Metnum03-Christian Emanuel Kefi

BIODATA DIRI

Christian Emanuel Kefi.S1 Teknik Mesin Ekstensi 2019.Universitas Indonesia

Nama : Christian Emanuel Kefi

NPM  : 1906435460

Pendidikan Terakhir : Diploma III

Pertemuan Sebelum UTS

Pada pertemuan sebelum UTS ada 4 materi utama yang dipelajari, antara lain :

1. Kesalahan Pembulatan, Deret Taylor dan Derer Mclaurin

Kesalahan pebulatan atau truncation errors, misalnya dalam duatu penyelesaian fungsi biasanya diambil pendekatan dengan angka penting terkecil, sehingga terjadi perbedaan antara nilai pembulatan dengan nilai sebenarnya. Nilai sebenarnya tidak terhingga, sehingga digunakan deret Taylor untuk menyelesaikan suatu fungsi tersebut. Deret Taylor menentukan pendekatan suatu fungsi secara polynomial sehingga deretnya tidak terbatas.

Berikut adalah formula dari deret Taylor :

deret Taylor

Dimana Rn adalah sisa.

Sementara deret Mac Laurin merupakan khasus khusus dari deret Taylor dimana menggunakan fungsi ekspansi c=0

Salah satu contohya mencari deret Mac Lurin untuk sin (x) :

2. Roots of Equation

Dalam pelajaran ini mencari akar-akar dari suatu polynomial dengan metode-metode sebagai berikut : Bracketing Method (Closed Method) dan Open Method

Bracketing method : Metode mencari akar-akar dari suatu polynomial dengan menetapakn batasan dan mencari nilai erornya. Metode-metode pada closed method ini antara lain :

- Graphical method : menggunakan grafik untuk mencari akar-akar. Dilakukan dengan cara meng-ploting / memasukan angka pada suatu polynomial sehingga terbentuk grafik.

- Bisection Method : merupakan metode dimana menggunakan batasan atas bawah dan dilakukan secara incremental untuk mempersempit error.

- False – position Method : metode ini mirip dengan Bisection method, yang membedakan adalah cara menentukan titik tengahnya.

Open Method :

Merupakan metode dimana hanya menggunakan 1 titik pendekatan untuk menentukan akar-akar sebenarnya :

- Newton Raphson Method : Metode ini menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Slop atau gradien didapatkan dengan melakukan turunan dari fungsi tersebut. Persamaan untuk Newton-Raphson adalah sebagai berikut:

- Secant Method : Metode ini digunakan jika f”(Xi) sulit didapatkan sehingga digunakan rumus sebagai berikut :

3. Regresi Linier dan Interpolasi

Regresi linear adalah sebuah pendekatan untuk memodelkan hubungan antara variable terikat Y dan satu atau lebih variable bebas yang disebut X. Salah satu kegunaan dari regresi linear adalah untuk melakukan prediksi berdasarkan data-data yang telah dimiliki sebelumnya. Hubungan di antara variable-variabel tersebut disebut sebagai model regresi linear.

4. Turunan Numerik

Diajarkan cara untuk menentukan nilai pendekatan turunan suatu fungsi yang diberikan dalam bentuk tabel. Pendekatan dilakukan dengan 3 cara (forward, backward & centre)

Pertemuan 1 : Senin,9 November 2020

Pada pertemuan kali ini mereview pembelajaran sebelum UTS dan meberikan 4 indikator dalam pembelajaran yang pertama mengetahui apa yang dipelajari, yang kedua paham konsep pembelajaran yang sudah dipelajari atau diketahui tersebut, ketiga pengaplikasian dari suatu materi/konsep yang sudah dipelajari, keempat mengenali diri/ menilai diri sendiri dalam pengaplikasian yang sudah dipelajari.

Selain itu pertemuan ini disertai pemberian tugas untuk mencoba membuat program pada aplikasi openmodelica. link dibawah menghubungkan dengan video tugas tersebut.

Tugas 1 : Muller's method menggunakan Openmodelica

https://www.youtube.com/watch?v=tKEca_-MpMI

Dalam metode ini menggunakan 3 titik tebakan yang nantinya akan dimasukan kedalam persamaan kuadrat untuk mendapatkan hasil yaitu sebuah titik potong dari sebuah garis polinomial dan garis sumbu-x. Titik tersebut merupakan pendekatan untuk menemukan akar-akar dari suatu polinomial. semakin banyak iterasi yang dilakukan semakin dekat hasil perhitungan yang dilakukan dengan akar yang sebenarnya. Gambar berikut menunjukan contoh dari program perhitungan yang menjawab suatu persoalan menemukan akar-akar dari suatu polinommial :

Contoh Program Mencari Akar Polinomial

Parameter digambar itu merupakan nilai yang diketahui atau yang nantinya akan diinput, dan nilai real adalah nilai yang ada dalam perhitungan baik yang diketahui maupun yang akan dicari.

Pertemuan 2 : Senin,16 November 2020

Pada pertemuan kali ini dilakukan penilaian terhadap PR pertama, yaitu mempelajari aplikasi openmodelica. Dari tugas tersebut saya membahas tentang Muller methods seperti yang tertera diatas.

1) Dalam pertemuan ini juga diberikan tugas membuat permodelan sederhana yaitu menjumlahkan angka 10 terhadap suatu variabel.

2) Selain itu juga membuat persamaan untuk mencari nilai rata-rata dari suatu data tertentu.

Program dari mencari nilai rata-rata

Hasil rata-rata

3) Selanjutnya dilakukan percobaan menbuat function class dari class pada no.1. contohnya sebagai berikut :

Tugas 2 : Class type function - untuk menyelesaikan persamaan aljabar simultan

Persamaan aljabar simultan adalah persamaan aljabar yang mempunyai lebih dari satu persamaan dan diselesaikan secara simultan. Pada umumnya, jenis persamaan aljabar simultan dapat diselesaikan dengan metode grafik, metode subtitusi, metode eliminasi gauss, dan metode cramer.

Pada percobaan pertama menggunakan metode class function pada open modelica dengan contoh soal sebagai berikut :

x1 + 2.x3 = 6

-3.x1 + 4.x2 + 6.x3 = 30

-x1 - 2.x2 + 3.x3 = 8

dengan contoh program function dan class sebagai berikut :

program function

program class

Dan hasil percobaan sebagai berikut

hasil

Pertemuan 3 : Senin,23 November 2020

Pada pertemuan ketiga ini dijelaskan tentang masalah teknik berupa sistem pegas-masa yang terdapat pada contoh 12.11 pada buku metode numerik.

spring mass system dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan dari hukum Hooke. dimana variable yang digunakan sebagai berikut :

m = massa benda (kg)

k = konstanta pegas

x = Jarak perpindahan (m)

Fd-Fu = force up dan force down = merupakan force balance (zigma F)

pembagian gaya yang bekerja pada setiaap komponen

Dari gambar diatas dapat disimpulkan gaya yang bekerja pada setiap komponen diatas adalah :

1) Benda 1

 kx1 = 2k(x2-x1) + m1g  ----> 3kx1-2kx2=m1g

2) Benda 2

 2k(x2-x1)=m2g+k(x3-x2))  -----> -2kx1 + 3kx2 - kx3 = m2g

3) Benda 3

 k(x3-x2) = m3g

Untuk mencari nilai dari x digunakan persamaan sebagai berikut:

Dengan persamaan tersebut dimasukan nilai k=10 kg/s^2, dan m1 = 2 kg, m2 = 3 kg, dan m3 = 2,5 kg didapatkan hasil sebagai berikut :

Dengan menggunakan aplikasi open modelica didapatkan nilai dari x1, x2, x3 dengan langkah-langkah sebagai berikut :

function

class

hasil x1, x2, x3

Tugas 3 : Beam

Pada tugas kali ini mencari gaya reaksi dan defleksi pada setiap titik dari beam dibawah gaya tekan seperti dibawah ini :

Semua kerangka beam terbuat dari kayu yang memiliki modulus elastisitas E = 1,9 x 10^6 lb/in dan A = 8 in^2

untuk mencari defleksi dan gaya reaksi hal yang dilakukan adalah :

1) Melakukan analisis node i, j, dan sudut dari setiap element

2) Mencari nilai kekakuan dari setiap element

 - Elemen 1,3,4,6 memiliki kekakuan yang sama karena memiliki A, E, dan L yang sama

 - Elemen 2, dan 5 memiliki kekakuan yang sama

3) membuat persamaan elemen-elemen

4) Dari no 3 didapatkan matriks dari individual elemen matrix, pada tahap ini dilakukan penggabungan terhadap semua individual elemen matrix

dan disederhanakan menjadi sebagai berikut :

5) Dari data yang didapatkan dari buku didapatkan matriks 10 x 10 :

karena nilai dari U1x, U1y, U3x, dan U3y = 0 , maka matriks dapat disederhanakan menjadi bentuk 6 x 6

Apabila dikerjakan dengan matrix pada open modelica hasilnya sebagai berikut :

Pertemuan 4 : Senin,30 November 2020

Pertemuan ini diisi oleh pak Ahmad Indra diawali dengan menjelaskan tentang struktur statik dan struktur dinamik, dimana struktur static merupakan sistem yang bersifat tetap atau tidak berubah bedasarkan waktu sementara sistem dinamik adalah struktur yang memiliki fungsi waktu. dalam pertemuan ini juga diberikan kuis 2 nomor struktur 2 dimansi dan 3 dimensi.

QUIZ Metnum 1

Langkah-langkah dan hasil quis no.4

Berikut adalah coding untuk no 4

1. Class Quis1 no.4

class Quiz_No_4_Kv //Diketahui = [ elemen#, theta, A, E, L] parameter Real [:,5] inisiasi = [1, 0, 10e-4, 200e9, 1.00; 2, 0, 10e-4, 200e9, 1.00; 3, 308.66, 10e-4, 200e9, 1.60; 4, 270.00, 10e-4, 200e9, 1.25; 5, 231.34, 10e-4, 200e9, 1.60]; //node = [ i, j] parameter Integer [size(inisiasi,1),2] node = [1, 2; 2, 3; 1, 4; 2, 4; 3, 4]; //Number of node parameter Integer n = 4; //Titik Tumpuan parameter Integer [:] Boundary = {1,3}; //load = [ F1x, F1y,..., Fnx, Fny] parameter Real [2*n] load = { 0, 0, -1035.28, -3863.70, 0, 0, -1035.28, -3863.70}; //isi sesuai data Real [size(inisiasi,1)] k; Real [size(inisiasi,1),4,4] Ke; Real [size(inisiasi,1),2*n,2*n] Kg; Real [2*n,2*n] KgTot; Real [2*n,2*n] KgB; Real [2*n] U; Real [2*n] R; //check force Real [2] F; equation k = {(inisiasi[i,3] * inisiasi[i,4] / inisiasi[i,5]) for i in 1:size(inisiasi,1)}; Ke = StiffnessMatrixElement(inisiasi); Kg = StiffnessMatrixGlobal(n, node, Ke); KgTot = SumStiffnessMatrixGlobal(Kg); KgB = BoundaryStiffnessMatrixGlobal(KgTot, Boundary); U = GaussJordan(KgB, load); R = ReactionForce(KgTot, U, load); F = CheckForce(load,R); end Quiz_No_4_Kv;

2. Function K Element

function StiffnessMatrixElement input Real [:,5] inisiasi_mat; output Real [size(inisiasi_mat,1),4,4] Ke_mat; protected Real theta; Real [3] StiffTrig; Real [4,4] StiffTrans; Real [size(inisiasi_mat,1)] k_vec; Real float_error = 10e-10; algorithm k_vec := {(inisiasi_mat[i,3] * inisiasi_mat[i,4] / inisiasi_mat[i,5]) for i in 1:size(inisiasi_mat,1)}; // Finding stiffness matrix of each element member for i in 1:size(inisiasi_mat,1) loop // Clearing the matrices StiffTrig := zeros(3); StiffTrans := zeros(4,4); // Converting degrees to radians theta := Modelica.SIunits.Conversions.from_deg(inisiasi_mat[i,2]); // {cos^2, sin^2, sincos} StiffTrig := {(Modelica.Math.cos(theta))^2, (Modelica.Math.sin(theta))^2, (Modelica.Math.sin(theta)*Modelica.Math.cos(theta))}; // Handle float error elements in StiffTrig for t in 1:size(StiffTrig,1) loop if abs(StiffTrig[t]) <= float_error then StiffTrig[t] := 0; end if; end for; // Construct stiffness transformation matrix StiffTrans := [ StiffTrig[1], StiffTrig[3], -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[3]; StiffTrig[3], StiffTrig[2], -1*StiffTrig[3], -1*StiffTrig[2]; -1*StiffTrig[1], -1*StiffTrig[3], StiffTrig[1], StiffTrig[3]; -1*StiffTrig[3], -1*StiffTrig[2], StiffTrig[3], StiffTrig[2]]; // Multiply in stiffness constant of element, add final stiffness matrix to Ke_mat for m in 1:4 loop for n in 1:4 loop Ke_mat[i,m,n] := k_vec[i] * StiffTrans[m,n]; end for; end for; end for; end StiffnessMatrixElement;

3. Function K Global per Element

function StiffnessMatrixGlobal input Integer x; input Integer [:,2] n; input Real [:,4,4] Ke_mat; output Real [size(Ke_mat,1),2*x,2*x] Kg_mat; algorithm Kg_mat := zeros(size(Ke_mat,1),2*x,2*x); for i in 1:size(Ke_mat,1) loop Kg_mat[i,2*n[i,1],2*n[i,1]]:=Ke_mat[i,2,2]; Kg_mat[i,2*n[i,1]-1,2*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,1,1]; Kg_mat[i,2*n[i,1],2*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,2,1]; Kg_mat[i,2*n[i,1]-1,2*n[i,1]]:=Ke_mat[i,1,2]; Kg_mat[i,2*n[i,2],2*n[i,2]]:=Ke_mat[i,4,4]; Kg_mat[i,2*n[i,2]-1,2*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,3,3]; Kg_mat[i,2*n[i,2],2*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,4,3]; Kg_mat[i,2*n[i,2]-1,2*n[i,2]]:=Ke_mat[i,3,4]; Kg_mat[i,2*n[i,2],2*n[i,1]]:=Ke_mat[i,4,2]; Kg_mat[i,2*n[i,2]-1,2*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,3,1]; Kg_mat[i,2*n[i,2],2*n[i,1]-1]:=Ke_mat[i,4,1]; Kg_mat[i,2*n[i,2]-1,2*n[i,1]]:=Ke_mat[i,3,2]; Kg_mat[i,2*n[i,1],2*n[i,2]]:=Ke_mat[i,2,4]; Kg_mat[i,2*n[i,1]-1,2*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,1,3]; Kg_mat[i,2*n[i,1],2*n[i,2]-1]:=Ke_mat[i,2,3]; Kg_mat[i,2*n[i,1]-1,2*n[i,2]]:=Ke_mat[i,1,4]; end for; end StiffnessMatrixGlobal;

4. Function K Global
function SumStiffnessMatrixGlobal input Real [:,:,:] Kg_mat; output Real [size(Kg_mat,2),size(Kg_mat,2)] KgTot_mat; algorithm for a in 1:size(Kg_mat,2) loop for b in 1:size(Kg_mat,2) loop KgTot_mat[a,b] := sum(Kg_mat [:,a,b]); end for; end for; end SumStiffnessMatrixGlobal;

5. Function Input Boundary

function BoundaryStiffnessMatrixGlobal input Real [:,:] KgTot_met; input Integer[:] Boundary_met; output Real [size(KgTot_met,1),size(KgTot_met,1)] KgB_met; algorithm for a in 1:size(KgTot_met,1) loop for b in 1:size(KgTot_met,1) loop KgB_met[a,b] := KgTot_met[a,b]; end for; end for; for i in 1:size(KgTot_met,1) loop for a in 1:size(Boundary_met,1) loop for b in 0:1 loop KgB_met[2*(Boundary_met[a])-b,i]:=0; KgB_met[2*Boundary_met[a]-b,2*Boundary_met[a]-b]:=1; end for; end for; end for; end BoundaryStiffnessMatrixGlobal;

6. Function Find Deflection
function GaussJordan input Real [:,:] KgB_met; input Real [size(KgB_met,1)] load_met; output Real [size(KgB_met,1)] U_met; protected Real float_error = 10e-10; algorithm U_met:=Modelica.Math.Matrices.solve(KgB_met,load_met); for i in 1:size(KgB_met,1) loop if abs(U_met[i]) <= float_error then U_met[i] := 0; end if; end for; end GaussJordan;

7. Function Find Reaction in Node
function ReactionForce input Real [:,:] KgTot_met; input Real [size(KgTot_met,1)] U_met; input Real [size(KgTot_met,1)] load_met; output Real [size(KgTot_met,1)] R_met; protected Real float_error = 10e-10; algorithm R_met := KgTot_met*U_met-load_met; for t in 1:size(KgTot_met,1) loop if abs(R_met[t]) <= float_error then R_met[t] := 0; end if; end for; end ReactionForce;

8. Check Force

function CheckForce input Real [:] load; input Real [size(load,1)] R; output Real [2] F; protected Real float_error = 10e-10; protected Real load_x; Real load_y; Real R_x; Real R_y; algorithm load_x := sum({load[i] for i in 1:2:(size(load,1)-1)}); load_y := sum({load[i] for i in 2:2:size(load,1)}); R_x := sum({R[i] for i in 1:2:(size(load,1)-1)}); R_y := sum({R[i] for i in 2:2:size(load,1)}); F[1] := load_x + R_x; F[2] := load_y + R_y; for i in 1:2 loop if abs(F[i]) <= float_error then F[i] := 0; end if; end for; end CheckForce;

Langkah-langkah dan hasil quis no.8

hasil No 8 menggunakan excel :

Untuk permodelan 3D digunakan stiffness matrix dari space trusses dengan hasil sebagai berikut :

Pembuatan matrix lokal dan global dilakukan menggunakan excel karena lebih mudah dalam penulisan, perhitungan dan penempatan.

Setelah didapatkan matriks lokal digabungkan menjadi matriks global dengan meng-copy paste sesuai tempat pada matrix global

dengan memasukan kondisi batas dimana terjadi gaya tarik ke bawah searah sumbu Y sebesar 5000 N pada titik D, maka nilai-nilai dibawah ini sama dengan 0:

U2x = U2y = U2z = U3x = U3y = U3z = U4x = U4y = U4z = 0

F1x = F1z = F2x = F2y = F2z = F3x = F3y = F3z = F4x = F4y = F4z = 0

Dari kondisi tersebut matriks dapat disederhanakan menjadi 3x3 seperti dibawah ini :

Berikut adalah coding untuk no 8

Soal No.8

1. Class Quis1 no.4 2. Function K Element 3. Function K Global per Element 4. Function K Global 5. Function Input Boundary 6. Function Find Deflection 7. Function Find Reaction in Node 8. Check Force

Pertemuan 5 : Senin, 7 Desember 2020

Pertemuan kali ini membahas tentang kuis yang diberikan pertemuan sebelumnya, dalam kasus ini kebanyakan mahasiswa blum memahami tentang cara menggunakan looping pada openmodelica. pertemuan kali ini dibantu oleh ahmad fahmi dalam penjelasan metode looping untuk pengerjaan kuis 1. Dari hasil dan penjelasan yang didapat mahasiswa diharapkan untuk mencoba kembali dengan kasus example 3.3 yang diberikan sebagai tugas berikutnya.

Tugas 5 : Quis 1, Example 3.3

1. Mempelajari codingan 3d Fahmi

2. Mengaplikasikan pada soal example 3.3

3. memberikan masukan atas codingan Fahmi

Serta uraikan pembahasannya di wikipage masing-masing termasuk pembahasan FlowChart, Diagram Class dan Coding tambahan anda sebagai kontribusi coding lebih aplikatif, efffisien dan robust.

1. Setelah mempelajari hasil coding dari Ahmad Fahmi, saya mememahami cara penggunaan loop dalam open modelica selain itu ilmu baru yang saya dapatkan adalah mempelajari Bahasa-bahasa baru dalam pemrograman open modelica seperti contoh dibawah ini :

- Dalam text view terlihat tulisan berwarna hijau, itu merupakan penanda atau note yang berfungsi memberikan keterangan dan tidak ter input kedalam hasil maupun masukan.

- Terlihat juga inisiasi, sebenarnya itu hanya merupakan penamaan, dan sebenarnya bebas tergantung masing-masing memberikan nama.

- Integer & real = integer merupakan merupakan bilangan bulat sementara real bisa bilangan bulat maupun decimal.

- Selain itu ada tanda titik dua ( : ) itu merupakan tanda dari infinity

- Pada baris no 10 terdapat tulisan “[size(inisiasi,1),2]” , itu berarti pada baris memanggil matriks inisiasi 1 = baris ; 2 = kolom, sehingga dalam codingan tersebut no 1 berarti infinity pada matriks inisiasi.

- “n” yang dimaksud dalam class ini adalah jumlah node/sambungan/titik

- Boundary yang dimaksud adalah titik tumpu/fix yang tidak menyebabkan defleksi, dalam soal terletak pada titik 2,3 dan 4

- Dalam parameter load terlihat bahwa beban = 3*n karena meninjau n titik dalam 3 dimensi.

- [size(inisiasi,1)] = jumlah yang dihasilkan sesuai jumlah baris pada inisiasi dan tidak dalam bentuk matrix

- [size(inisiasi,1),6,6] Ke = jumlah Ke yang dihasilkan sesuai jumlah baris pada inisiasi dan dalam bentuk matrix 6 x 6 sesuai dengan rumus 3D.

- Pada equation “k” terdapat (inisiasi[i,5]) yang berarti I adalah variable yang akan di looping pada bagian baris dan 5 berarti menunjukan kolom ke 5.

- Dalam StiffnessMatrixElement input inisiasi_mat itu sama saja dengan inisiasi tetapi tempatnya di function, namanya berbeda namun terhubung / sama karena [:,7]. Input tersebut berdasarkan variable dalam kurung pada equation “Ke” diatas.

- StiffTrig = rumus dalam matrix Ke hanya ada 6 jenis

- Stifftrans = matrix pola K elemen

- Zeros = meng nol kan matrix

Dalam function StiffnessMatrixGlobal ini walaupun menggunakan looping tetapi masih harus menginput satu per satu posisi pemindahan dari matriks K element ke matriks K global.

Untuk SumStifnessMatrix ini hanya penjumlahan semua matrix global dari setiap elemen. Jadi inputnya [: , : , :] merupakan [jumlah, baris, kolom] dan output memiliki jumlah hanya 1 jadi hanya menjadi [baris , kolom]. Cara menghitungnya seperti di algoritma, menggunakan perintah sum, dan pada setiap baris dan kolomnya di looping.

Untuk K global yang, merupakan K global yang sudah mengikuti boundary, atau dalam hiungan manual pada titik tumpu nilai defleksi = 0. Input dari function ini berasal dari KgTot dan boundary dengan output berukuran sama dengan K global.

Gaus Jordan dipakai untuk mencari nilai U, dan menggunakan perhitungan dari matrix yang terdapat pada modelica. Dalam perhitungan juga diselipkan floating eror agar nilai yang terhitung terlalu kecil atau dibawah batas floating eror akan menjadi 0.

Check force mengecek apakah gaya yang terjadi pada suatu titik =0. Dalam check force fungsi fos agak berbeda sedikit karena terdapat beberapa angka titik 2 pada algorithm, contoh : Dari pers ini : [ F1x, F1y,..., Fnx, Fny] Load_x :=sum({load[i] for I in 1:3: (size(load,1)-2)}) 1:3:(size…) = angka mula : interval : angka akhir (dikurang 1 karena yang diminta angka ganjil.