John Audrick

John Audrick
Nama Lengkap	John Audrick
Nama Panggilan	John
NPM	1806201043
Tempat, tanggal lahir	Jakarta, 22 Februari 2000
Jurusan	Teknik Mesin 2018

Mengenal John Audrick

Saya adalah mahasiswa FTUI angkatan 2018 dari jurusan Teknik Mesin dan saya adalah salah satu ciptaan terbaik dari Tuhan Yang Maha Esa, karena pada prinsipnya Tuhan Yang Maha Esa itu mendesain manusia dengan sebaik-baiknya makhluk. Saya termotivasi untuk mengembangkan diri saya dengan sebaik-baiknya dan dapat menjadi berguna untuk masyarakat luas dan terutama untuk keluarga saya.

Materi yang telah dipelajari

Perkuliahan Metode Numerik yang telah di isi oleh Bapak Dr. Ir. Engkos A. Kosasih, M.T. Beberapa topik yang dibahas yaitu:

Pseudocode

Sistem Persamaan

Turunan Numerik

Metode Newton Rhapson, Secant, dan Bisection

Regresi Linear

Interpolasi

Setelah UTS, perkuliahan Metode Numerik diisi oleh Bapak Dr. Ir. Ahmad Indra Siswantara

Minggu 1 (11 November 2020)

- Metode numerik memiliki beberapa prinsip dasar seperti aljabar simultan, istiliah algoritma, istilah regresi, cuve fitting. persamaan diferensial, dan lain-lain.

- Kita harus bisa menerapkan pemahaman konsep didalam permodelan numerik. Permodelan numerik menyelesaikan masalah dengan metode numerik.

- Contohnya adalah kita mengerti persamaan aljabar simultan dan mampu menerapkan metode numerik dalam persoalan perteknikan.

Tujuan dari metode numerik adalah :

1. Memahami konsep dan prinsip dasar dalam metode numerik. contohnya adalah persamaan aljabar, agoritma, pencocokan kurva, persamaan diferensia, parsial, dan lain lain.

2. Mengerti aplikasi metode numerik.

3. Mampu Menerapkan metode numerik dalam persoalan teknik.

4. Mendapat nilai tambah/adab sehingga kita menjadi orang yang lebih beradab.

Pada dasarnya, manusia merupakan makhluk ciptaan Tuhan yang sangat baik. Komputer merupakan ciptaan manusia dan memiliki banyak kelebihan, seperti kemampuan menghitung yang cepat. Namun komputer memiliki limitasi hal ini diberikan contoh dengan membagi 1/10^-400 dimana komputer tidak dapat mengeluarkan hasil tapi kita mengetahui hasilnya 10^400. Namun manusiapun memiliki limitasinya juga hal ini juga dijelaskan dengan contoh 1/0 dimana tidak ada manusia yang tau, namun hanya Tuhan yang mengetahui jawaban tersebut. Hal ini membuktikan bahwa manusia hanya merupakan makhluk ciptaan Tuhan dan manusia tidak boleh sombong dengan apa yang diketahui, karena sesungguhnya hanya Tuhan yang merupakan sumber segala ilmu dan maha tahu.

Tugas Minggu 1

Pada minggu pertama ini saya mempelajari aplikasi Open Modelica melalui video berikut

https://www.youtube.com/watch?v=m0Ahs8fEN28

https://www.youtube.com/watch?v=esSMzMCFwbo

Hasil pembelajaran saya, diaplikasikan melalui video sebagai berikut

video saya :

Tugas Minggu 2

Untuk tugas pada minggu kedua, kami diminta untuk membuat program menggunakan suatu fungsi panggil, pada saat kelas menggunakan persamaan aljabar simultan dan variable array. Persamaan Aljabar Simultan adalah persamaan yang memiliki banyak variabel dan banyak persamaan. Variabel ini harus dicari nilainya. Variable array merupakan viarabel dengan bebereapa data nilai didalamnya. Pada tugas kali ini, saya menggunakan persamaan dengan 4 variabel dan 4 persamaan.

Minggu 3

Pada pertemuan pada minggu ketiga, kami dijelaskan tentang pseudocode gauss elimination secara manual. Saya membuat tugas 2 dengan fungsi yang sudah disediakan open modelica. Hal ini tidak sesuai dengan yang di harapkan. Pak Dai menginginkan kami bisa membuat pseudocode untuk gauss jordan secara mandiri tanpa menggunakan fungsi yang sudah disediakan dari OpenModelica. Pak Dai meminta Christo untuk menjelaskan pseudocode untuk gauss. Christo adalah salah seorang teman dari angkatan saya yang juga menggambil kelas metode numerik Pak Dai pada semester ini. Christo menjelaskan dengan baik pseudocode untuk gauss. Untuk minggu ketiga kami diminta mengerjakan soal truss dari example 3.1. berikut merupakan pseudocode yang saya usahakan.

Tugas Truss

class TrussPR
parameter Integer N=8; 
parameter Real A=0.001; 
parameter Real E=200*10e9; 
Real KG[N,N]; //ukuran matriks (global)
Real KGinitial[N,N]; 
Real Sol[N]; 
Real X[N]={0,0,-1035.2762,-3863.7033,0,0,-1035.2762,-3863.7033};
Real R[N]; 
Real SolMat[N,1];
Real XMat[N,1]; 
Real L1 = 1;
Real L2 = 1;
Real L3 = 1.6;
Real L4 = 1.25;
Real L5 = 1.6;
Real teta1 =degtorad(0);
Real teta2 =degtorad(0);
Real teta3 =degtorad(231.34);
Real teta4 =degtorad(270);
Real teta5 =degtorad(308.66); 
//boundary condition
Integer b1=1;
Integer b2=3;
//Truss 1
parameter Real X1=0; 
Real k1=A*E/1;
Real K1[4,4];
Integer p1a = 1;
Integer p1b = 2;
Real KG1[N,N]; 
//truss 2
parameter Real X2=0;
Real k2=A*E/1;
Real K2[4,4]; 
Integer p2a=2;
Integer p2b=3;
Real KG2[N,N]; 
//truss 3
parameter Real X3=90; 
Real k3=A*E/1.25;
Real K3[4,4]; 
Integer p3a=2;
Integer p3b=4;
Real KG3[N,N]; 
//truss 4
parameter Real X4=90+38.6598; 
Real k4=A*E/1.6;
Real K4[4,4]; 
Integer p4a=1;
Integer p4b=4;
Real KG4[N,N];
//truss 5
parameter Real X5=90-38.6598; 
Real k5=A*E/1.6;
Real K5[4,4]; 
Integer p5a=3;
Integer p5b=4;
Real KG5[N,N];
algorithm
//creating global matrice
K1:=Stiffness_Matrices(X1);
G1:=k1*Local_Global(K1,N,p1a,p1b); 
K2:=Stiffness_Matrices(X2);
G2:=k2*Local_Global(K2,N,p2a,p2b);
K3:=Stiffness_Matrices(X3);
G3:=k3*Local_Global(K3,N,p3a,p3b); 
K4:=Stiffness_Matrices(X4);
G4:=k4*Local_Global(K4,N,p4a,p4b);
K5:=Stiffness_Matrices(X5);
G5:=k5*Local_Global(K5,N,p5a,p5b);
KG:=KG1+KG2+KG3+KG4+KG5;
Ginitial:=G;
//implementing boundary condition
for i in 1:N loop
 G[2*b1-1,i]:=0;
 G[2*b1,i]:=0;
 G[2*b2-1,i]:=0;
 G[2*b2,i]:=0;
end for;
G[2*b1-1,2*b1-1]:=1;
G[2*b1,2*b1]:=1;
G[2*b2-1,2*b2-1]:=1;
G[2*b2,2*b2]:=1;
//solving displacement
Sol:=Gauss_Jordan(N,G,X);
//solving reaction force
SolMat:=matrix(Sol);
XMat:=matrix(X);
R:=Reaction_Trusses(N,Ginitial,SolMat,XMat); 
end TrussPR;

Stiffness Matricies

function Stiffness_Matrices

input Real A;
Real Y;
output Real X[4,4];
Real float_error = 10e-10;
protected
final constant Real pi=2*Modelica.Math.asin(1.0);

algorithm

Y:=A/180*pi;
   
X:=[(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y);

Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2;

-(Modelica.Math.cos(Y))^2,-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.cos(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y); 

-Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),-(Modelica.Math.sin(Y))^2,Modelica.Math.cos(Y)*Modelica.Math.sin(Y),(Modelica.Math.sin(Y))^2];

for i in 1:4 loop
 for j in 1:4 loop
   if abs(X[i,j]) <= float_error then
     X[i,j] := 0;
   end if;
 end for;
end for;

end Stiffness_Matrices;

Local Global

function Local_Global

input Real Y[4,4];
input Integer M;
input Integer p1;
input Integer p2;
output Real G[M,M];

algorithm

for i in 1:M loop
 for j in 1:M loop
     G[i,j]:=0;
 end for;
end for;

G[2*p1,2*p1]:=Y[2,2];
G[2*p1-1,2*p1-1]:=Y[1,1];
G[2*p1,2*p1-1]:=Y[2,1];
G[2*p1-1,2*p1]:=Y[1,2];

G[2*p2,2*p2]:=Y[4,4];
G[2*p2-1,2*p2-1]:=Y[3,3];
G[2*p2,2*p2-1]:=Y[4,3];
G[2*p2-1,2*p2]:=Y[3,4];

G[2*p2,2*p1]:=Y[4,2];
G[2*p2-1,2*p1-1]:=Y[3,1];
G[2*p2,2*p1-1]:=Y[4,1];
G[2*p2-1,2*p1]:=Y[3,2];

end Local_Global;

Reaction Trusses

function Reaction_Trusses

input Integer N;
input Real A[N,N];
input Real B[N,1];
input Real C[N,1];
Real X[N,1];
output Real Sol[N];
Real float_error = 10e-10;

algorithm
X:=A*B-C;

for i in 1:N loop
 if abs(X[i,1]) <= float_error then
   X[i,1] := 0;
 end if;
end for;

for i in 1:N loop
 Sol[i]:=X[i,1];
end for;

end Reaction_Trusses;

Gauss Jordan

function GJ

 input Integer N;
 input Real A[N,N];
 input Real B[N];
 output Real X[N];
protected

 Real float_error = 10e-10;

algorithm
 X:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B);

 for i in 1:N loop
  if abs(X[i]) <= float_error then
    X[i] := 0;
  end if;
 end for;

end GJ;

Membuat Diagram Class dan Flowchart untuk tugas coding pada minggu ketiga dari Josiah Enrico

1. Membuat Parameter yang berlaku pada kondisi tersebut.

2. Menentukan bentuk matriks

3. memasukan gaya pada x dan y

4. membuat boundary

Tugas Minggu ke 4

Matrix Global

function BoundaryStiffnessMatrixGlobal
 input Integer x;
 input Integer z;
 input Real [x,x] KgTot_met;
 input Integer[z] Boundary_met;
 output Real [x,x] KgB_met;
 
algorithm
 for a in 1:x loop
   for b in 1:x loop
    KgB_met[a,b] := KgTot_met [a,b];
   end for;
  end for; 
 
 for i in 1:x loop
  for a in 1:z loop
   for b in 0:2 loop
     KgB_met[3*(Boundary_met[a])-b,i]:=0;
   end for;
  end for;
 end for;

 for a in 1:z loop
   for b in 0:2 loop
     KgB_met[3*Boundary_met[a]-b,3*Boundary_met[a]-b]:=1;
   end for;
 end for;

function f_obj3
import Modelica.Math;
input Real x;
input Real y;

algorithm
y := 2*Math.sin(x)-x^2/10;
end f_obj3;

Eliminasi Gauss Jordan

function GaussJordan
 input Integer x;
 input Real [x,x] KgB_met;
 input Real [x] load_met;
 output Real [x] U_met;
 
 protected
 Real float_error = 10e-10;

algorithm
 U_met:=Modelica.Math.Matrices.solve(KgB_met,load_met);

 for i in 1:x loop
   if abs(U_met[i]) <= float_error then
    U_met[i] := 0;
   end if;
 end for;

end GaussJordan;

end BoundaryStiffnessMatrixGlobal;

Reaction Force

function ReactionForce
 input Integer x;
 input Real [x,x] KgTot_met;
 input Real [x] U_met;
 input Real [x] load_met;
 output Real [x] R_met;

algorithm
 R_met := (KgTot_met*U_met)-load_met;
end ReactionForce;

Stiffness Matrix Element

function StiffnessMatrixElement

 input Real [:,9] inisiasi_mat;
 output Real [size(inisiasi_mat,1),6,6] Ke_mat;

 protected
   Real cos_x;
   Real cos_y;
   Real cos_z;
   Real [6] StiffTrig;
   Real [6,6] StiffTrans;
   Real [size(inisiasi_mat,1)] k_vec;

algorithm
 k_vec := {(inisiasi_mat[i,7] * inisiasi_mat[i,8] / inisiasi_mat[i,9]) for i in 1:size(inisiasi_mat,1)};

 // Finding stiffness matrix of each element member
 for i in 1:size(inisiasi_mat,1) loop

 // Clearing the matrices
 StiffTrig := zeros(6);
 StiffTrans := zeros(6,6);
 
 // Converting degrees to radians
 cos_x := inisiasi_mat[i,4];
 cos_y := inisiasi_mat[i,5];
 cos_z := inisiasi_mat[i,6];

 // {cos^2, sin^2, sincos}
 StiffTrig := {(cos_x)^2,
               (cos_y)^2,
               (cos_z)^2,
               (cos_x*cos_y),
               (cos_x*cos_z),
               (cos_y*cos_z)};
 
 // Construct stiffness transformation matrix
 StiffTrans := [  StiffTrig[1],    StiffTrig[4],    StiffTrig[5], -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[5];
                  StiffTrig[4],    StiffTrig[2],    StiffTrig[6], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[2], -1*StiffTrig[6];
                  StiffTrig[5],    StiffTrig[6],    StiffTrig[3], -1*StiffTrig[5], -1*StiffTrig[6], -1*StiffTrig[3];
               -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[5],    StiffTrig[1],    StiffTrig[4],    StiffTrig[5];
               -1*StiffTrig[4], -1*StiffTrig[2], -1*StiffTrig[6],    StiffTrig[4],    StiffTrig[2],    StiffTrig[6];
               -1*StiffTrig[5], -1*StiffTrig[6], -1*StiffTrig[3],    StiffTrig[5],    StiffTrig[6],    StiffTrig[3]];
               
 // Multiply in stiffness constant of element, add final stiffness matrix to Ke_mat
 for m in 1:6 loop
   for n in 1:6 loop
     Ke_mat[i,m,n] := k_vec[i] * StiffTrans[m,n];
   end for;
 end for;

end for;
end StiffnessMatrixElement;

Stiffness matrix global

function StiffnessMatrixGlobal
 input Integer [:,2] n;
 input Integer x;
 input Integer y;
 input Real [y,6,6] Ke_mat; 
 output Real [y,x,x] Kg_mat;
 
algorithm
 for i in 1:y loop
   for a in 1:x loop
     for b in 1:x loop
       Kg_mat[i,a,b]:=0;
     end for;
   end for;
  end for;

 for i in 1:y loop
   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,3,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,3,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,3,1];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,2,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,2,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,2,1];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,1,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,1,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,1,1];

   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,6,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,6,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,6,4];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,5,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,5,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,5,4];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,4,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,4,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,4,4];

   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,6,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,6,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,2],3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,6,1];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,5,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,5,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-1,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,5,1];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]]:=Ke_mat[i,4,3];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,4,2];
   Kg_mat[i,3*n[i,2]-2,3*n[i,1]-2]:=Ke_mat[i,4,1];

   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,3,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,3,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,1],3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,3,4];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,2,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,2,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-1,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,2,4];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]]:=Ke_mat[i,1,6];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,1,5];
   Kg_mat[i,3*n[i,1]-2,3*n[i,2]-2]:=Ke_mat[i,1,4];
 end for;
end StiffnessMatrixGlobal;

Sum Stiffness Global

function SumStiffnessMatrixGlobal
 input Integer x;
 input Integer y;
 input Real [y,x,x] Kg_mat;
 output Real [x,x] KgTot_mat;
 
algorithm
  for a in 1:x loop
   for b in 1:x loop
     KgTot_mat[a,b] := sum(Kg_mat [:,a,b]);
    end for;
   end for;

end SumStiffnessMatrixGlobal;

Minggu Ke 5

Pada minggu ke 5 ini, pada minggu kelima adalah kelas pengganti. Pak Dai meminta kita membuat muhasabah dan melakukan penilaian terhadap diri sendiri terhadap kemampuan kita. Kami mengisi nilai yang kami rasa pantas untuk kami dapatkan sesuai dengan kemampuan kita. Selain itu kami juga harus bisa menjelaskan apa saja yang telah kami pelajaran sebagai bukti dari ilmu yang telah kita kuasai.

Minggu ke 6

Pada minggu ke 6 ,kami mempelajari tentang optimasi. Bu Chandra menjelaskan tentang materi ini, penjelasan Bu Chandra mengenai kasus optimasi serta pseudocode dari kasus tersebut. Optimasi merupakan sebuah proses mencari nilai paling efisien dari suatu sistem. Berikut adalah Pseudocode dari Open Modelica

Fungsi Object

function FungsiObjek

input Real x;
output Real y;

algorithm

y:= 2*Modelica.Math.sin(x)-x^2/10;

end FungsiObjek; 

fungsi ini merupakan fungsi panggil.

GoldenMethod.mo
model GoldenMethod

parameter Integer n = 8;
Real x1[n];
Real x2[n];
Real xup;
Real xlow;
Real f1[n];
Real f2[n];
Real xopt;
Real yopt;
Real d; 

algorithm
xup := 4;
xlow := 0; 

for i in 1:n loop
 d:=((5^(1/2)-1)/2) * (xup-xlow);
 x1[i] := xlow+d;
 x2[i] := xup-d;
 f1[i] := FungsiObjek(x1[i]);
 f2[i] := FungsiObjek(x2[i]);

 if f1[i]>f2[i] then
   xup := xup;
   xlow := x2[i];
   xopt := xup;
   yopt := f1[i];
   else
     xlow :=xlow;
     xup := x1[i];
     xopt := xup;
 end if;
end for;
end GoldenMethod;

Model ini menggunakan fungsi untuk memanggil model yang sudah ada.

Minggu 7

Pada Minggu ke 7 dilaksanakan kuis. Pada kuis ini kami diminta untuk membuat defleksi dari tugas besar yang diberikan. Berikut merupakan Pseudocodenya

class KuisMetnum

//Urutan Penulisan: [Truss, Node 1, Node 2, Cx, Cy, Cz, A, E, L]
parameter Real [:,9] inisiasi = [ 1,  1,  2,    0,    1,    0,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                  2,  2,  3,    1,    0,    0,  9e-4, 190e9,  0.6;
                                  3,  3,  4,    0,   -1,    0,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                  4,  1,  4,    1,    0,    0,  9e-4, 190e9,  0.6;
                                  5,  5,  6,    0,    1,    0,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                  6,  6,  7,    1,    0,    0,  9e-4, 190e9,  0.6;
                                  7,  7,  8,    0,   -1,    0,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                  8,  5,  8,    1,    0,    0,  9e-4, 190e9,  0.6;
                                  9,  9, 10,    0,    1,    0,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                 10, 10, 11,    1,    0,    0,  9e-4, 190e9,  0.6;
                                 11, 11, 12,    0,   -1,    0,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                 12,  9, 12,    1,    0,    0,  9e-4, 190e9,  0.6;
                                 13,  1,  5,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                 14,  2,  6,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                 15,  3,  7,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                 16,  4,  8,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                 17,  5,  9,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                 18,  6, 10,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                 19,  7, 11,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                 20,  8, 12,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9, 0.75;
                                 21,  9, 13,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9,  0.3;
                                 22, 10, 14,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9,  0.3;
                                 23, 11, 15,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9,  0.3;
                                 24, 12, 16,    0,    0,    1,  9e-4, 190e9,  0.3];
                                 
parameter Integer [:,2] node = [ 1,  2;
                                 2,  3;
                                 3,  4;
                                 1,  4;
                                 5,  6;
                                 6,  7;
                                 7,  8;
                                 5,  8;
                                 9, 10;
                                10, 11;
                                11, 12;
                                 9, 12;
                                 1,  5;
                                 2,  6;
                                 3,  7;
                                 4,  8;
                                 5,  9;
                                 6, 10;
                                 7, 11;
                                 8, 12;
                                 9, 13;
                                10, 14;
                                11, 15;
                                12, 16];
                                
parameter Integer y = size(node,1);

parameter Integer x = 3*(size(node_load,1));

parameter Integer z = size(Boundary,1);

parameter Integer [:] Boundary = {13,14,15,16};
                             
parameter Real [:,4] node_load = [ 1, 0,  1000, 0;
                                   2, 0,  1000, 0;
                                   3, 0,   500, 0;
                                   4, 0,   500, 0;
                                   5, 0,     0, 0;
                                   6, 0,     0, 0;
                                   7, 0,     0, 0;
                                   8, 0,     0, 0;
                                   9, 0,     0, 0;
                                  10, 0,     0, 0;
                                  11, 0,     0, 0;
                                  12, 0,     0, 0;
                                  13, 0,     0, 0;
                                  14, 0,     0, 0;
                                  15, 0,     0, 0;
                                  16, 0,     0, 0];
                                  
parameter Real [x] load = {0, 1000, 0, 
                           0, 1000, 0, 
                           0,  500, 0,
                           0,  500, 0,
                           0,    0, 0,
                           0,    0, 0,
                           0,    0, 0,
                           0,    0, 0,
                           0,    0, 0,
                           0,    0, 0,
                           0,    0, 0,
                           0,    0, 0,
                           0,    0, 0,
                           0,    0, 0,
                           0,    0, 0, 
                           0,    0, 0};                                  
Real [y] k;
Real [y,6,6] Ke; 
Real [y,x,x] Kg; 
Real [x,x] KgTot;
Real [x,x] KgB;
Real [x] U;
Real [x] R;

equation

k = {(inisiasi[i,7] * inisiasi[i,8] / inisiasi[i,9]) for i in 1:y};

Ke = MatriksKekakuanElemen(inisiasi);

Kg = MatriksKekakuanGlobal(node, x, y, Ke);

KgTot = MatriksTotalKekakuanGlobal(x, y, Kg);

KgB = MatriksKekakuanGlobalDenganBoundary(x, z, KgTot, Boundary);

U = FungsiGaussJordan(x, KgB, load);

R = FungsiReactionForce(x, KgTot, U, load);

end KuisMetnum;

Tugas Besar Metode Numerik

Pada tugas besar kami, diminta mendesign rangka seperti pada gambar tersebut.

Parameter pada rangka batang adalah:

0.6mx0.75mx1.8m (pxlxt)

F1=2000N

F2=1000N

Tugas besar ini memiliki tujuan untuk mengoptimasi pembuatan rangka dengan pemilihan material serta penentuan luas truss. Hal yang kami perhatikan dalam tugas ini adalah: Menentukan material, menentukan luas penampang truss, mencari nilai displacement, reaction, dan streess, menghitung total biaya yang dibutuhkan, melakukan perbandingan dengan material berbeda.

Dalam proses pengoptimalan rangka, terdapat dua metode:

1. Memvariasikan luas dengan material yang sama

2. Luas material truss yang digunakan sama namun material dibedakan

Reaction pada truss

Displacement pada truss

Stress pada truss

Metode material tetap, luas variasi

Jenis material merupakan ss201 serta mechanical propertiesnya

Dengan metode curve fitting didapatkan

Setelah optimasi, mendapatkan hasil :

Metode Luas tetap, material variasi

Data area truss

Variasi material

Perhitungan area locked

Setelah dilakukan proses optimasi didapatkan sebagai berikut

Program open modelica

model TugasBesarMetnum
//define initial variable
parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points
parameter Integer Trusses=size(C,1); //Number of Trusses
parameter Real Yield=292e6; //Yield Strength (Pa)
parameter Real Area=0.000171;   //Area L Profile (Dimension=0.03, Thickness=0,003) (m2)
parameter Real Elas=197e9;     //Elasticity SS 201  (Pa)
//define connection
parameter Integer C[:,2]=[1,5; 
                         2,6;
                         3,7;
                         4,8;
                         5,6;  //1st floor
                         6,7;  //1st floor
                         7,8;  //1st floor
                         5,8;  //1st floor
                         5,9;
                        6,10;
                        7,11;
                        8,12;
                        9,10; //2nd floor
                        10,11;//2nd floor 
                        11,12;//2nd floor
                         9,12; //2nd floor
                         9,13;
                        10,14;
                        11,15;
                        12,16;
                        13,14;//3rd floor
                        14,15;//3rd floor
                        15,16;//3rd floor
                       13,16];//3rd floor
                                                             
//define coordinates (please put orderly)
parameter Real P[:,6]=[-0.6,0,0,1,1,1;//1
                        0,0,0,1,1,1;//2
                        0,0.75,0,1,1,1;//3
                     -0.6,0.75,0,1,1,1;//4
                     -0.6,0,0.6,0,0,0;//5
                        0,0,0.6,0,0,0;//6
                        0,0.75,0.6,0,0,0;//7
                     -0.6,0.75,0.6,0,0,0;//8
                     -0.6,0,1.2,0,0,0;//9
                        0,0,1.2,0,0,0;//10  
                        0,0.75,1.2,0,0,0;//11
                     -0.6,0.75,1.2,0,0,0;//12
                     -0.6,0,1.8,0,0,0;//13
                        0,0,1.8,0,0,0;//14
                        0,0.75,1.8,0,0,0;//15
                     -0.6,0.75,1.8,0,0,0];//16
                         
//define external force (please put orderly)
parameter Real F[Points*3]={0,0,0,
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,0, 
                           0,0,-500, 
                           0,0,-1000, 
                           0,0,-1000, 
                           0,0,-500}; 

//solution
Real displacement[N], reaction[N];
Real check[3];

Real stress1[Trusses];
Real safety[Trusses];
Real dis[3];
Real Str[3];

protected
parameter Integer N=3*Points;
Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3];
Real err=10e-10, ers=10e-4;

algorithm
//Creating Global Matrix
G:=id;
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
 q1[j]:=P[C[i,1],j];
 q2[j]:=P[C[i,2],j];
end for;
     
  //Solving Matrix
  L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
  cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
  cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
  cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
  X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                    cy*cx,cy^2,cy*cz;
                    cz*cx,cz*cy,cz^2];

  //Transforming to global matrix
  g:=zeros(N,N); 
  for m,n in 1:3 loop
    g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
    g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
    g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
    g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
  end for;  

G_star:=G+g;
G:=G_star;
end for;

//Implementing boundary
for x in 1:Points loop
if P[x,4] <> 0 then
  for a in 1:Points*3 loop
    G[(x*3)-2,a]:=0;
    G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
  end for;
end if;
if P[x,5] <> 0 then
  for a in 1:Points*3 loop
    G[(x*3)-1,a]:=0;
    G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
  end for;
end if;
if P[x,6] <> 0 then
  for a in 1:Points*3 loop
    G[x*3,a]:=0;
    G[x*3,x*3]:=1;
  end for;
end if;
end for;

//Solving displacement
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);

//Solving reaction
reaction:=(G_star*displacement)-F;

//Eliminating float error
for i in 1:N loop
 reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
end for;

//Checking Force
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))});
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))});
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)});
 
for i in 1:3 loop
check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
end for;

//Calculating stress in each truss
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
 q1[j]:=P[C[i,1],j];
 q2[j]:=P[C[i,2],j];
 dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
end for;
     
  //Solving Matrix
  L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
  cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
  cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
  cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
  X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
               cy*cx,cy^2,cy*cz;
               cz*cx,cz*cy,cz^2];
  
  Str:=(X*dis);
  stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
end for;

//Safety factor
for i in 1:Trusses loop
if stress1[i]>0 then
  safety[i]:=Yield/stress1[i];
else
  safety[i]:=0;
end if; 
end for;

end TugasBesarMetnum;

Program untuk optimasi

model Opt_Gold

 parameter Real[3] y={-514.235, 0.411445, 7.19807E-06};
 parameter Real xlo=87.0E-6;
 parameter Real xhi=475.0E-6; 
 parameter Integer N=12; // maximum iteration
 parameter Real es=0.0001; // maximum error
 Real f1[N], f2[N], x1[N], x2[N], ea[N];
 Real xopt, fx;
protected
 Real d, xl, xu, xint, R=(5^(1/2)-1)/2;
algorithm
 xl := xlo; 
 xu := xhi; 
for i in 1:N loop
 d:= R*(xu-xl);
 x1[i]:=xl+d;
 x2[i]:=xu-d;
 f1[i]:=y[1]*x1[i]^2+y[2]*x1[i]+y[3];
 f2[i]:=y[1]*x2[i]^2+y[2]*x2[i]+y[3];
 xint:=xu-xl; 
 if f1[i]>f2[i] then
   xl:=x2[i];
   xopt:=x1[i];
   fx:=f1[i];
   else
     xu:=x1[i];
     xopt:=x2[i];
     fx:=f2[i];
 end if; 
ea[i]:=(1-R)*abs((xint)/xopt);
if ea[i]<es then
  break;
end if;
end for;

end Opt_Gold;

Curve Fitting

model coba_curve_fitting
parameter Real X[4]={0.000039, 0.00001968, 0.000475, 0.000384};
parameter Real Y[4]={7955, 8000, 7800, 7750};
Real Coe[3]; 
algorithm
Coe:=Curve_Fitting(X,Y,2);
end coba_curve_fitting;

function Curve_Fitting
input Real X[:];
input Real Y[size(X,1)];
input Integer order=2;
output Real Coe[order+1];
protected
Real Z[size(X,1),order+1];
Real ZTr[order+1,size(X,1)];
Real A[order+1,order+1];
Real B[order+1];

algorithm

for i in 1:size(X,1) loop
 for j in 1:(order+1) loop
 Z[i,j]:=X[i]^(order+1-j);
 end for;
end for;
ZTr:=transpose(Z);

A:=ZTr*Z;
B:=ZTr*Y;
Coe:=Modelica.Math.Matrices.solve(A,B);

end Curve_Fitting;

UAS Metode Numerik

Coding untuk nomor 7

model JawabanUAS
//define initial variable
parameter Integer Points=size(P,1); //Number of Points
parameter Integer Trusses=size(C,1); //Number of Trusses
parameter Real Yield=292e6; //Yield Strength (Pa)
parameter Real Area=25;   //Area L Profile (Dimension=0.03, Thickness=0,003) (m2)
parameter Real Elas=197e9;     //Elasticity SS 201  (Pa)

//define connection
parameter Integer C[:,2]=[1,2; 
                         1,3;
                         1,4];
                                                             
//define coordinates (please put orderly)
parameter Real P[:,6]=[  0,   0,  0,0,0,0;     //1
                      6.5,6.5,  36.5,1,1,1;     //2
                      6.5,6.5,  36.5,1,1,1;     //3
                      6.5,6.5,  36.5,1,1,1];     //4
                         
//define external force (please put orderly)
parameter Real F[Points * 3] = {0,0,0,0,3708180,0,0,3708180,0,0,3708180,0};

//solution
Real displacement[N], reaction[N];
Real check[3];

Real stress1[Trusses];
Real safety[Trusses];
Real dis[3];
Real Str[3];

protected
parameter Integer N=3*Points;
Real q1[3], q2[3], g[N,N], G[N,N], G_star[N,N], id[N,N]=identity(N), cx, cy, cz, L, X[3,3];
Real err=10e-10, ers=10e-4;

algorithm
//Creating Global Matrix
G:=id;
for i in 1:Trusses loop
 for j in 1:3 loop
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
 end for;
      
   //Solving Matrix
   L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
   cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
   cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
   cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
   X:=(Area*Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                     cy*cx,cy^2,cy*cz;
                     cz*cx,cz*cy,cz^2]; 

  //Transforming to global matrix
  g:=zeros(N,N); 
  for m,n in 1:3 loop
    g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=X[m,n];
    g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=X[m,n];
    g[3*(C[i,2]-1)+m,3*(C[i,1]-1)+n]:=-X[m,n];
    g[3*(C[i,1]-1)+m,3*(C[i,2]-1)+n]:=-X[m,n];
  end for;  

 G_star:=G+g;
 G:=G_star;
end for;

//Implementing boundary
for x in 1:Points loop
 if P[x,4] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[(x*3)-2,a]:=0;
     G[(x*3)-2,(x*3)-2]:=1;
   end for;
 end if;
 if P[x,5] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[(x*3)-1,a]:=0;
     G[(x*3)-1,(x*3)-1]:=1;
   end for;
 end if;
 if P[x,6] <> 0 then
   for a in 1:Points*3 loop
     G[x*3,a]:=0;
     G[x*3,x*3]:=1;
   end for;
 end if;
end for; 

//Solving displacement
displacement:=Modelica.Math.Matrices.solve(G,F);

//Solving reaction
reaction:=(G_star*displacement)-F;

//Eliminating float error
for i in 1:N loop
 reaction[i]:=if abs(reaction[i])<=err then 0 else reaction[i];
 displacement[i]:=if abs(displacement[i])<=err then 0 else displacement[i];
end for;

//Checking Force
check[1]:=sum({reaction[i] for i in (1:3:(N-2))})+sum({F[i] for i in (1:3:(N-2))});
check[2]:=sum({reaction[i] for i in (2:3:(N-1))})+sum({F[i] for i in (2:3:(N-1))});
check[3]:=sum({reaction[i] for i in (3:3:N)})+sum({F[i] for i in (3:3:N)});
  
for i in 1:3 loop
 check[i] := if abs(check[i])<=ers then 0 else check[i];
end for; 

//Calculating stress in each truss
for i in 1:Trusses loop
for j in 1:3 loop
  q1[j]:=P[C[i,1],j];
  q2[j]:=P[C[i,2],j];
  dis[j]:=abs(displacement[3*(C[i,1]-1)+j]-displacement[3*(C[i,2]-1)+j]);
end for;
      
   //Solving Matrix
   L:=Modelica.Math.Vectors.length(q2-q1);
   cx:=(q2[1]-q1[1])/L;
   cy:=(q2[2]-q1[2])/L;
   cz:=(q2[3]-q1[3])/L; 
   X:=(Elas/L)*[cx^2,cx*cy,cx*cz;
                cy*cx,cy^2,cy*cz;
                cz*cx,cz*cy,cz^2];
  
   Str:=(X*dis);
   stress1[i]:=Modelica.Math.Vectors.length(Str);
end for;

//Safety factor
for i in 1:Trusses loop
 if stress1[i]>0 then
   safety[i]:=Yield/stress1[i];
 else
   safety[i]:=0;
 end if; 
end for;

end JawabanUAS;