Oscillating one-dimensional systems

Studi kasus dan Terjemahan

Ref. Linge S, Langtangen HP, Programming for Computations - A Gentle Introduction to Numerical Simulations with Python

Terjemahan

4.3.1 Penurunan Model yang Sederhana

alt text

Banyak sistem keteknikan (engineering) berkaitan dengan osilasi, dan persamaan diferensial merupakan kunci utama untuk memahami, memprediksi, dan mengontrol osilasi. Kita mulai dengan model paling sederhana yang berkaitan dengan dinamika penting dari sistem osilasi. suatu benda dengan massa m melekat/dikaitkan pada pegas dan bergerak sepanjang garis tanpa gesekan, lihat Gambar 4.15 di samping untuk sketsa (rolling wheels menunjukkan “tidak ada gesekan”). Ketika pegas diregangkan (atau dikompresi), gaya pegas menarik (atau mendorong) bodi (penampang m) kembali dan bekerja "melawan" gerakan. Lebih tepatnya, misalkan x (t) adalah posisi bodi pada sumbu x, dimana bodi bergerak. Pegas tidak direntangkan ketika x= 0, sehingga gaya adalah nol, dan x= 0 karenanya posisi keseimbangan bodi. Gaya pegas adalah -kx, dimana k adalah konstanta yang diukur. Kami berasumsi bahwa tidak ada gaya lain (mis., Tidak ada gesekan). Hukum Newton ke-2 F=ma kemudian memiliki F=-kx dan a=x ̈ ,

yang dapat ditulis ulang sebagai:

dengan memperkenalkan ω=√(k/m)   (yang sangat umum).

Persamaan (4.42) adalah persamaan diferensial orde kedua, dan oleh karena itu kita memerlukan dua kondisi awal, satu pada posisi x(0) dan satu pada kecepatan x’(0). Di sini kita memilih bodi untuk berhenti, tetapi menjauh dari posisi setimbang:

Solusi tepat untuk Pers. (4.42) dengan kondisi awal ini adalah x(t)=X0 cosωT. Ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan mensubsitusikan ke Pers. (4.42) dan memeriksa kondisi awal. Solusinya mengatakan bahwa sistem massa pegas berosilasi bolak-balik seperti yang dijelaskan oleh kurva kosinus.

Persamaan diferensial (4.42) muncul dalam banyak konteks lainnya. Contoh klasik adalah pendulum sederhana yang berosilasi bolak-balik. Buku-buku fisika berasal, dari hukum gerak kedua Newton, itu diperoleh:

dimana m adalah massa bodi di ujung pendulum dengan panjang L, g adalah percepatan gravitasi, dan ϴ merupakan sudut yang dibuat pendulum dengan vertikal. Mempertimbangkan sudut kecil ϴ, sin ϴ ≈ ϴ, dan kita dapatkan Pers. (4.42) dengan x = ϴ, ω=√(g/L) , x(0)=Θ, dan x’(0)=0, jika Θ merupakan sudut awal dan pendulum diam di t=0.

4.3,13 Metode finite diference; damping linier

Sebuah isu kunci adalah bagaimana untuk mengkonferensi skema dari daerah 4.3.12 ke persamaan diferensial dengan lebih banyak istilah. Kita mulai dengan kasus linear penempatan f (u') = bu', kemungkinan gaya per nonlinear s(u), dan sebuah gaya excitation F(t):

mu "+ bu '+ s (u) = F (t), u(0) = Uo, u'(0) = 0 ,t € (0, T) (4.79)

Kita harus cari perkiraan perbedaan yang tepat untuk u' di dalam bu'. Sebuah pilihan yang baik adalah perbedaan berpusat 2,4 t Sampling persamaan pada titik t,,

mu"(t, + bu'(t, ) + s(u") = F(t.,), (4.80)

dan memasukkan perkiraan perbedaan finete pada u" dan u / hasil dalam m- 2u "+ u " -1 412 24t s (u") = F" (4.81)

dimana F" adalah notasi pendek untuk F(t). Persamaan (4.81) adalah linear dalam u " +1 tak diketahui kita dapat dengan mudah memecahkan untuk kuantitas ini: b - (2mu "+(- At-M)un-1442(F"--s(u")))) (m+ - At) 1. (4.82)