensi / 3 dimensi adalah menghitung panjang dan kekakuan pada setiap element, setelah didapatkan kita dapat menginput parameter apa saja yang digunakan, pada kasus yang diberikan, diketahui terdapat node - node, cross section area, modulus elastitas, dan panjang dari sumbu x, y, z. Kemudian dari data yang didapatkan kita dapat membuat table inisiasi yang berisi informasi tentang identitas element pada suatu truss. Dari elemen yang diketahui dibuat matriks untuk memasukan variabel - variabel yang ada. Disini Ahmad menggunakan kolom tak hingga (:) dan 5 baris untuk soal no 4 dan 7 baris untuk soal no 8. Kemudian menggunakan parameter integer, yang dimaksudkan untuk memasukan node - node dari elemen, untuk soal no 4 jumlah i, j pada node adalah 5. Kemudian no 8 jumlah node i, j adalah 3.

Yang membedakan tabel inisiasi 2D dan 3D adalah dimana pada tabel truss 2D data yang kita butuhkan adalah nilai tetha, sedangkan untuk menghitung truss 3D kita membutuhkan nilai cos tetha. Hal itu disebabkan karena matrix penyusun elemen dari kedua dimensi tersebut berbeda. Dari tetha pada truss 2D dan cos tetha pada matrix 3D, kita dapat mengetahui nilai matrix local pada setiap element yang nilai nya bergantung pada node dan stiffnes element. Kemudian setelah matrix k local didapatkan, matrix tersebut disusun menjadi matrix k global dengan penempatan sesuai dengan node setiap element tersebut. Dari matrix k global yang didapatkan pada setiap elemen ini kita dapat menggunakan nya untuk menghitung nilai matrix k global total. Tahap selanjutnya memasukan boundary apa saja yang digunakan, untuk soal no 4 adalah node 1 dan 3, untuk soal no 8 adalah node B,C, dan D, sehingga untuk truss 2D nilai U1x, U1y, U3x, U3y bernilai 0 sedangkan pada truss 3D nilai UxB, UyB, UzB, UxC, UyC, UzC, UxD, UyD, UzD= 0. Sehingga kita dapat mengeliminasi setiap baris pada U yang bernilai 0, sehingga ukuran matrix akan menjadi lebih kecil.

Tahap selanjutnya adalah mencari nilai displacement untuk setiap node, menggunakan matrix k global yang telah ditentukan kondisi batasnya dan nilai load yang terdapat pada node tertentu dengan metode gauss jordan, sebelum menginput nilai load kita harus menguraikan load tersebut kea rah sumbu X dan sumbu Y. Pada soal 4 diketahui terdapat beban sebesar 4000 Newton, sehingga setelah diuarikan gaya tersebut bernilai 1035.28 N kearah sumbu X dan 3863.70 N kearah sumbu Y pada node 2 dan 4. Selanjutnya di soal no 8 terdapat 1 load yaitu sebesar 5000N kearah sumbu Y yang terletak di node A. Kemudian dengan menggunakan nilai u dan k global yang telah diddapatkan kita dapat mencari nilai reaksi pada setiap node menggunakan rumus R = k*u – f

2. Tugas Berikutnya yaitu mengerjakan exercise 3.3 dengan menggunakan coding Fahmi, berikut adalah soal yang diberikan. Tahap pengerjaan nya adalah menggunakan step yang telah disebutkan diatas untuk truss 3D.

Dari soal yang diberikan diketahui nilai modulus elastisitas adalah sebesar 10.6e6 lb/in2 dan luas penampang pada setiap batang adalah sebesar 1.56 in. Kordinat node 1 (0,0,3), node 2 (6,0,0), node 3 (0,0,-3) dan node 4 (0,6,0). Dari data yang didapatkan yang saya lakukan adalah mencari panjang, cos x, cos y, cos z pada setiap element batang. Oleh karena itu saya membuat class yang berbeda dengan class utama untuk menghitung keempat nilai tersebut.

Dari hasil yang sudah ditemukann, data nya kita input secara manual. Dan melakukan perhitungan dengan membuat class sesuai dengan soal yang diberikan dengan memanggil fungsi yang sama ketika mengerjakan soal quiz no.8

Fungsi yang dibuat adalah sebagai berikut :

1. Fungsi matrix setiap element berdasarkan data inisiasi data yang telah didapatkan

2. Dari data matrix element kemudian ditransformasi menjadi matrix global setiap element

3. Kemudian menjumlahkan setiap matrix global setiap elemen menjadi matrix global total

4. Menentukan kondisi batas yang terdapat pada soal

5. Mencari displacement dengan gauss jordan

Pertemuan Metode Numerik 6 : 14 Desember 2020

Pada pertemuan ini pak Dai meminta kami untuk muhasabah diri. Kami diminta untuk memberikan nilai pada diri kami sendiri terkait pemmahaman kami terhadap metode numerik. Kemudian beberapa teman kami dipanggil untuk ditanya terkait pemahaman kami terhadap metode numerik. Pemahaman tersebut termasuk pada perhitungan matematis kasus trusses dan juga coding yang dibuat

Pertemuan Metode Numerik 7 : 21 Desember 2020

Pada hari ini pak Dai memberikan pemaparan terkait tugas besar. Kemudian pak Dai memberi arahan kepada bu Candra untuk mengajari kami terkait optimisasi. Optimisasi adalah suatu cara untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum dari suatu permasalahan. Dalam optimisasi tersebut harus ada fungsi objektif dan ada konstrain/batasan/interval. Kemudian kami melakukan simulasi pengerjaan soal di buku chapra. berikut adalah soal beserta penyelesaian yang ada di buku

Pemodelan nya adalah sebagai berikut :

Hasil Simulasi

Tugas Besar Metode Numerik

Pada tugas besar kali ini kami semua diperintahkan untuk menemukan cost yang paling optimal dengan variasi luas penampang pada batang dan jenis material berdasarkan modulus elastisitas nya dari soal berikut :

dengan data yang sudah diberikan sebagai berikut

Constraint:

- Spesifikasi L (Panjang) dan geometri rangka truss

- Gaya beban terhadap struktur (1000 N dan 2000 N)

Untuk mengerjakan tugas besar ini saya menggunakan besi dengan profil siku mulai dari ukuran 20 x 20 dengan tebal 3 mm hingga siku berukuran paling besar dengan ukuran 75 x 75 dengan tebal 7 mm. Dari semua profil tersebut saya menghitung area menggunakan bantuan excel menggunakan sumber berikut http:.//www.pusatbesibaja.co.id/harga-besi-siku-profil-baja-distributor-pabrik-supplier-agen-jual-toko-produsen/

Setelah itu kita mencari sample harga dari siku tersebut sebanyak 6 jenis. Kemudian menetapkan suatu jenis material dengan modulud elastisitas tertentu, di kasus ini saya menggunakan material ASTM A36 dengan nilai modulus young sebesar 200 Gpa. Setelah itu yang dilakukan adalah mengisi harga per kg dari setiap siku tersebut menggunakan curve fitting, kemudian mencari total biaya yang diperlukan dan tegangan terbesar pada setiap ukuran batang menggunakan OpenModelica

Setelah di optimasi maka area yang paling optimal bernilai 0.000302996 mm2, luas penampang tersebut mendekati profil siku dengan ukutan 40 x 40 x 4 mm. Oleh karena itu data dari material berukuran tersebut akan dijadikan acuan dalam memvariasikan material melalui modulus elastisitas nya, disini saya menggunakan perbandingan material berjenis Stainless steel 304 dan 316 sebagai perbandingan dengan ASTM A36. Pada tabel area locked terdapat 3 jenis curve fitting yang berfungsi untuk mencari 3 variabel yaitu cost/kg, density dan yield dari setiap material.

Coding fungsi nya sama sperti yang diatas, dengan model sebagai berikut:

Setelah disusun datanya adalah sebagai berikut

Setelah dioptasi kembali maka modulus elastisitas yang paling optimal adalah senilai 1.90018e+11 Pa, modulus tersebut mendekati material SS400. Jadi dari tabel diatas dapat dilihat harga yang paling optimum untuk membuat truss dengan model tersebut adalah sekitar 281.674 ribu rupiah.

Jawaban UAS

Jawaban No.1 dan 2

Perintah dari soal no.1 adalah membuat urutan langkah-langkah (prosedur) pemodelan numerik untuk optimasi struktur tersebut. Kemudian , dilanjutkan ke soal no .2 yaitu menjelaskan tujuan dari pemodelan numerik soal no 1 diatas, beserta hukum/dalil (fisika) yang dipakai dan asumsi-asumsi yang akan digunakan dalam perhitungan. Jawaban nya adalah sebagai berikut :

Jawaban No. 3, 4, 5, 6 dan 7

Perintah dari soal no. 3 adalah membuat pemodelan numerik analisis struktur menggunakan pendekatan 1D truss dgn membagi kolum (tiang) water tower kedalam 3 elemen (1D). a). Susunlah persamaan aljabar kesetimbangan statik setiap elemen tsb. (matriks kesetimbangan lokal) b) Matriks kesetimbangan global. Jawaban saya dibuat bedasarkan referensi yang digunakan yaitu buku Saeed Moaveni Bab 4 tentang analysis of one dimensional problem.

Setelah itu lanjut ke soal no. 4 yaitu menyusun urutan langkah-langkah (pseudocode) perhitungan matriks kesetimbangan global soal no 3 termasuk pengecekan kesalahan (verifikasi) perhitungannya dan soal no. 5 menjelaskan fungsi objektif dan constraint untuk optimasi struktur water tower tersebut

Dari step step yang diberikan diatas, kami semua diperintahkan untuk membuat asumsi nilai-nilai parameter dan variable untuk menghitung displacement, restraint dan stress utk model struktur water tower dgn 3 elemnt 1 D diatas sebagai soal no. 6 dan dilanjutkan untuk membuat program menggunakan openmodelica anda untuk menghitung displacement, restraint dan stress utk model struktur water tower dgn 3 element 1 D berdasarkan asumsi no 6