Using Spring-Mass Models to Determine the Dynamic Response of Two-Story Buildings Subjected to Lateral Loads by S.T. De la Cruz, M.A. Rodríguez & V. Hernández

<- back to Studi kasus komputasi teknik

Case Study

Terjemahan

1. Pengantar

(Mohamad Wafirul Hadi, Fajri Octadiansyah, Kania Dyah Nastiti, Maha Hidayatulloh Akbar)

Model mekanis struktur dapat diwakili oleh sistem massa pegas (Brennan et al., 2008; Delhomme et al., 2007; Wu, 2004). Ketika berhadapan dengan struktur bangunan yang terkena beban gempa, bangunan bertingkat tunggal (SSB) dan gedung bertingkat (MSB) juga dapat diwakili oleh model pegas-massa (SMMs) (De la Cruz dan Lopez-Almansa, 2006; Wilkinson dan Thambiratnam, 2001). Sebagai contoh, pada Gambar. 1.1a SSB ditampilkan. Panjang gelagar diwakili oleh L dan ketinggian bingkai diwakili oleh H. Jika kekakuan lentur grider, diwakili oleh Elb, sangat kaku, bentuk terdistorsi SSB ketika mengalami akselerasi tanah Xg (t) ditunjukkan pada Gambar. 1.1b, di mana koordinat horisontal x berarti derajat tunggal kebebasan frame.

SMM ditunjukkan pada gambar 1.1c, kuantitis m, c, dan k di mewakili massa dari balok, redaman dan keseluruhan kekerasan SSB. Maka kekakuan k adalah fungsi dari kekakuan lentur ELc dan tinggi H, sedangkan jika ELb tidak kaku, diasumsikan Gerakan SBB seperti pada gambar 1.1d dan SMM ditunjukan pada gambar 1.1e, maka kekakuan k’ adalah fungsi dari kekauan lentur ELb, ELc dan Panjang L, tinggi H

Persamaan pada gambar 1.1c adalah

 

Dimana dot atas menunjukan turunan x. persamaan Gerakan dari gambar 1.1e sama dengan persamaan 1.1 dimana kekakuan k digantikan oleh k’

Sekarang, bangunan dua lantai (TSB) ditunjukkan pada Gambar. 1.2a. panjang balok utama diwakili oleh tanah, ketinggian lantai rangka diwakili oleh H1 dan H2. TSB adalah perpindahan horisontal x1 dan x2. Sekali lagi, dengan anggapan bahwa balok utama sangat kaku (mis., EIb1 → ∞ dan EIb2 → ∞), bentuk terdistorsi dari TSB ketika mengalami akselerasi tanah x_g (t) ditunjukkan pada Gambar 1.2b. SMM yang sesuai digambarkan pada Gambar 1.2c. Sebaliknya, jika kekakuan lentur gelagar, EIb1 dan EIb2 terbatas, bentuk terdistorsi yang sebenarnya akan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2d dan SMM yang sesuai digambarkan pada Gambar. 1.2e. Perhatikan bahwa pegas tambahan k3 harus 'disambungkan' dari dinding yang kaku ― mewakili tanah ― ke massa m2 ― mewakili lantai kedua― karena kekakuan sistem keseluruhan harus dimodifikasi agar mencakup lateral dan derajat kebebasan rotasi

Gambar 1.2. Bangunan dua lantai dimodelkan sebagai sistem multi-derajat-kebebasan

Memperluas persamaan (1.2), kita mendapatkan:

di mana subskrip 1 dan 2, masing-masing merujuk ke lantai 1 dan lantai 2. Di sisi lain, persamaan gerak model yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2e adalah

memperluas persamaan (1.4), kita mendapatkan

Matriks kekakuan yang baru, umumnya diperoleh setelah membuat kondensasi matriks statis (Cheng, 2001). Perhatikan bahwa Persamaan. (1.2) tidak lagi valid untuk model yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2e karena matriks kekakuan keseluruhan K* dalam Persamaan (1.4) diperoleh dengan menambahkan koefisien kekakuan baru ke matriks K.

Sebagai catatan terakhir dari pengantar ini, kita tahu bahwa untuk SSB kedua kondisi ('shear building’, SB, dan ‘moment resistant frame‘, MRF) dapat direpresentasikan untuk persamaan gerak yang sama ―Eqn. (1.1)- karena kekakuan dari keseluruhan sistem, k, dapat dimodifikasi untuk memasukkan derajat kebebasan lateral dan rotasi dari simpul (De la Cruz dan López-Almansa, 2006). Untuk TSB, bagaimanapun, modifikasi serupa tidak dapat dilakukan karena kita berurusan dengan matriks kekakuan, alih-alih koefisien tunggal, yang merupakan kasus SSB.

Makalah ini membahas prosedur untuk mendapatkan respon dinamis dari Bangunan dua lantai (TSB) (baik SB atau MRF) yang diwakili oleh SMM ketika mengalami kekuatan lateral (mis., Angin, gempa bumi).

2. Pengembangan

2.1. Bangunan Dua Lantai (TSB)

Bangunan Dua Lantai (TSB) yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2a akan dipertimbangkan untuk analisis ini. Seperti yang sudah terlihat, ketika kekakuan dari gelagar (EIb)i , pendekatan hingga tak terbatas, diasumsikan bentuk bingkai yang terdistorsi ditunjukkan pada Gambar. 1.2b, SMM-nya digambarkan pada Gambar. 1.2c dan persamaan gerak sama dengan Eqn. (1.2). Sekarang, mempertimbangkan kekakuan lentur dari kedua balok utama dan kolom, bentuk bingkai yang terdistorsi adalah digambarkan pada Gambar. 1.2d, SMM-nya ditunjukkan pada Gambar. 1.2e dan persamaan gerak sama dengan Eqn. (1.4).

Koefisien kekakuan k2 + k3 dari kekakuan matriks K* membuat sulit untuk membangun fisik model TSB sebagai istilah k3 dapat berupa positif atau negatif (De la Cruz dan López-Almansa, 2006). Kasus terakhir yaitu k3<0, sarana untuk memasang pegas dengan kekakuan negatif massa m2. Dalam kasus ini sebuah prosedur dikembangkan untuk menangani kemungkinan jika k3 bernilai positif atau negative.

2.2. Konstruksi Model Massa Pegas Setara

Dimungkinkan untuk membangun SB 'setara' dengan MRF menggunakan model pegas-massa, asalkan frekuensi sudut ωn1 dan ωn2 dari model baru sama dengan frekuensi dari model asli. Gambar 2.1 menggambarkan penegasan ini.

Untuk mengkonversi model Gambar 2.1b yang matriks-matriks barunya adalah M', C' dan K' menjadi model Gambar 2.1a , yang matriks aslinya adalah M, C dan K *, perlu untuk menentukan parameter γ dan ε sebagai berikut:

(2.1)

(2.2)

(b) Pegas-Massa Shear Bangunan (SB) 'setara' dengan model (a)

Gambar 2.1 Model Pegas-Massa untuk MRF dan 'kesetaraan' dengan SB

Matriks redaman C' dapat berupa C yang sama seperti sebelumnya.

Penting untuk memperhatikan bahwa matriks baru M' dan K' akan menghasilkan frekuensi sudut yang sama dengan matriks asli M dan K.

3. Applicaiton

Matriks M, C dan K * berikut milik TSB skala-turun yang sebenarnya dibangun untuk diuji

Untuk struktur ini, frekuensi sudutnya adalah ωn1 = 13.0982 rad/s and ωn2 = 42.7447 rad/s.

Akselerasi ground yang ditunjukkan pada Gambar 2.2 akan digunakan sebagai kekuatan pendorong eksternal untuk evaluasi numerik dari respons.

3.1.1. Konversi MFR ke SB

Nilai α dan β ditetapkan masing-masing sebesar 0,55 dan 1,20. Dengan nilai-nilai ini, dan menggunakan koefisien matriks M dan C, nilai-nilai berikut untuk γ dan ε diperoleh: γ = 0,57539 dan ε = 1,21528. Matriks M ’, K’ dan C ’ditemukan.

Untuk struktur 'yang dikonversi' ini, frekuensi sudutnya adalah: ω'n1 = 13.0811 rad / s dan ω'n2 = 43.3512 rad / s

3.1.2

3.1.2. Respons Perpindahan Menggunakan Merangkat Lunak Komersial

Data di atas dapat diimplementasikan dengan cepat ke dalam perangkat lunak komersial seperti ADINA (Bathe, 1996). Di ADINA, peredam viskos dan pegas (koefisien kekakuan) dapat dimasukkan sebagai elemen linier, membuat pemodelan sangat sederhana (De la Cruz et al., 2009). Selain itu, sejarah waktu respons yang diperoleh dengan ADINA sama dengan yang diperoleh pada ayat 3.1.2.

3.2. Pengujian Meja Goyang

SMM ditunjukkan pada Gambar. 1.2c dapat dibangun sehingga model fisik dari TSB yang sebenarnya (baik SB atau MRF) dapat diuji. Selain itu, perilaku nonlinear (mis., Kekakuan bi-linear) dapat disimulasikan dengan menggunakan perangkat gesekan yang melekat pada mata air (De la Cruz et al., 2010).

Menggunakan Spring-Mass Model untuk menentukan Respon Dinamis dari Bangunan Dua Tingkat yang terkena Beban Lateral

Artikel2, hasil diskusi Kelompok, Adhika, Fathur, Ali

Ringkasan

Makalah ini menerangkan penggunaan model massa pegas (Hermes 2015) untuk menentukan persamaan gerak sehingga analisis dinamis bangunan dua lantai yang memiliki kekakuan linier di setiap lantai dapat dilakukan. Jika bangunan dua lantai dimodelkan sebagai model bangunan-geser (Hermes 2019), miniature model massa pegas secara fisik dapat dibangun dan diuji menggunakan meja goyang. Akan tetapi sebaliknya, jika miniature model dibentuk pada rangka kaku yang tahan momen, model fisik menggunakan massa dan pegas menjadi sulit untuk dibangun karena salah satu pegas yang melekat pada lantai dua mungkin memiliki perlakuan kekakuan yang negatif. Jadi tujuan utama dari makalah ini adalah untuk menyajikan model massa pegas pada bangunan dengan struktur yang seragam (setara), bukan menggunakan pegas dengan kekakuan negatif. Penggunaan model massa pegas setara ini akan memungkinkan untuk mendapatkan respons dinamis dari bangunan dua lantai yang dikenai beban horizontal, seperti aktualnya karena gangguan angin atau pergerakan tanah.

Kata kunci : Respon dinamis, bangunan 2 lantai, spring-mass model, bangunan bergeser, percobaan meja goyang

Pendahuluan

Persamaan Dasar:

Penyelesaian:

Penyelesaian persamaan ini akan menggunakan metode Euler dengan skema forwards dan bacwards. Adapun tahapan pemodelannya adalah sebagai berikut:

1. Memodelkan u=x dan v = du/dt.

Dengan pemodelan ini, nilai u dan v masing-masing dapat dihitung dengan persamaan berikut

2. Merubah persamaan (1) dan (2) ke dalam bentuk u dan v.

Perubahan ini bertujuan untuk mendapat nilai dari v'.

3. Cari cara untuk menyatakan bentuk v1 dan v2 secara explicit.

Berikut proses penurunannya:

Sehingga bisa didapat

4. Aplikasikan dalam suatu aplikasi perhitungan (*contoh: excel)

Hasil

Degnan menginput nilai m1 = 550, m2 = 550, c1 = 70, c2 = 70, k1 = 800, k2 = 600 serta fungsi exitasi yang diperlihatkan oleh gambar berikut:

Berikut adalah hasil yang didapat: